Montrer que f

TD 10: Opérateur proximal

La seule propriété de l'opérateur proximal que l'on utilisera est l'équivalencey= prox_γf(x)⇐⇒

x∈(id +γ∂f)(y).

Exercice 1. SoitEun espace de Hilbert, qu'on identie à son dual. Soitf :E→Rune fonction convexe propre sci.

1. Montrer la décomposition de Moreau

∀x∈E, x= prox₁f(x) + prox₁f^∗(x)

(Indication : poser z=x−prox₁f(x) et démontrer que z= prox₁f^∗(x). Penser à utiliser y∈∂f(x)⇐⇒x∈∂f^∗(y) pour f convexe sci.)

2. Soit f = i_H où H est un sous-espace vectoriel fermé de H. Montrer que f^∗ = i_H⊥. Que donne la décomposition de Moreau dans ce cas ?

Exercice 2. Dans cet exercice, on précise les liens entre l'opérateur proximal et la régularisation de Moreau-Yosida.

1. Soit E un espace vectoriel normé, f, g : E → R deux fonctions convexes propres et [fg](x) := infy,z∈E,y+z=xf(y) +g(z). On suppose que pour x₀ ∈ E, l'inmum dans la dénition de[fg](x₀)est atteint en une paire de point y₀, z₀∈E tels quex₀ =y₀+z₀. Montrer que

∂[fg](x₀) =∂f(y₀)∩∂g(z₀). (1) (Indication : raisonner par équivalence en partant de la dénition du sous-diérentiel) 2. Soient f :Rⁿ→ Rune fonction convexe semi-continue inférieurement, propre et minorée.

On considère fγ la régularisée de Moreau-Yosida de f, c'est-à-dire avecg(z) = _2γ¹ kzk², fγ(x) := (fg)(x) = inf

y∈Rⁿ

f(y) + 1

2γ kx−yk². On admettra que l'inmum est atteint et quef_γ est continue.

(i) En utilisant (1), montrer que six0 ∈Rⁿ,y0= prox_γf(x0) etz0 =x0−y0,

∂fγ(x0) =∂f(y0)∩ {1

γz0} (2)

(ii) Déduire de (2) que fγ est Gâteaux-diérentiable en tout pointx0∈Rⁿ et que

∇f_γ(x0) = 1

γ(x0−prox_γf(x0)).

Montrer que les itérations de l'algorithme du point proximal s'écrivent (x0 ∈Rⁿ

x_n+1 =x_n−γ∇f_γ(x_n).

(iii) Que se passe-t-il si l'on remplaceg= _2γ¹ k·k² parg= _2γ¹ k·k^p (p >1) ?

Exercice 3. Soit E =F1⊕F2 un espace de Hilbert où F1 etF2 sont deux sous-espaces fermés orthogonaux. On considèrefi:Fi →Rconvexes sci et∀(x, y)∈F1×F₂, f(x+y) :=f1(x)+f2(y), qu'on suppose propre. Montrer que∀(x, y)∈F₁×F₂, prox_λf(x+y) = prox_λf₁(x) + prox_λf₂(y).

En déduire l'opérateur proximal de f :x∈Rⁿ7→ kxk_`1 =Pn i=1|x_i|. 1