Exercice 1. Soient E, F deux evn et ` : E → F une application linéaire. Montrer qu’on a équivalence entre : (i) ` est uniformément continue (ii) ` est continue (iii) ` est continue en 0

Université Pierre & Marie Curie L3 de Mathématiques

LM 360 (Topologie et Calcul différentiel) Automne 2011

TD n ^◦ 7. Applications linéaires continues 1 Aspects topologiques

Exercice 1. Soient E, F deux evn et ` : E → F une application linéaire. Montrer qu’on a équivalence entre : (i) ` est uniformément continue (ii) ` est continue (iii) ` est continue en 0

(iv) si x n → 0 dans E, alors `(x n ) → 0 dans F (v) ` est bornée sur B E (0, 1) Exercice 2. Soit E un espace vectoriel normé.

a) Montrer qu’une forme linéaire ϕ sur E est continue si et seulement si son noyau est fermé. Pour la réciproque, en supposant que ϕ n’est pas continue, on pourra commencer par construire une suite (y _n ) _n≥0 dans E, convergeant vers 0, telle que ϕ(y n ) = 1 pour tout n ; considérer alors la suite (y ₁ − y n ) _n≥0 . b) Montrer que c’est faux pour une application linéaire de E dans un autre evn F : donner un exemple

d’application linéaire non continue de noyau fermé.

Exercice 3. Soient E un espace de Banach et GL(E) l’ensemble des applications linéaires bijectives continues de E dans lui-même. Montrer que ι : GL(E) → GL(E) qui à u associe son inverse u ⁻¹ est continue. On pourra commencer par montrer que, pour tout u 0 ∈ L(E), l’application v → u 0 ◦ v est continue de L(E) de L(E) ; remarquer que c’est une application linéaire...

2 Quelques calculs de normes

Exercice 4. Soient E et F deux evn, munis des normes respectives k · k _E et k · k _F , et ` une application linéaire de E dans F .

a) Lorsque ` est continue, montrer qu’on a : k`k = sup

kxk

≤1

k`(x)k F = sup

kxk

<1

k`(x)k F = sup

kxk

=1

k`(x)k F = sup

x6=0

k`(x)k F

kxk E

.

b) Montrer que ` est continue si et seulement s’il existe une constante M telle que, pour tout x ∈ E, k`(x)k _F ≤ M kxk _E . Dans ce cas, montrer l’égalité k`k = inf{M ≥ 0 : ∀x ∈ E : k`(x)k ≤ M kxk}.

Exercice 5. Soit E l’espace vectoriel C ⁰ ([0, 1]) muni de la norme k · k ∞ .

a) Pour chacune des formes linéaires suivantes, déterminer si elle est continue, et si oui calculer sa norme.

δ ₀ (f ) = f (0); I(f ) = Z 1

0

f.

b) Même question si l’on munit E de la norme k · k 1 .

c) Soient à présent F = C ¹ ([0, 1]), et N la norme définie par N (f ) = kf k _∞ + kf ⁰ k _∞ . La forme linéaire δ ₀ ⁰ : f 7→ f ⁰ (0) est-elle continue lorsqu’on munit F de la norme k · k _∞ ? Même question pour la norme N.

d) On munit de nouveau E de la norme k · k 1 . Pour g ∈ E, soit T g : f 7→ R 1

−1 f (t)g(t)dt. Montrer que T g

est une forme linéaire continue et calculer sa norme d’opérateur (on pourra commencer par le cas où la fonction g est constante).

e) Est-ce que pour tout g ∈ E il existe une fonction f ∈ E telle que |T _g (f )| = kT _g kkf k ₁ ? Exercice 6.

a) Soient E, F deux evn. On considère, dans L(E, F ), une suite (u n ) _n≥0 convergeant vers u. Montrer que, pour tout f ∈ E, la suite (u n (f )) _n≥0 converge dans F vers u(f ).

Autrement dit, la convergence d’opérateur entraîne la convergence simple. La suite de l’exercice explore la réciproque. Pour ceci, on se place dans l’espace de Banach E des fonctions f ∈ C ⁰ ([0, 1], R ) qui vérifient f(0) = f (1) = 0, muni de la norme k k _∞ . Pour tout x ∈ [0, 1], on définit la forme linéaire continue δ x : f 7→ f (x). On considère la suite (δ

n

) dans L(E, R ).

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b) Soit f ∈ E, vers quoi converge la suite (δ

n

(f )) ? On note `(f ) cette limite. Montrer que la suite (δ

n

) ne converge pas vers ` dans L(E, R ).

c) Montrer que la suite (δ

n

) n’a pas de limite dans L(E, R ).

3 Applications multilinéaires continues

Exercice 7. Soit E = C ⁰ ([−1, 1], R ), on considère l’application

T : (f, g) 7→

Z 1

−1

g(t)f (t)dt qui est bilinéaire de E × E dans R .

a) On munit E × E de la norme N _∞,∞ (f, g) ^Def = kf k _∞ + kgk _∞ . Montrer que T est continue.

b) Même question avec la norme N ∞,1 (f, g) ^Def = kf k ∞ + kgk 1 .

c) Montrer que pour toute constante M on peut trouver une fonction g ∈ E telle que kgk 1 = 1 et kg ² k 1 > M . En déduire que, si l’on munit E × E de la norme N _1,1 (f, g) ^Def = kf k ₁ + kgk ₁ , l’application T n’est pas continue.

4 Normes associées

Exercice 8.

a) Montrer que si E est un espace de Banach et u, v ∈ L(E), alors ku ◦ vk ≤ kuk · kvk. On dit qu’une norme associée est sous-multiplicative.

b) Existe-t-il sur L(E) des normes multiplicatives, i.e. vérifiant ku ◦ vk = kuk · kvk ? (Penser aux éléments nilpotents.)

Exercice 9 (normes associées aux normes usuelles). On munit R ⁿ des trois normes k · k 1 , k · k 2 et k · k _∞ . On note de la même manière la norme associée sur M n ( R ).

a) Montrer que la norme associée à k · k 1 est donnée par :

kM k 1 = max

j

X

i

|m i,j |

! .

Pour la minoration, on pourra calculer kM e j k 1 , où (e _j ) est la base canonique.

b) Montrer que la norme associée à k · k ∞ est donnée par :

kM k ₁ = max

i



 X

j

|m i,j |



 .

Cette fois-ci, on pourra utiliser un vecteur dont toutes les coordonnées valent ±1, en plaçant judicieusement les 1 et les −1.

c) Montrer que la norme associée à k · k 2 est donnée par la plus grande valeur singulière. On rappelle la décomposition en valeurs singulières : étant donnée une matrice réelle M , il existe deux matrices ortho- gonales U, V , et une matrice diagonale Σ à coefficients positifs, telles que M = U ΣV ; les valeurs propres de Σ sont, par définition, les valeurs singulières de M .

d) Montrer que sur M n ( R ), la norme de Frobénius-Schur kM k = p

Tr(M ^t M ) (qui est aussi égale à la racine carrée de la somme des carrés des coefficients) n’est pas une norme associée. Aide : quelle est la norme de l’identité ?

e) Même question pour la norme “max des coefficients”, kM k = max

i,j |m i,j |.

Cette fois-ci, on pourra utiliser la matrice M 0 dont tous les coefficients sont égaux à 1, et calculer la norme de M 0 et celle de son carré.

2

5 Pour aller plus loin. . .

Exercice 10 (espaces de Hilbert). On rappelle qu’un espace préhilbertien réel est un R -espace vectoriel E muni d’un produit scalaire (·, ·), c’est-à-dire d’une forme bilinéaire symétrique, définie, et positive. Un produit scalaire définit une norme kxk = p

(x, x). Un espace préhilbertien (E, (·, ·)) est un espace de Hilbert s’il est complet pour la topologie qui en découle.

a) Montrer que R ⁿ muni du produit scalaire euclidien est un espace de Hilbert.

b) Montrer que, pour tout y, la forme linéaire x 7→ (x, y) est continue.

c) Soit F un sous-espace fermé. Montrer que pour tout x ∈ E, il existe y ∈ E tel que kx − yk = dist(x, F ).

d) Montrer que y est unique. Montrer également qu’il est le seul vecteur qui satisfait : ∀z ∈ F, (x − y, z) = 0, c’est à dire que x − y est orthogonal à tous les points de F . Soit π _F l’application définie par π _F (x) = y.

e) Montrer que x 7→ π F (x) est linéaire continue, et de norme 1 si F 6= 0. Pour cette raison, l’application x 7→ π F (x) est appelée la projection orthogonale sur F .

f) Montrer que si f est une forme linéaire continue E → R , alors il existe un unique y ∈ E tel que f = (·, y) (théorème de Riesz).

L’espace des applications linéaires d’un espace E vectoriel dans son corps des scalaires est appelé le dual de E.

Le théorème démontré dans cet exercice nous permet d’établir un isomorphisme linéaire entre E et son dual, en utilisant le produit scalaire.

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