SEMAINE 13
INT ´EGRALES D ´EPENDANT d’UN PARAM `ETRE EXERCICE 1 :
Si f : IR+ →C est une fonction continue par morceaux, latransform´ee de Laplacede f est la fonctionL[f] d´efinie par
L[f](p) = Z +∞
0
e−ptf(t)dt pour tout r´eelptel que cette int´egrale est convergente.
1. Th´eor`eme de la valeur finale
Soitf : IR+→C, continue par morceaux, admettant une limite finie en +∞: lim
t→+∞f(t) =l.
Montrer que la transform´ee L[f] est d´efinie (au moins) sur IR∗+ et que lim
p→0+p· L[f](p) =l= lim
t→+∞f(t). 2.Soitf : IR+→C, continue, telle que l’int´egrale
Z +∞
0
f(t)dtsoit convergente (´eventuellement
“semi-convergente”). Montrer alors que, pour tout p ≥ 0, l’int´egrale Z +∞
0
f(t)e−pt dt converge et que la fonction p7→
Z +∞
0
f(t)e−ptdt est continue sur IR+.
3.Utiliser la question pr´ec´edente pour calculer l’int´egrale I= Z +∞
0
sint t dt.
- - - -
1.La fonctionf est born´ee sur IR+donc, pour toutp >0, la fonctiont7→e−ptf(t) est int´egrable sur IR+. ´Ecrivons
p· L[f](p)−l= Z +∞
0
p e−pt f(t)−l dt .
SoitM un majorant de|f(t)−l| sur IR+. Pour toutA >0, on peut alors ´ecrire
|p· L[f](p)−l| ≤
Z A 0
p e−pt f(t)−l dt
+
Z +∞
A
p e−pt f(t)−l dt
≤ M Z A
0
p e−ptdt+ Z +∞
A
p e−pt|f(t)−l|dt . (*) Donnons-nous alorsε >0. FixonsAtel que|f(t)−l|< ε
2 pourt≥A, ce qui rend la deuxi`eme int´egrale de(*)inf´erieure `a ε
2. Comme Z A
0
pe−ptdt= 1−e−pA −→
p→0 0, on peut rendre la premi`ere int´egrale inf´erieure `a ε
2 en prenantpsuffisamment proche de 0. On a ainsi prouv´e que lim
p→0+ p· L[f](p)−l
= 0.
On en d´eduit que, si l 6= 0, alors l’ensemble de d´efinition de L[f] est exactement IR∗+ et que L[f](p) ∼
p→0
l p.
2.SoitF la primitive def qui s’annule en z´ero. La fonctionF est de classeC1sur IR+et admet une limite finie en +∞, donc est born´ee sur IR+. Pour toutp >0, la fonctiont7→F(t)e−pt
est int´egrable sur IR+ et lim
t→+∞F(t)e−pt= 0, ce qui permet une int´egration par parties :
∀p∈IR∗+
Z +∞
0
f(t)e−ptdt=p· Z +∞
0
F(t)e−ptdt .
La transform´ee de LaplaceL[f] est donc d´efinie (au moins) sur IR+ et on a
∀p∈IR∗+ L[f](p) =p· L[F](p). (*)
La transform´ee L[F], d´efinie au moins sur IR∗+, est continue sur cet intervalle : en effet, si on fixep0>0, la fonctiont7→F(t)e−p0test int´egrable sur IR+et une domination ´evidente montre la continuit´e deL[F] sur l’intervalle [p0,+∞[ . Grˆace `a(*), on d´eduit la continuit´e deL[f] sur IR∗+. Enfin,
L[f](0) = Z +∞
0
f(t)dt= lim
+∞F= lim
p→0+p· L[F](p) = lim
p→0+L[f](p) d’apr`es le th´eor`eme de la valeur finale, d’o`u la continuit´e de la fonctionL[f] en 0.
3.Il est bien connu que cette int´egraleIest “semi-convergente”. Appliquons alors la question2.
`
a la fonction “sinus cardinal”, `a savoirf :t7→ sint
t , prolong´ee par continuit´e en z´ero : sa transform´ee de Laplace est donc d´efinie et continue sur IR+. Or, il est assez ais´e de calculer l’expression de L[f](p) =
Z +∞
0
e−ptsint
t dt pourp >0.
Pour cela, consid´eronsg: (p, t)7→e−pt sint
t . La fonctiongest continue sur (IR∗+)2et, sia >0, on a |g(p, t)| ≤ e−at|sint|
t pour (p, t)∈[a,+∞[×IR∗+. La fonction t 7→ e−at|sint|
t ´etant int´egrable sur IR∗+, cela prouve la continuit´e de la fonctionL[f] sur [a,+∞[ pour touta >0, donc sur IR∗+.
De plus, ∂g
∂p(p, t) =−e−pt sint et, sia >0, la majoration
∂g
∂p(p, t)
≤e−at, valable pour (p, t)∈[a,+∞[×IR∗+ ,
prouve que la fonction Φ =L[f] est de classeC1sur [a,+∞[ pour touta >0, donc sur IR∗+, avec
Φ0(p) =− Z +∞
0
e−pt sint dt=− 1 1 +p2 .
Donc Φ(p) = C−arctanp sur IR∗+ et le th´eor`eme de convergence domin´ee (“version familiale”, c’est-`a-dire appliqu´e `a une famille de fonctions) permet de montrer que lim
+∞Φ = 0, doncC=π
2 et
∀p∈IR∗+ Φ(p) =L[f](p) =π
2 −Arctanp .
La question 2. permet d’affirmer que la fonction L[f] est continue en z´ero (ce que les th´eor`emes du cours ne suffisent pas `a garantir puisque la fonction sinus cardinal n’est pas int´egrable sur IR+), d’o`u
I= Z +∞
0
sint
t dt=L[f](0) = lim
p→0+L[f](p) = π 2 .
EXERCICE 2 :
Pour toutx >0, on pose Γ(x) = Z +∞
0
e−ttx−1dt.
1.D´emontrer la relation : ∀x∈IR∗+ Γ(x) = lim
n→∞
Z n 0
1− t
n n
tx−1dt.
2.En d´eduire : ∀x∈IR∗+ Γ(x) = lim
n→+∞
nxn!
x(x+ 1)· · ·(x+n). En d´eduire, pour toutx >0 fix´e, l’´equivalence
x(x+ 1)· · ·(x+n)∼nxn!
Γ(x) lorsquentend vers +∞.
Dans la suite de l’exercice, on note f une fonction logarithmiquement convexe (c’est-`a-dire la fonction x 7→ ln f(x)
est convexe) de IR∗+ vers IR∗+, v´erifiant f(1) = 1 et la relation fonctionnelle ∀x∈IR∗+ f(x+ 1) =x f(x).
3.Soientx >0,y >0,λ∈[0,1]. Posonst=λx+ (1−λ)y. Montrer, pour toutn∈IN, l’in´egalit´e t(t+ 1)· · ·(t+n)f(t)≤ x(x+ 1)· · ·(x+n)f(x)λ
· y(y+ 1)· · ·(y+n)f(y)1−λ
.
En d´eduire que
f(t) Γ(t)≤
f(x) Γ(x)
λ f(y) Γ(y)
1−λ
.
4.Montrer quef = Γ.
- - - -
1. Plus g´en´eralement, soit f : ]0,+∞[→ C une fonction continue telle que la fonction g:t7→e−tf(t) soit int´egrable sur IR∗+. Alors
Z +∞
0
e−tf(t)dt= lim
n→+∞
Z n 0
1− t
n n
f(t)dt .
En effet, pour tout r´eelt, on ae−t= lim
n→+∞
1− t
n n
. D´efinissons, pour toutn∈IN∗, une fonctionun : ]0,+∞[→IR par
un(t) =
1− t n
n
si 0< t≤n 0 si t > n .
Alorsun est continue sur IR∗+et la suite (un) converge simplement, sur IR∗+, vers la fonction t7→e−t.
En posant gn = un ·f, on a une suite (gn) de fonctions continues sur IR∗+, convergeant simplement versgsur IR∗+. L’in´egalit´e classique ln
1− t
n
≤ −t
n, valable pourt∈[0, n[ , montre que
∀n∈IN∗ ∀t∈IR∗+ 0≤un(t)≤e−t donc |gn(t)| ≤ |g(t)|.
L’hypoth`ese de domination est alors v´erifi´ee et le th´eor`eme de convergence domin´ee s’applique.
Il suffit donc d’appliquer ce r´esultat avec f(t) =tx−1. 2.Le changement de variable t=nudonne
Z n 0
1− t
n n
tx−1dt=nx Z 1
0
(1−u)nux−1du=nxB(x, n+ 1),
en notant B(p, q) = Z 1
0
up−1(1−u)q−1du pourpetqr´eels strictement positifs (int´egrale eul´erienne de premi`ere esp`ece). La fonctionu7→up−1(1−u)q−1est bien int´egrable sur ]0,1[ et, pour toutn∈IN∗ etx >0, une int´egration par parties donne
B(x, n+ 1) = Z 1
0
ux−1(1−u)ndu=
(1−u)nux x
1 0
+n x
Z 1 0
ux(1−u)n−1du
= n
x B(x+ 1, n). A partir de` B(x,1) =
Z 1 0
ux−1du= 1
x pour toutx >0, une r´ecurrence imm´ediate donne B(x, n) = (n−1)!
x(x+ 1)(x+ 2)· · ·(x+n−1) . Finalement,
∀x∈IR∗+ ∀n∈IN∗
Z n 0
1− t
n n
tx−1dt= nxn!
x(x+ 1)· · ·(x+n) , d’o`u le r´esultat. L’´equivalence demand´ee est alors une cons´equence imm´ediate.
3.En vertu de la relation fonctionnelle satisfaite parf, l’in´egalit´e `a prouver ´equivaut `a f λ(x+n+ 1) + (1−λ)(y+n+ 1)
≤ f(x+n+ 1)λ
f(y+n+ 1)1−λ
, ou encore `a
lnh
f λ(x+n+ 1) + (1−λ)(y+n+ 1)i
≤λln f(x+n+ 1)
+ (1−λ) ln f(y+n+ 1) , ce qui r´esulte de la convexit´e de la fonction ln◦f.
L’in´egalit´e obtenue peut aussi s’´ecrire
f(t) f(x)λ
f(y)1−λ ≤ x(x+ 1)· · ·(x+n)λ
y(y+ 1)· · ·(y+n)1−λ
t(t+ 1)· · ·(t+n) . (*) Faisons tendrenvers +∞en utilisant l’´equivalence d´emontr´ee `a la fin de la question2.Le second membre de(*)tend vers Γ(t)
Γ(x)λ
Γ(y)1−λ. Il vient alors f(t)
Γ(t)≤ f(x)
Γ(x)
λ f(y) Γ(y)
1−λ .
4. L’in´egalit´e obtenue ci-dessus signifie que la fonction ln f
Γ
est convexe sur IR∗+. Or, cette fonction est 1-p´eriodique. Elle est donc constante : en effet, si une fonctiong est convexe et 1-p´eriodique sur IR∗+ avecg(1) =g(2) =C, on obtient ais´ement g≤C sur [1,2] et g≥C sur [2,3] et la p´eriodicit´e entraˆıneg=C sur [1,3], donc sur IR∗+.
Commef(1) = Γ(1) = 1, on a doncf = Γ.
EXERCICE 3 :
1.. Soitϕ: [0,1]→IR une application de classeC2. D´emontrer l’´egalit´e Z 1
0
ϕ(t)dt= 1
2 ϕ(0) +ϕ(1)
−1 2
Z 1 0
t(1−t)ϕ00(t)dt . (*) On suppose maintenant que ϕ(0) =ϕ(1) = 0. Montrer l’existence d’une constanteC telle que
Z 1 0
ϕ
≤C·M, o`uM = max
[0,1] |ϕ00|.
2. On note K le pav´e [0,1]2. Soitf :K → IR, de classeC4. On suppose quef est nulle sur le bord∂K du pav´eK et que
∂4f
∂x2∂y2
≤M0 surK. Trouver une constanteC0 telle que
Z Z
K
f
≤C0·M0 .
- - - - 1.Par deux int´egrations par parties successives, on obtient
Z 1 0
t(1−t)ϕ00(t)dt =
t(1−t)ϕ0(t)1 0+
Z 1 0
(2t−1)ϕ0(t)dt
=
(2t−1)ϕ(t)1 0−2
Z 1 0
ϕ(t)dt
= ϕ(1) +ϕ(0)−2 Z 1
0
ϕ ,
d’o`u la relation(*). Siϕ(0) =ϕ(1) = 0, il est alors imm´ediat que
Z 1 0
ϕ
=1 2
Z 1 0
t(1−t)ϕ00(t)dt
≤M 2
Z 1 0
t(1−t)dt=M 12 , d’o`u la possibilit´e de choisirC= 1
12.
Ce choix est le “meilleur” possible, ainsi qu’on le voit en consid´erant la fonction ϕ:t7→t(1−t) (fonction v´erifiantϕ(0) =ϕ(1) = 0 etϕ00 constante sur [0,1]).
2.La formule de Fubini permet d’´ecrire Z Z
K
f = Z 1
0
Z 1 0
f(x, y)dy
dx .
Or, en appliquant(*)`a y7→f(x, y) pour unx∈[0,1] fix´e, puisquef(x,0) =f(x,1) = 0, Z 1
0
f(x, y)dy=−1 2
Z 1 0
y(1−y)∂2f
∂y2(x, y)dy , puis
Z Z
K
f = −1 2
Z 1 0
Z 1 0
y(1−y)∂2f
∂y2(x, y)dy
dx
= −1 2
Z 1 0
y(1−y) Z 1
0
∂2f
∂y2(x, y)dx
dy (Fubini)
et, de nouveau grˆace `a(*), pour touty∈[0,1] fix´e, puisque ∂2f
∂y2(0, y) = ∂2f
∂y2(1, y) = 0, Z 1
0
∂2f
∂y2(x, y)dx=−1 2
Z 1 0
x(1−x) ∂4f
∂x2∂y2(x, y)dx et, finalement, en utilisant une derni`ere fois Fubini,
Z Z
K
f = 1 4
Z Z
K
xy(1−x)(1−y) ∂4f
∂x2∂y2(x, y)dx dy , d’o`u la majoration
Z Z
K
f
≤M0 4
Z Z
K
xy(1−x)(1−y)dx dy=M0 4
Z 1 0
x(1−x)dx 2
= M0 144 qui permet de choisirC0= 1
144. Ici encore, la fonction f : (x, y)7→xy(1−x)(1−y), nulle sur le bord du pav´e K et dont la d´eriv´ee partielle ∂4f
∂x2∂y2 garde une valeur constante, montre queC0= 1
144 est “la meilleure” constante possible.
EXERCICE 4 :
Produit de convolution dansC2π
SoitE =C2π le C-espace vectoriel des fonctions continues et 2π-p´eriodiques de IR vers C. Pour tous f,gdeE, on d´efinit une fonctionf∗gpar la relation
∀x∈IR (f∗g)(x) = Z 2π
0
f(t)g(x−t)dt . 1.V´erifier que∗est une loi interne commutative dansE.
Si l’une des fonctions f oug est suppos´ee de classeC1, que peut-on dire def∗g ?
2.Montrer queE, muni des lois + (addition usuelle) et∗, poss`ede une structure de pseudo-alg`ebre sur C (pas d’´el´ement unit´e).
3. On appelleapproximation de l’unit´e 2π-p´eriodiquetoute suite (en)n∈IN de fonctions de E v´erifiant
• ∀n∈IN en ≥0 sur IR ;
• ∀n∈IN
Z π
−π
en= 1 ;
• pour tout α ∈]0, π[ , la suite (en) converge uniform´ement vers la fonction nulle sur [−π,−α] et sur [α, π] .
Montrer qu’alors, pour tout f ∈ E, la suite de fonctions (en∗f) converge uniform´ement vers f sur IR.
4.Montrer que, pour tousf,g∈ E, on a Z 2π
0
f∗g= Z 2π
0
f
Z 2π 0
g
.
- - - -
1. La continuit´e de (x, t)7→f(t)g(x−t) sur IR×[0,2π] garantit la continuit´e def∗g sur IR.
La p´eriodicit´e est imm´ediate.
La commutativit´e se d´emontre en faisant le changement de variableu=x−tet en notant que l’int´egrale d’une fonction 2π-p´eriodique sur [a, a+ 2π] ne d´epend pas du r´eela.
Sig est de classeC1 sur IR, la formule de Leibniz montre quef∗gest de classeC1sur IR avec (f∗g)0 =f∗g0. Grˆace `a la commutativit´e, sif estC1, alorsf∗gestC1et (f∗g)0 =f0∗g.
Notons que, sif etgsont toutes deuxC1, alorsf∗g0=f0∗g, ce que l’on retrouve par une int´egration par parties.
2.La distributivit´e de la convolution par rapport `a l’addition f∗(g+h) =f∗g+f∗h est imm´ediate.
Prouvons l’associativit´e de la loi de convolution :
(f∗g)∗h (x) =
Z 2π 0
(f∗g)(t)h(x−t)dt
= Z 2π
0
Z 2π 0
f(u)g(t−u)du
h(x−t)dt
= Z 2π
0
f(u) Z 2π
0
g(t−u)h(x−t)dt
du ,
d’apr`es la formule de Fubini. Par ailleurs, Z 2π
0
g(t−u)h(x−t)dt =
Z 2π−u
−u
g(s)h(x−u−s)ds
= Z 2π
0
g(s)h(x−u−s)ds= (g∗h)(x−u),
donc
(f∗g)∗h (x) =
Z 2π 0
f(u) (g∗h)(x−u)du=
f∗(g∗h) (x).
(E,+,∗) est donc muni d’une structure de pseudo-anneau (pas d’´el´ement unit´e) et il est imm´ediat queλ(f∗g) = (λf)∗g=f ∗(λg) pourλ∈C,f ∈ E,g∈ E.
V´erifions qu’il n’y a effectivement pas d’´el´ement unit´e : si une telle fonctioneexistait, pour tout n∈IN, notonscnla fonction deE d´efinie parcn(x) = cosnx. Nous aurions alors, pour tout n∈IN, (cn∗e)(0) =cn(0), soit
Z 2π 0
e(−t) cosnt dt= 1, ce qui contredit manifestement le th´eor`eme de Riemann-Lebesgue.
3.Soitf ∈ E. Notons M =kfk∞= max
[0,2π]|f|.
Soitα∈]0, π[. Nous avons, pour toutx∈IR, (en∗f)(x)−f(x) =
Z π
−π
en(t) f(x−t)−f(x)
dt=I1+I2+I3,
o`uI1,I2,I3sont les int´egrales de cette mˆeme expression sur les intervalles [−π,−α], [−α, α]
et [α, π] respectivement.
Donnons-nous alors unε >0. Commef est uniform´ement continue sur IR (car elle est continue et p´eriodique), nous pouvons trouver unα >0 tel que
∀(x, y)∈IR2 |x−y| ≤α=⇒ |f(x)−f(y)| ≤ ε 3 . Pour un tel choix de α, nous avons
|I2| ≤ Z α
−α
en(t)|f(x−t)−f(x)|dt≤ ε 3
Z α
−α
en(t)dt≤ ε 3
Z π
−π
en =ε 3 . Cetα´etant maintenant fix´e, nous avons
|I3|=
Z π α
en(t) f(x−t)−f(x) dt
≤2M Z π
α
en(t)dt ,
et cette derni`ere expression tend vers 0 lorsquentend vers +∞en vertu de la convergence uniforme de la suite (en) vers 0 sur [α, π] ; il est donc possible de la rendre inf´erieure `a ε 3 pournassez grand (et ceci ind´ependamment dex). Proc´edant de mˆeme pour majorer|I1|, nous d´eduisons l’existence d’un entierN tel que
∀n∈IN n≥N =⇒ ken∗f−fk∞≤ε , donc la convergence uniforme de (en∗f) versf sur IR.
On dit que la suite (en) est uneapproximation de l’unit´e2π-p´eriodiquecar, pour tout f deE, les fonctions en∗f approchentf uniform´ement.
4.C’est une cons´equence imm´ediate de la formule de Fubini : Z 2π
0
f∗g= Z 2π
0
Z 2π 0
f(t)g(x−t)dt
dx= Z 2π
0
f(t) Z 2π
0
g(x−t)dx
dt
et l’int´egrale int´erieure est ´egale `a Z 2π
0
g(s)ds, d’o`u le r´esultat.
EXERCICE 5 :
Produit de convolution dansC(IR+)
Pour traiter cet exercice, on pourra admettre la “formule de Fubini dans un triangle” : Soita∈IR∗+. Soitf :Ta →C, continue, o`uTa est le “triangle” :
Ta ={(x, y)∈IR2|x≥0, y ≥0, x+y≤a}. On a alors l’´egalit´e
Z a 0
Z a−x 0
f(x, y)dy
dx= Z a
0
Z a−y 0
f(x, y)dx
dy
et la valeur commune de ces deux int´egrales sera not´ee Z Z
Ta
f(x, y)dx dy ou Z Z
Ta
f . SoitE =C(IR+) le C-espace vectoriel des fonctions continues de IR+ vers C. Pour tousf,g de
E, on d´efinit une fonctionf∗gpar la relation
∀x∈IR+ (f∗g)(x) = Z x
0
f(t)g(x−t)dt . 1.V´erifier que∗est une loi interne commutative dansE.
2.Montrer queE, muni des lois + (addition usuelle) et∗, poss`ede une structure de pseudo-alg`ebre sur C (pas d’´el´ement unit´e).
3. Montrer que, pour tout a ∈ IR+, l’int´egrale Z a
0
(f ∗g)(x) dx peut s’exprimer comme une int´egrale double.
4.Montrer que, si f etg sont int´egrables sur IR+, alorsf∗gest int´egrable sur IR+ et
Z
IR+
f∗g= Z
IR+
f
! Z
IR+
g
! .
- - - - 1.Le changement de variable lin´eairet=xudonne
(f∗g)(x) =x Z 1
0
f(xu)g x(1−u) du
et on en d´eduit la continuit´e de f ∗ g sur IR+ “par application des th´eor`emes usuels”
(comme il est d’usage de dire), donc∗est une loi interne dansE. La commutativit´e r´esulte imm´ediatement du changement de variableu=x−t.
2. La distributivit´e de la convolution par rapport `a l’addition f∗(g+h) =f∗g+f ∗h est imm´ediate.
L’associativit´e utilise “Fubini dans un triangle” : (f ∗g)∗h
(x) = Z x
0
(f∗g)(x−t)h(t)dt
= Z x
0
Z x−t 0
f(u)g(x−t−u)du
h(t)dt
= Z x
0
Z x−u 0
g(x−t−u)h(t)dt
f(u)du
= Z x
0
(g∗h)(x−u)f(u)du=
f∗(g∗h) (x).
Pour prouver qu’il n’y a pas d’´el´ement neutre, on montre que la relation e∗1 = 1, avec e∈ E, est impossible : en effet, cela entraˆınerait
Z x 0
e(t)dt= 1 pour toutx∈IR+, ce qui est manifestement impossible pourx= 0.
3.Grˆace `a “Fubini dans un triangle”, on obtient Z a
0
(f∗g)(x)dx = Z a
0
(f∗g)(a−t)dt
= Z a
0
Z a−t 0
f(u)g(a−t−u)du
dt
= Z a
0
Z a−u 0
g(a−u−t)dt
f(u)du
= Z a
0
Z a−u 0
g(t)dt
f(u)du
= Z Z
Ta
f(x)g(y)dx dy , avec Ta={(x, y)∈IR2|x≥0, y≥0, x+y≤a}.
4. Supposons f et g int´egrables sur IR+. Notons d’abord que |f ∗g| ≤ |f| ∗ |g|. Ensuite, pour tout a >0, notonsRa le pav´e [0, a]2, on a, d’apr`es la question pr´ec´edente,
Z a 0
|f∗g| ≤ Z a
0
|f|∗|g|= Z Z
Ta
|f(x)g(y)|dxdy≤ Z Z
Ra
|f(x)g(y)|dxdy= Z a
0
|f| Z a
0
|g|
,
ce qui prouve l’int´egrabilit´e def ∗gsur IR+. Pour touta >0, posons
ϕ(a) = Z a
0
f
Z a 0
g
− Z a
0
f∗g= Z Z
Ra
f(x)g(y)dx dy− Z Z
Ta
f(x)g(y)dx dy .
Alors ϕ(a) = Z Z
Ra\Ta
f(x)g(y)dx dy, donc
|ϕ(a)| ≤ Z Z
Ra\Ta
|f(x)g(y)|dx dy≤ Z Z
Ra\Ra 2
|f(x)g(y)|dx dy ,
c’est-`a-dire
|ϕ(a)| ≤ Z a
0
|f| Z a
0
|g|
− Z a2
0
|f|
! Z a2
0
|g|
! , d’o`u lim
a→+∞ϕ(a) = 0, ce qu’il fallait d´emontrer.
Pour prouver la “formule de Fubini dans un triangle”, on peut montrer d’abord que, pour toute fonction d’une variableϕ: [0, a]→C, continue, on a
Z a 0
Z a−y 0
ϕ(x)dx
dy= Z a
0
(a−x)ϕ(x)dx ,
puis appliquer Fubini (celui qui est au programme) `a la fonctiong: [0, a]2→C d´efinie par g(x, y) =f(x, y)−f(x, a−x) si(x, y)∈Ta et g(x, y) = 0 sinon.
EXERCICE 6 : 1.On admet
Z +∞
0
sinx
x dx= π 2.
Soit f : IR+ → C, continue par morceaux, int´egrable sur IR+. On suppose que la fonction g:t7→ f(t)−f(0+)
t est int´egrable sur ]0,1]. Montrer que
λ→+∞lim Z +∞
0
f(t) sinλt t dt= π
2 f(0+).
D´efinition
Soit f : IR → C une fonction continue par morceaux (c.p.m.) et int´egrable sur IR. Pour toutλ∈IR, on peut d´efinir l’int´egrale
fb(λ) = Z +∞
−∞
f(t)e−iλtdt . La fonctionfb: IR→C est latransform´ee de Fourierdef.
Dans ce qui suit, la fonctionf est suppos´ee continue par morceaux et de classeC1par morceaux, int´egrable sur IR. On se propose de d´emontrer laformule de r´eciprocit´esuivante :
∀x∈IR f(x+) +f(x−)
2 = 1
2π lim
A→+∞
Z A
−A
f(λ)b eixλdλ . (*)
2.Pour tousn∈IN∗ etλ∈IR, on pose Fn(λ) = Z n
−n
f(t)e−iλtdt.
Montrer, pour tousn∈IN∗,x∈IR etA∈IR∗+, l’´egalit´e Z A
−A
Fn(λ)eiλxdλ= 2 Z x+n
x−n
f(x−u) sinAu u du .
3.En utilisant la question 1., montrer l’´egalit´e(*)ci-dessus.
- - - - 1. L’int´egrale F(λ) =
Z +∞
0
f(t) sinλt
t dt est bien d´efinie pour tout λ ∈ IR : en effet, on a
f(t)sinλt t
≤ |λ f(t)|, donc la fonction t 7→f(t)sinλt
t est int´egrable sur IR∗+ pour tout r´eelλ.
Pour toutλ∈IR∗+, le changement de variablex=λtdonne imm´ediatement Z +∞
0
sinλt t dt=
Z +∞
0
sinx
x dx= π
2 , donc F(λ)−π
2 f(0+) = Z +∞
0
f(t)−f(0+) sinλt t dt
= Z 1
0
f(t)−f(0+)
t sinλt dt+ Z +∞
1
f(t)
t sinλt dt−f(0+) Z +∞
λ
sinx x dx . La fonction t 7→ f(t)
t est int´egrable sur [1,+∞[ et la fonction g est int´egrable sur ]0,1].
Les deux premiers termes tendent donc vers z´ero lorsqueλ tend vers +∞ (th´eor`eme de Riemann-Lebesgue, cf. `a la fin). Enfin, la (semi-)convergence de l’int´egrale
Z +∞
0
sint t dt montre que le troisi`eme terme aussi tend vers 0 lorsqueλtend vers +∞.
2.Pour tousn∈IN∗,x∈IR etA∈IR∗+, on a Z A
−A
Fn(λ)eixλdλ = Z A
−A
Z n
−n
f(t)e−iλtdt
eixλdλ
= Z n
−n
f(t) Z A
−A
ei(x−t)λdλ
! dt
(cette interversion des int´egrations est justifi´ee par le th´eor`eme de Fubini sif est continue sur [−n, n] et reste valable si f est seulement continue par morceaux : il suffit alors de d´ecomposer par la relation de Chasles en faisant intervenir les points de discontinuit´e def dans le segment [−n, n]). On a donc
Z A
−A
Fn(λ)eixλdλ= 2 Z n
−n
f(t) sinA(x−t) x−t dt= 2
Z x+n x−n
f(x−u)sinAu u du , la fonctionu7→ sinAu
u ´etant ´evidemment prolong´ee par continuit´e en z´ero.
3.On en d´eduit Z A
−A
Fn(λ)eixλdλ= 2
Z n−x 0
f(x+v) sinAv v dv+
Z x+n 0
f(x−u) sinAu u du
. Pour xet A fix´es, ces int´egrales ont des limites finies lorsquen tend vers +∞ car f est int´egrable sur IR et sinAu
u (´evidemment prolong´e par continuit´e pouru= 0) est born´e.
D’autre part, la majoration
|fb(λ)eixλ−Fn(λ)eixλ|=|fb(λ)−Fn(λ)| ≤ Z −n
−∞
|f|+ Z +∞
n
|f|, avecf int´egrable sur IR, montre que la suite de fonctions λ7→Fn(λ)eixλ
n∈IN∗ converge uniform´ement sur IR vers la fonction λ7→fb(λ)eixλ.
Pour toutA∈IR∗+, posons g(A) = Z A
−A
fb(λ)eixλdλ. On a donc g(A) = lim
n→+∞
Z A
−A
Fn(λ)eixλdλ
= 2
Z +∞
0
f(x+u)sinAu u du+ 2
Z +∞
0
f(x−u) sinAu u du .
Or, sif est c.p.m. et de classeC1par morceaux, les “taux d’accroissement” f(x+u)−f(x+) u
et f(x−u)−f(x−)
u ont des limites finies lorsqueutend vers z´ero par valeurs sup´erieures.
Les conditions d’application de la question 1. sont alors remplies, ce qui permet d’´ecrire que lim
A→+∞g(A) =π f(x+) +f(x−) .
Remarque. Sans hypoth`ese suppl´ementaire surf, on a simplement d´emontr´e l’existence d’une limite de l’expression (“int´egrale sym´etrique”) g(A) =
Z A
−A
fb(λ)eixλ dλ lorsque A tend vers +∞. Cela n’implique pas la convergence (mˆeme la “semi-convergence”) de l’int´egrale g´en´eralis´ee
Z +∞
−∞
fb(λ)eixλdλ : en effet, les int´egrales Z 0
−∞
et Z +∞
0
, consid´er´ees s´epar´ement, peuvent ˆetre divergentes.
Sous les hypoth`eses de cet exercice, en supposant de plusf continue surIR, le “signal”f peut ˆ
etre enti`erement retrouv´e lorsqu’on connaˆıt sa transform´ee de Fourier fb. Si on suppose de plusfbint´egrable surIR(ce qui peut r´esulter d’hypoth`eses de r´egularit´e faites sur la fonction f), la formule de r´eciprocit´e de Fourier peut alors s’´ecrire
∀x∈IR f(x) = 1 2π
Z +∞
−∞
fb(λ)eixλdλ , soit
∀x∈IR f(x) = 1 2π
cfb(−x), ou encore cfb(x) = 2π f(−x). Pour finir, voici l’´enonc´e et une preuve duth´eor`eme de Riemann-Lebesgue:
SoitIun intervalle de IR. Soitf :I→C une fonction continue par morceaux et int´egrable surI.
Alors l’int´egrale ˜f(λ) = Z
I
f(t)eiλtdt tend vers z´ero lorsque le r´eelλtend vers +∞.
Preuve : L’existence de ˜f(λ) r´esulte trivialement de l’int´egrabilit´e def surI.
• Pla¸cons-nous d’abord dans le cas o`uI est un segment :I= [a, b].
. sif est la fonction caract´eristique d’un intervalleJ = [α, β] (ou ]α, β] ou [α, β[ ou ]α, β[) aveca≤α≤β ≤b,alors
|f˜(λ)|= Z
J
eiλtdt
=
eiλβ−eiλα iλ
≤ 2
|λ| , et le r´esultat est ´evident.
. sif est en escalier sur [a, b], le r´esultat est encore vrai carf est combinaison lin´eaire de fonctions caract´eristiques d’intervalles.
.sif est une fonction c.p.m. quelconque sur [a, b],f est limite uniforme surId’une suite de fonctions en escalier. Cela signifie que, pour toutε >0, il existe une fonctionϕ, en escalier sur [a, b] telle que ∀x∈[a, b] |f(x)−ϕ(x)| ≤ ε
2(b−a). On a alors Z
I
|f−ϕ| ≤ ε 2. Donc, pour toutλ∈IR,
|f˜(λ)−ϕ(λ)|˜ = Z
I
f(t)−ϕ(t) eiλtdt
≤ Z
I
|f−ϕ| ≤ ε 2 .
Puisqueϕest en escalier, on peut trouver un r´eel Λ tel que, pourλ≥Λ, on ait |ϕ(λ)| ≤˜ ε 2 et donc|f˜(λ)| ≤ε.
•Soit maintenantIun intervalle quelconque de IR. Si on se donneε >0, on peut trouver un segmentJ inclus dansItel que
Z
K
|f| ≤ ε
2, en posantK=I\J (K est, soit un intervalle, soit la r´eunion de deux intervalles). Alors
f˜(λ) = Z
J
f(t)eiλtdt+ Z
K
f(t)eiλtdt ,
d’o`u l’on tire |f˜(λ)| ≤ Z
J
f(t)eiλtdt
+ ε
2. Or, il r´esulte de l’´etude faite sur un segment que lim
λ→+∞
Z
J
f(t) eiλt dt = 0 ; on peut alors trouver Λ tel que, pour λ ≥ Λ, on ait
Z
J
f(t)eiλtdt
≤ ε
2. Pourλ≥Λ, on aura alors|f˜(λ)| ≤ε.
Remarque. Lorsque f est une fonction de classeC1 sur un segment[a, b], une int´egration par parties, puis une majoration des diff´erents termes obtenus, permettent de conclure plus simplement.
