La fonction logarithme népérien est une fonction continue et strictement croissante de ]0 ; +∞ [ dans IR.

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Fonction exponentielle

I Définition

Remarque

La fonction logarithme népérien est une fonction continue et strictement croissante de ]0 ; +∞ [ dans IR.

Pour tout réel k , il existe donc un unique réel t ∈ ]0 ; +∞ [ tel que ln t = k. Ce réel t sera noté exp(k).

La fonction qui à k ∈ IR fait correspondre exp(k) est la fonction réciproque du logarithme népérien.

Définition

Pour tout réel x, on appelle exponentielle de x et on note exp(x) l'unique réel de ]0 ; +∞ [ dont le logarithme népérien est x.

On appelle fonction exponentielle la fonction exp : IR → ]0 ; +∞ [ x ֏ exp(x)

Remarque

  exp(x) = y 

x ∈ IR ⇔ _ ^{ } x = ln y y ∈ ]0 ; +∞ [

Remarque

Pour tout entier relatif n , on a n = ln e ⁿ et par conséquent exp(n) = e ⁿ .

Notation

On conviendra d'étendre cette notation pour un réel x quelconque, on notera alors exp : IR → ]0 ; +∞ [ x ֏ e ^x

.

Propriété (voir démonstration 01)

  e ^x = y 

x ∈ IR ⇔

 

 x = ln y y ∈ ]0 ; +∞ [

Propriétés (voir démonstration 02) Pour tout réel x , on a ln (e ^x ) = x

Pour tout réel strictement positif x , on a e ^{ln x} = x

(Les fonctions logarithme népérien et exponentielle sont des fonctions réciproques l'une de l'autre).

Propriétés (voir démonstration 03)

• La fonction exponentielle est définie sur IR .

• Pour tout réel x, on a e ^x > 0

• e ⁰ = 1 e ¹ = e

• La fonction exponentielle est strictement croissante sur IR.

• x > 0 ⇔ e ^x > 1 et x < 0 ⇔ 0 < e ^x < 1 Exercice 01 (voir réponses et correction) Résoudre dans IR les équations et inéquations proposées : e ^x = 2 ; e ^x = 1

2 ; e ^x = - 1

2 ; e ^x = 2

2 ; e ^x ³ 3 ; e ^x-4 £ 1

Exercice 02 (voir réponses et correction) Résoudre dans IR les équations et inéquations proposées :

e ^x+3 = e ^2x-1 ; e ^2x-5 > e ^x ; e ^2x-1 < e ; e (x-4)(2x-1) = 1 ; e ^{x 2 +3x-3} ³ e Exercice 03 (voir réponses et correction)

Étudier suivant les valeurs de x le signe des fonctions f, g et h définies sur IR par : f(x) = e ^-2x + 3 ; g(x) = 5 e ^2x - 7 ; h(x) = - 3 e ^1-x + 5

II Relation fonctionnelle

Remarque

La fonction logarithme népérien transforme un produit en somme, un inverse en opposé, un quotient en différence.

La fonction exponentielle étant la fonction réciproque du logarithme népérien, elle transformera une somme en produit, un opposé en inverse, une différence en quotient.

Propriété (voir démonstration 04) a et b étant deux réels et n un entier, on a :

e ^a+b = e ^{a x} e ^b ; e ^-b = 1

e ^b ; e ^a-b = e ^a

e ^b ; e ^na = ( e ^a ) ⁿ Exercice 04 (voir réponses et correction)

Simplifier les expressions suivantes : e ^{(x + ln 3)} ; e ^2x

e ^x ; ( e ^x + 1)( e ^x - 1) ; ( e ^x+1 )( e ^x-1 ) ; e ^2x - 1 e ^x + 1 Exercice 05 (voir réponses et correction)

Vérifier que pour tout réel x , on a : e ^x - 1

e ^x + 1 = 1 - e ^-x 1 + e ^-x Exercice 06 (voir réponses et correction) Démontrer que pour tout réel x :  

 

e ^x + e ^-x 2

2 -  

 

e ^x - e ^-x 2

2 = 1

Exercice 07 (voir réponses et correction)

Résoudre l'équation : e ^2x - 3 e ^x + 2 = 0 (On pourra poser X = e ^x ) Exercice 08 (voir réponses et correction)

Résoudre les équations : e ^2x + e ^x + 1 = 0 ; e ^2x = 3e ^x ; 2e ^x - 3e ^-x = -5 Exercice 09 (voir réponses et correction)

On considère la fonction f définie par : f(t) = 4 1 + e ^-t

1°) Justifier que f est définie sur IR et démontrer que pour tout réel t on a : f(t) = 4 e ^t

1 + e ^t .

2°) Résoudre f(t) = 3 et f(t) ³ 3 .

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III Étude de la fonction exponentielle

Propriété (voir démonstration 05) La fonction exponentielle est dérivable IR et ( e ^x ) ' _{= e} ^x .

Exercice 10 (voir réponses et correction) On considère la fonction f définie par : f(x) = e ^x - x 1°) Calculer f'(x) et étudier son signe.

2°) En déduire que f à un minimum que l'on déterminera.

3°) Justifier que pour tout réel x on a : e ^x ³ x + 1 En déduire la limite de la fonction exponentielle en +∞

4°) Déterminer la limite de la fonction exponentielle en - ∞

Propriété (voir démonstration 06) On a lim

x → +∞ e ^x = + ∞ et lim

x → –∞ e ^x = 0 .

Remarque

Ces limites peuvent se retrouver à partir des limites connues de la fonction logarithme népérien :

x → ₀

x > 0

lim ln x = - ∞ correspond à

x → lim -∞ e ^x = 0 et

x → lim ln x = ₊ ∞ +∞ correspond à

x → lim e ₊ ∞ ^x = +∞

Tableau de variations

Remarque

La droite d'équation y = 0, c'est à dire l'axe Ox est asymptote horizontale à la courbe de la fonction exponentielle quand x tend vers - ∞ .

Courbe représentative

x - ∞ +∞

+∞

e ^x 0

La courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x

y = e ^x

y = ln x

-6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6

-2 -1 1 2 3 4 5 6

M' M

C

e

Tableau de valeurs

En utilisant la calculatrice on obtient :

x -3 - 2 - 1 - 0,5 0 0,5 1 1,5 2

e ^x 0,05 0,14 0,37 0,61 1 1,65 2,72 4,48 7,39

Exercice 11 (voir réponses et correction) On considère la fonction f définie sur IR par : f(x) = x e ^x 1°) Déterminer la limite de f en +∞ .

2°) En posant X = e ^-x , démontrer que

x → lim -∞ f(x) = 0.

En déduire que la courbe représentative ( C ) de f a une asymptote D que l'on précisera.

3°) Calculer f'(x) et étudier son signe. Donner le tableau de variations de f . 4°) Donner l'équation de la tangente T à ( C ) en son point d'abscisse 0.

5°) Tracer ( C ), D et T dans un repère orthonormal d'unité 1cm.

Exercice 12 (voir réponses et correction)

On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞ [ par : f(x) = e ^x x - 2

1°) Déterminer la limite de f(x) lorsque x tend vers 0 par valeurs supérieures.

2°) En posant X = e ^x , démontrer que

x → lim +∞ f(x) = +∞

3°) Calculer f'(x) et étudier son signe.

4°) Donner le tableau de variations de f .

5°) Tracer la courbe ( C ) représentative de f dans un repère orthonormal d'unité 2cm.

Propriété (voir démonstration 07)

x lim → +∞

e ^x

x = + ∞ ; lim

x → –∞ x e ^x = 0 ; lim

x → 0

e ^x - 1 x = 1

Exercice 13 (voir réponses et correction) Déterminer

x → lim +∞ ( x + 1) e ^x ;

x → lim - ∞ ( x + 1) e ^x ;

x → lim - ∞ x ( e ^-x + 1) ;

x → lim +∞ x ( e ^-x + 1)

Propriété (voir démonstration 08)

u étant une fonction dérivable sur un intervalle I, la fonction exp(u) = e ^u qui à x associe exp(u(x)) = e ^{u (x)} est dérivable sur I, et on a : (exp(u))' = u' ^x exp(u) ou encore ( e ^u ) ' _{= u'} x e ^u

Exercice 14 (voir réponses et correction)

Calculer la dérivée de la fonction f dans chacun des cas suivants :

f(x) = e ^2x ; f(x) = e ^{x 2} ; f(x) = (e ^x ) ² ; f(x) = e ^-x ; f(x) = 3e ^2x - 5e ^x Exercice 15 (voir réponses et correction)

Calculer la dérivée de la fonction f dans chacun des cas suivants :

f(x) = xe ^-x ; f(x) = (2 x + 1) e ^2x ; f(x) = e ^-x (1 - x ) + 1 ; f(x) = 2 8 + e ^-x

Propriété (voir démonstration 09)

Toute fonction de la forme u' ^x e ^u a pour primitives e ^u + k , avec k ∈ IR.

Exercice 16 (voir réponses et correction)

Déterminer une primitive de la fonction f dans chacun des cas suivants :

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Exercice 17 (voir réponses et correction)

On considère la fonction f définie sur IR par : f(x) = e ^x - 1 e ^x + 1

Soit ( C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O; ^→ i , ^→ j ) d'unité 1cm.

1°) Déterminer les limites de f en - ∞ et en +∞ .

En déduire que ( C ) a deux asymptotes dont on donnera les équations.

2°) Calculer f'(x) et étudier son signe. Donner le tableau de variations de f.

3°) Justifier que la courbe ( C ) passe par l'origine O du repère.

Tracer la courbe ( C ) ainsi que ses asymptotes.

4°) Donner le coefficient directeur de la tangente à ( C ) en O.

Tracer cette tangente sur le dessin précédent.

Exercice 18 (voir réponses et correction) On considère la fonction f définie par : f(x) = e ^2x - 2 x 1°) Étudier la limite de f en - ∞ .

2°) Rappeler la valeur de

x → lim ₊ ∞ e ^x

x . En déduire

x → lim ₊ ∞ e ^2x

2x puis

x → lim ₊ ∞ f(x) . 3°) Calculer f'(x) et étudier son signe.

4°) Donner le tableau de variation de f.

5°) Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormal d'unité 1cm Exercice 19 (voir réponses et correction)

1°) On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞ [ par : f(x) = ( ax + b ) e ^- x 3 + 3 où a et b sont deux réels que l’on se propose de déterminer.

On sait que f admet un maximum au point d’abscisse 4 et que le point A(0 ; 2) appartient à la courbe C

représentative de la fonction f dans un repère orthogonal (O; ^→ i , ^→ j ) d’unités graphiques 2 cm en abscisses et 5 cm en ordonnées.

a) Soit f' la fonction dérivée de f . Déterminer f'(x) pour x appartenant à [0 ; +∞ [.

b) Montrer que a = 1 et b = -1.

2°) Étude de la fonction f définie sur [0 ; +∞ [ par : f(x) = ( x - 1) e ^- x 3 + 3 .

a) Déterminer la limite de f en +∞ . En déduire l’existence d’une asymptote ∆ à la courbe C en +∞ . Étudier la position de C par rapport à ∆ .

b) Étudier le sens de variation de f puis dresser son tableau de variations.

3°) a) Reproduire et compléter le tableau suivant :

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

f(x)

On arrondira les valeurs au centième.

b) Tracer la courbe C et la droite ∆ . 4°) Étude économique

Les dépenses de téléphone, en milliers d’euros, de la société TOUPACHER sont consignées dans le tableau suivant : x _i désigne le rang de l’année et y _i désigne la dépense.

Année 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

x _i 0 1 2 3 4 5 6 7 8

y _i 1,97 3,02 3,49 3,71 3,80 3,76 3,65 3,55 3,50

On recherche une fonction qui rende compte relativement correctement du phénomène.

On dira qu’une fonction f est acceptable si pour chaque valeur x, on a : | f(x _i ) - y _i | £ 10 ^-1 . a) Représenter le nuage de points M _i ( x _i ; y _i ) dans le repère précédent.

b) Montrer que la fonction f est acceptable.

c) Le responsable financier affirme que « si l’évolution des dépenses se poursuit selon ce modèle, on pourrait espérer retrouver une facture de téléphone inférieure à 3 000 euros ».

Êtes-vous d’accord avec cette affirmation ? Justifier.

Exercice 20 (voir réponses et correction)

Un éditeur spécialisé en ouvrages d’art diffuse sur une année 22000 livres dont les prix varient de 15 à 75 €.

On désigne par x le prix d’un livre, par p le nombre de livres disponibles et par q le nombre de livres demandés. Les résultats figurent dans le tableau ci-dessous :

x 15 25 30 45 60 75

p 2400 2600 2900 3900 4500 5700 q 5400 4100 3800 2800 2700 2000 On a tracé ci-contre les nuages de points ( x _i ; p _i ) et (x _i ; q _i ) dans un repère orthogonal du plan :

1°) On pose y = ln p.

a) Recopier et compléter le tableau : les résultats seront arrondis au millième.

x 15 25 30 45 60 75

p 2400 2600 2900 3900 4500 5700

y = ln p

b) Dans cette question, le détail des calculs statistiques n’est pas demandé.

À l’aide de la calculatrice, donner une équation de la droite D d’ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés.

Les coefficients seront arrondis au centième. En déduire une expression de p en fonction de x.

c) En utilisant cette expression, donner une estimation du nombre de livres disponibles pour un prix unitaire de 40 € (résultat arrondi à la centaine).

2°) On pose z = ln q et on admet l’égalité suivante : z = - 0,02 x + 8,73.

En utilisant cette relation, donner une estimation du prix correspondant à une demande de 2800 livres (résultat arrondi à l’unité).

3°) Le prix pour lequel l’offre est égale à la demande s’appelle le prix d’équilibre ; il est noté x ₀ . a) Déterminer par le calcul le prix d’équilibre, arrondi à l’unité.

b) Les calculs précédents permettaient-ils de prévoir le résultat ? Exercice 21 (voir réponses et correction)

La représentation graphique ( C ) ci-dessous est celle d’une fonction f définie sur [- 2 ; 3 ] dans le repère orthogonal (O;

→ i , ^→ j ) .

On note f' la fonction dérivée de f .

La courbe ( C ) vérifie les propriétés suivantes :

les points marqués • sont à coordonnées entières et appartiennent à la courbe ( C ) ; la tangente au point d’abscisse -1 est parallèle à l’axe des abscisses ;

la tangente au point d’abscisse 0 coupe l’axe des abscisses en x = 2.

1°) Donner une équation de la tangente à ( C ) au point d'abscisse 0.

2°) On amet que la fonction f est définie par une expression de la forme : f(x) = (ax + b) e ^kx où a , b et k sont des nombres réels.

a) Déterminer f'(x) en fonction de a , b et k .

b) En utilisant les propriétés de la courbe ( C ) calculer a, b et k.

c) Calculer f(-1) et en donner une valeur approchée à 10 ^-3 près .

q

p

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Exercice 22 (voir réponses et correction)

On considère deux fonctions f et g croissantes données par les tableaux de valeurs :

x 0 2,7 4 5,4 7,4 9,1

f(x) 1 3 5 9 20 40

x 1 2,2 2,8 3,1 4,5 7

g(x) 1 5 8 10 20 50

1°) Représenter les fonctions f et g dans le repère ci-dessus.

2°) Le repère ci-dessous est appelé repère semi-logarithmique.

La graduation sur l'axe (Oy) n'est pas "régulière". Son origine est 1 et elle est réalisée proportionnellement au logarithme népérien. Par exemple ln 10 ≈ 2,3 et ln 50 ≈ 3,9

Représenter les courbes de f et de g dans le repère ci-dessous.

Que remarque-t-on pour la courbe de f ?

3°) Lorsqu'une fonction positive est représentée dans un repère semi-logarithmique par une droite passant

par l'origine, cette fonction est de la forme e ^kx . En utilisant l'égalité f (4) = 5 donner l'expression de f .