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Fonction logarithme népérien

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Fonction logarithme népérien

I- Logarithme népérien d’un nombre

1) Introduction

On sait résoudre les équations de la forme ex= ea,aétant un réel donné. Mais dans le cas général, pour unm >0 donné, on ne sait pas résoudre l’équation ex=m.

Soit une réelm, discuter du nombre de solution de l’équation exp(x) =men fonction dem.

2) La définition

On appelle logarithme népérien d’un réel strictement positifml’unique solution de l’équation ex=m.

On note ce nombre ln(m).

Définition

Pour toutm >0,a= ln(m) ⇐⇒ m= ea. Propriété

ea=m

a= ln(m)

Cexp

Remarque

On pourra utiliser la touche ∏sur la calculatrice (texas instrument) : ln(1) = 0

ln(2)≈0,69

ln(10)≈2,3 ln(0,5)≈ −0,36

• ln 1 = 0 et ln e = 1.

• Pour toutx >0, eln(x)=x,

• Pour toutx∈R, ln (ex) =x.

Propriété

(2)

3) Propriétés algébriques

Pour touta >0 etb >0, on a :

• ln(ab) = ln(a) + ln(b) ;

• ln(1a) =−ln(a) ;

• ln(ab) = ln(a)−ln(b) ;

• ln(an) =nln(a) pourn∈N.

• ln(√

a) =12lna.

Propriété

II- Fonction logarithme népérien

1) Définition

On appelle fonction logarithme népérien la fonction notée ln qui a toutxde ]0 ; +∞[ associe ln(x).

La fonction ln est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.

Définition

2) Dérivée de la fonctionln

• La fonction ln est continue sur ]0; +∞[. (admis)

• La fonction ln est dérivable sur ]0; +∞[ et la dérivée de ln est : ln0(x) =1

x. Propriété

Démonstration

Utiliser le fait que exp(ln(x)) =xpourx >0.

xlim1

lnx

x−1= 1 ou lim

h0

ln(1 +h)

h = 1.

Propriété Conséquences

Démonstration

Utiliser la définition du nombre dérivé de ln enx= 1

3) Limites aux bornes de l’ensemble de définition

xlim+ln(x) = +∞ et lim

x0 x>0

ln(x) =−∞. Propriété

(3)

1) On doit démontrer que pour tout réel A>0 fixé, l’intervalle ]A; +∞[ contient tous les nombres ln(x) pourx assez grand, c’est-à-dire qu’il existe un réel M tel que six >M alors ln(x)>A.

Soit A>0 fixé, vérifiez que M = eAconvient. Conclure.

2) Utiliser la propriété précedente en effectuant le changement de variable X =1x.

4) Tableau de variations

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0; +∞[.

Propriété

On obtient alors le tableau de variations suivant : x

(ln)0(x) = 1x Variation

de ln

0 +∞

+

−∞

+∞ +∞ 1

0

e

1

a) Signe delnx

x Signe de

ln(x)

0 1 +∞

− 0 + Soitxun réel strictement positif,

ln(x)<0 ⇐⇒ 0< x <1 ln(x) = 0 ⇐⇒ x= 1 ln(x)>0 ⇐⇒ x >1 Théorème

b) Equations et inéquations

Soitaetbdeux réels stictement positifs, ln(a) = ln(b) ⇐⇒ a=b ln(a)<ln(b) ⇐⇒ a < b ln(a)6ln(b) ⇐⇒ a < b Théorème

Exemple

Résoudre les équations et inéquations suivantes :

1) Résoudre l’équation ex= 4 puis l’inéquation ex<4.

2) lnx= 4 3) ln(2x+ 3) = 0.

4) ln(5x2)6ln 4.

5) ln 2x <ln(x+ 1).

5) Courbe représentative

On noteClnetCexples courbes représentatives respectives de ln et de exp.

1) Montrer que M(a; b)∈ Cexp ⇐⇒ N(b; a)∈ Cln.

2) Justifier que M(0 ; 1)∈ Cexp. En déduire les coordonnées d’un point deCln. 3) En déduire la transformation permettant de construireClnà partir deCexp. 4) ConstruireClnà partir deCexpsur la figure ci-dessous.

(4)

x y

1 1

Cexp

y=x

La courbe représentative de ln 6) Quelques formes indéterminées

a) En+∞

En l’infini, les puissances dexl’emportent sur lnx, on a donc :

xlim+

ln(x) x = 0

xlim+

ln(x)

xn = 0 pour tout entiern≥1 Propriété

Exemple 1 :

Etudier la limite def en +∞ dans chacun des cas suivants :

1) f(x) = 2lnxx−4x.

2) f(x) =ln5xx2 −3x−7.

3) f(x) =lnx+2xx2 3. 4) f(x) = 3 lnxx.

b) En0+

Pour tout entiern≥1 limx0 x>0

xln(x) = 0 limx0

x>0

xnln(x) = 0. Propriété

Exemple 2 :

Etudier la limite def en0+dans chacun des cas sui- vants :

1) f(x) = 7x3lnx−5.

2) f(x) = 2 lnx+4x. 3) f(x) = 3x(2−lnx).

4) f(x) = 2x3+ 1−xlnx.

7) Fonctionln(u)

Il s’agit d’étudier la fonction ln(u) définie par :

x u u(x) ln ln(u(x))

(5)

La fonction ln étant définie sur ]0; +∞[, il est nécessaire queu(x) soit strictement positif.

a) Sens de variation, limites

Siuest une fonction strictement positive sur un intervalle I alors la fonction ln(u) a le même sens de variation que la fonctionu.

Théorème

αdésigne un nombre réel, +∞ou−∞.

D’après le théorème sur la limite d’une fonction composée :

• Si lim

xαu(x) = +∞ alors lim

xαln(u(x)) = +∞

• Si lim

xαu(x) = 0+ alors lim

xαln(u(x)) =−∞

• Si lim

xαu(x) =l alors lim

xαln(u(x)) = ln(l) Théorème

b) Dérivée deln(u)

Siu est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I alors la fonction ln(u) est dérivable sur I est

(ln(u))0=u0 u. Théorème

Exemple

Calculer les limites suivantes : 1) lim

x+ln(x2+ 2x+ 1) 2) lim

x0+ln(x2+ 2x+ 1) 3) lim

x+ln 3x+ 1

x4

4) lim

x0+ln 1

x

5) lim

x+ln

1

x2+ 4

Exemple

Calculerf0(x) dans chacun des cas suivants : 1) f(x) = ln(5x2+ 7x1)

2) f(x) =xln(x+ 1) 3) f(x) =x2+ 4 ln(2x+ 3) 4) f(x) = ln(1x)

5) f(x) =ln(6xx1)

8) Logarithme décimal

On appelle fonction logarithme décimal et on note log la fonction définie sur ]0; +∞[ par log(x) =ln(x)ln 10. Définition

• log(10) = ln 10ln 10 = 1. • log(10n) =n.

Propriété

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