Fonction logarithme népérien
I- Logarithme népérien d’un nombre
1) Introduction
On sait résoudre les équations de la forme ex= ea,aétant un réel donné. Mais dans le cas général, pour unm >0 donné, on ne sait pas résoudre l’équation ex=m.
Soit une réelm, discuter du nombre de solution de l’équation exp(x) =men fonction dem.
2) La définition
On appelle logarithme népérien d’un réel strictement positifml’unique solution de l’équation ex=m.
On note ce nombre ln(m).
Définition
Pour toutm >0,a= ln(m) ⇐⇒ m= ea. Propriété
ea=m
a= ln(m)
Cexp
Remarque
On pourra utiliser la touche ∏sur la calculatrice (texas instrument) : ln(1) = 0
ln(2)≈0,69
ln(10)≈2,3 ln(0,5)≈ −0,36
• ln 1 = 0 et ln e = 1.
• Pour toutx >0, eln(x)=x,
• Pour toutx∈R, ln (ex) =x.
Propriété
3) Propriétés algébriques
Pour touta >0 etb >0, on a :
• ln(ab) = ln(a) + ln(b) ;
• ln(1a) =−ln(a) ;
• ln(ab) = ln(a)−ln(b) ;
• ln(an) =nln(a) pourn∈N.
• ln(√
a) =12lna.
Propriété
II- Fonction logarithme népérien
1) Définition
On appelle fonction logarithme népérien la fonction notée ln qui a toutxde ]0 ; +∞[ associe ln(x).
La fonction ln est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.
Définition
2) Dérivée de la fonctionln
• La fonction ln est continue sur ]0; +∞[. (admis)
• La fonction ln est dérivable sur ]0; +∞[ et la dérivée de ln est : ln0(x) =1
x. Propriété
Démonstration
Utiliser le fait que exp(ln(x)) =xpourx >0.
xlim→1
lnx
x−1= 1 ou lim
h→0
ln(1 +h)
h = 1.
Propriété Conséquences
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Démonstration
Utiliser la définition du nombre dérivé de ln enx= 1
3) Limites aux bornes de l’ensemble de définition
xlim→+∞ln(x) = +∞ et lim
x→0 x>0
ln(x) =−∞. Propriété
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1) On doit démontrer que pour tout réel A>0 fixé, l’intervalle ]A; +∞[ contient tous les nombres ln(x) pourx assez grand, c’est-à-dire qu’il existe un réel M tel que six >M alors ln(x)>A.
Soit A>0 fixé, vérifiez que M = eAconvient. Conclure.
2) Utiliser la propriété précedente en effectuant le changement de variable X =1x.
4) Tableau de variations
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0; +∞[.
Propriété
On obtient alors le tableau de variations suivant : x
(ln)0(x) = 1x Variation
de ln
0 +∞
+
−∞
+∞ +∞ 1
0
e
1
a) Signe delnx
x Signe de
ln(x)
0 1 +∞
− 0 + Soitxun réel strictement positif,
ln(x)<0 ⇐⇒ 0< x <1 ln(x) = 0 ⇐⇒ x= 1 ln(x)>0 ⇐⇒ x >1 Théorème
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b) Equations et inéquations
Soitaetbdeux réels stictement positifs, ln(a) = ln(b) ⇐⇒ a=b ln(a)<ln(b) ⇐⇒ a < b ln(a)6ln(b) ⇐⇒ a < b Théorème
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Exemple
Résoudre les équations et inéquations suivantes :
1) Résoudre l’équation ex= 4 puis l’inéquation ex<4.
2) lnx= 4 3) ln(2x+ 3) = 0.
4) ln(5x−2)6ln 4.
5) ln 2x <ln(x+ 1).
5) Courbe représentative
On noteClnetCexples courbes représentatives respectives de ln et de exp.
1) Montrer que M(a; b)∈ Cexp ⇐⇒ N(b; a)∈ Cln.
2) Justifier que M(0 ; 1)∈ Cexp. En déduire les coordonnées d’un point deCln. 3) En déduire la transformation permettant de construireClnà partir deCexp. 4) ConstruireClnà partir deCexpsur la figure ci-dessous.
x y
1 1
Cexp
y=x
La courbe représentative de ln 6) Quelques formes indéterminées
a) En+∞
En l’infini, les puissances dexl’emportent sur lnx, on a donc :
xlim→+∞
ln(x) x = 0
xlim→+∞
ln(x)
xn = 0 pour tout entiern≥1 Propriété
Exemple 1 :
Etudier la limite def en +∞ dans chacun des cas suivants :
1) f(x) = 2lnxx−4x.
2) f(x) =ln5xx2 −3x−7.
3) f(x) =lnx+2xx2 3. 4) f(x) = 3 lnx−x.
b) En0+
Pour tout entiern≥1 limx→0 x>0
xln(x) = 0 limx→0
x>0
xnln(x) = 0. Propriété
Exemple 2 :
Etudier la limite def en0+dans chacun des cas sui- vants :
1) f(x) = 7x3lnx−5.
2) f(x) = 2 lnx+4x. 3) f(x) = 3x(2−lnx).
4) f(x) = 2x3+ 1−xlnx.
7) Fonctionln(u)
Il s’agit d’étudier la fonction ln(u) définie par :
x u u(x) ln ln(u(x))
La fonction ln étant définie sur ]0; +∞[, il est nécessaire queu(x) soit strictement positif.
a) Sens de variation, limites
Siuest une fonction strictement positive sur un intervalle I alors la fonction ln(u) a le même sens de variation que la fonctionu.
Théorème
αdésigne un nombre réel, +∞ou−∞.
D’après le théorème sur la limite d’une fonction composée :
• Si lim
x→αu(x) = +∞ alors lim
x→αln(u(x)) = +∞
• Si lim
x→αu(x) = 0+ alors lim
x→αln(u(x)) =−∞
• Si lim
x→αu(x) =l alors lim
x→αln(u(x)) = ln(l) Théorème
b) Dérivée deln(u)
Siu est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I alors la fonction ln(u) est dérivable sur I est
(ln(u))0=u0 u. Théorème
Exemple
Calculer les limites suivantes : 1) lim
x→+∞ln(x2+ 2x+ 1) 2) lim
x→0+ln(x2+ 2x+ 1) 3) lim
x→+∞ln 3x+ 1
x−4
4) lim
x→0+ln 1
x
5) lim
x→+∞ln
1
x2+ 4
Exemple
Calculerf0(x) dans chacun des cas suivants : 1) f(x) = ln(5x2+ 7x−1)
2) f(x) =xln(x+ 1) 3) f(x) =x2+ 4 ln(2x+ 3) 4) f(x) = ln(1x)
5) f(x) =ln(6xx−1)
8) Logarithme décimal
On appelle fonction logarithme décimal et on note log la fonction définie sur ]0; +∞[ par log(x) =ln(x)ln 10. Définition
• log(10) = ln 10ln 10 = 1. • log(10n) =n.
Propriété
