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Fonction logarithme népérien

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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Fonction logarithme népérien

I. La fonction logarithme népérien . Définition.

A tout nombre b > 0 correspond un unique nombre réel a tel que ea = b.

a est appelé le logarithme népérien de b. On le note ln (b).

On définit ainsi une fonction de ] 0 ; +  [ dans  par : ln : ] 0 ; +  [   x  ln (x)

Propriétés :

• Si b est un réel strictement positif et a est un réel quelconque alors on a : ea = b si et seulement si a = ln (b).

• Pour tout réel b strictement positif, e ln (b) = b.

• Pour tout réel a, ln (ea) = a.

• ln (e) = 1

• ln (1) = 0

• si b > 1 alors ln (b) > 0

• si 0 < b < 1 alors ln (b) < 0 Ex 20, 21 et 22 p 110.

Propriétés :

Pour tous réels a et b strictement positifs :

• ln(a) = ln(b) si et seulement si a = b.

• ln(a) < ln(b) si et seulement si a < b.

Ex 51, 55 et 58 p 111, Ex 67 et 70 p 112.

II.

Relation fonctionnelle et propriétés algébriques.

Propriété fondamentale :

Soit a et b deux réels strictement positifs alors ln(a  b) = ln a + ln b

démonstration :

On considère a et b deux réels strictement positifs.

On a a = e ln a, b = e ln b et a  b = e ln(a  b). mais a  b = e ln a  e ln b = e ln a +ln b.

On a donc e ln(a  b) = e ln a +ln b c'est-à-dire ln(a  b) = ln a + ln b.

(2)

Conséquences :

Soit a et b deux réels strictement positifs alors :

• ln

(

1a

)

= - ln a

• ln

(

ab

)

= ln a – ln b

• ln √a = 12 ln a

• Pour tout entier relatif n, ln (an) = n ln a.

Ex 17, 18, 25 27, 28 et 40 p 110.

III. Étude de la fonction ln . Propriété :

La fonction logarithme népérien est dérivable sur ] 0 ; +  [ et sa dérivée est la fonction inverse.

Conséquence :

La fonction ln est strictement croissante sur ] 0 ; +  [.

Remarques :

• On dit que les fonctions logarithme népérien et exponentielle sont fonctions réciproques l'une de l'autre.

• Les courbes de ces deux dernières fonctions sont symétriques par rapport à l'axe d'équation y = x.

Ex 88, 91 et 92 p 113.

En complément, Ex 96, 98 p 114 et 103 p 116.

Un petit tpur sur mathenpoche.

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