Fonction logarithme népérien
I. La fonction logarithme népérien . Définition.
A tout nombre b > 0 correspond un unique nombre réel a tel que ea = b.
a est appelé le logarithme népérien de b. On le note ln (b).
On définit ainsi une fonction de ] 0 ; + [ dans par : ln : ] 0 ; + [ x ln (x)
Propriétés :
• Si b est un réel strictement positif et a est un réel quelconque alors on a : ea = b si et seulement si a = ln (b).
• Pour tout réel b strictement positif, e ln (b) = b.
• Pour tout réel a, ln (ea) = a.
• ln (e) = 1
• ln (1) = 0
• si b > 1 alors ln (b) > 0
• si 0 < b < 1 alors ln (b) < 0 Ex 20, 21 et 22 p 110.
Propriétés :
Pour tous réels a et b strictement positifs :
• ln(a) = ln(b) si et seulement si a = b.
• ln(a) < ln(b) si et seulement si a < b.
Ex 51, 55 et 58 p 111, Ex 67 et 70 p 112.
II.
Relation fonctionnelle et propriétés algébriques.
Propriété fondamentale :
Soit a et b deux réels strictement positifs alors ln(a b) = ln a + ln b
démonstration :
On considère a et b deux réels strictement positifs.
On a a = e ln a, b = e ln b et a b = e ln(a b). mais a b = e ln a e ln b = e ln a +ln b.
On a donc e ln(a b) = e ln a +ln b c'est-à-dire ln(a b) = ln a + ln b.
Conséquences :
Soit a et b deux réels strictement positifs alors :
• ln
(
1a)
= - ln a• ln
(
ab)
= ln a – ln b• ln √a = 12 ln a
• Pour tout entier relatif n, ln (an) = n ln a.
Ex 17, 18, 25 27, 28 et 40 p 110.
III. Étude de la fonction ln . Propriété :
La fonction logarithme népérien est dérivable sur ] 0 ; + [ et sa dérivée est la fonction inverse.
Conséquence :
La fonction ln est strictement croissante sur ] 0 ; + [.
Remarques :
• On dit que les fonctions logarithme népérien et exponentielle sont fonctions réciproques l'une de l'autre.
• Les courbes de ces deux dernières fonctions sont symétriques par rapport à l'axe d'équation y = x.
Ex 88, 91 et 92 p 113.
En complément, Ex 96, 98 p 114 et 103 p 116.
Un petit tpur sur mathenpoche.
