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La fonction Logarithme népérien

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

La fonction Logarithme népérien

1. Remarque On a vu que la fonction exponentielle est une fonction continue et strictement croissante de R sur]0; +∞[. Pour tout réelb de ]0; +∞[, il existe un unique réel atel queea=b. On dit que aest le logarithme népérien deb et on note : a= ln(b).

2. Définition

La fonction, définie sur]0; +∞[, qui à x associeln(x) est appeléefonction logarithme népérien.

3. Remarques

D’après la définition :

(a) b >0 eta= ln(b) équivaut à ea=b (b) Pour tout réel x >0, eln(x)=x

(c) Pour tout réel x,ln(ex) =x (d) ln(1) = 0etln(e) = 1

4. Propriétés algébriques de la fonction ln Pour tous réels aetb strictement positifs

(a) ln(a×b) = ln(a) + ln(b) Démonstration( à compléter)

eln(a×b)=...et eln(a)+ln(b) = eln(a)×...=...

donc : eln(a×b)= eln(x)+ln(b) et par conséquent :ln(a×b) = ln(a) + ln(b) (b) ln

1 a

=−ln(a) Démonstration ln(1) = ln

a× 1

a

= ln(a) + ln 1

a

= 0 donc : ln 1

a

=−ln(a) (c) lna

b

= ln(a)−ln(b) Démonstration

lna b

= ln

a×1 b

= ln(a) + ln 1

b

= ln(a)−ln(b) (d) Pour tout n∈Z, ln (an) =nln(a)

Démonstration

Pour n≥0 on fait une démonstration par récurrence.

Sin <0, on posep=−n. On a :ln (an) = ln 1

ap

=−ln(ap) =−pln(a) =nln(a) (e) ln√

a=1 2ln(a) Démonstration ln

(√ a)2

= 2 ln (√

a) = ln(a) doncln (√ a) = 1

2ln(a) 5. Étude de la fonction logarithme népérien

(a) Propriété (admise)

La fonction ln est continue sur]0; +∞[

(b) La fonction ln est dérivable sur]0; +∞[et pour tout x de ]0; +∞[, on a : ln0(x) = 1

x 1

(2)

Démonstration

Soit x >0, a >0etx6=a. On pose X= ln(x), A= ln(a) Comme ln est continue, lim

xaln(x) = ln(a) donc lim

xaX =A

xlima

ln(x)−ln(a)

x−a = lim

XA

X−A

eX −eA = lim

XA

1 eX −eA

X−A

= 1

exp0(A) = 1 eA = 1

a (c) La fonction ln eststrictement croissante sur]0; +∞[

(d) lim

x+lnx= +∞ Démonstration

Soit A >0. Peut-on déterminer un réel x0 tel que si x > x0,ln(x)> A? ln(x)> A⇔ elnx >eA⇔x >eA. Il suffit de prendre : x0 = eA

(e) lim

x0+lnx=−∞

Démonstration

xlim0+

1

x =+∞ et lim

X+

lnX=+∞

alors lim

x0+ln 1

x

=+∞ mais ln 1

x

=−lnx donc lim

x0+lnx=−∞

(f) Tableau de variation de la fonction ln :

x 0 +∞

ln0(x) +

ln(x)

−∞

+∞

(g) Représentation graphique

1 2 3 4 5 6 7

1

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

y= ln(x) y=ex

y=x

2

(3)

(h) Remarque

D’après ce qui précède, pour aetbréels strictement positifs : i. ln(a) = ln(b)⇐⇒a=b

ii. ln(a)<ln(b)⇐⇒a < b 6. Autres limites importantes

1) lim

x+

lnx

x = 0 2) lim

x0+xlnx= 0 3) lim

h0

ln(1 +h)

h = 1

Démonstration IROC

1) Soitf définie par :f(x) =√

x−lnx, x∈I =]0; +∞[;f0(x) = 1 2√

x−1 x =

√x−2

2x . On a le tableau de variation def suivant :

x 0 4 +∞

f0(x) − 0 +

f(x)

2−ln 4≈0,61 Sur I,f(x)>0. Sur [1; +∞[: 1

√x ≥ lnx

x ≥0. D’après le théorème des gendarmes : lim

x+

lnx x = 0 2) exercice

3) On utilise la définition du nombre dérivé.

7. Dérivée de la fonction composée x7−→ln(u(x))

Soituune fonction dérivable et strictement positive sur un intervalleI deR. La fonctionx7−→ln(u(x)) est dérivable sur I et pour tout xde I :

[ln(u(x))]0= u0(x) u(x) 8. Logarithmes décimaux

On appelle fonction logarithme décimalla fonction, notée log, définie sur ]0; +∞[ par : logx= lnx

ln 10 Propriétés

Pour aetbdeux réels strictement positifs : (a) log 10 = 1,log 1 = 0

(b) log(a×b) = log(a) + log(b) (c) loga

b

= log(a)−log(b) (d) Pour n∈Z,log (an) =nlog(a)

(e) log est strictement croissante sur]0; +∞[

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