La fonction Logarithme népérien
1. Remarque On a vu que la fonction exponentielle est une fonction continue et strictement croissante de R sur]0; +∞[. Pour tout réelb de ]0; +∞[, il existe un unique réel atel queea=b. On dit que aest le logarithme népérien deb et on note : a= ln(b).
2. Définition
La fonction, définie sur]0; +∞[, qui à x associeln(x) est appeléefonction logarithme népérien.
3. Remarques
D’après la définition :
(a) b >0 eta= ln(b) équivaut à ea=b (b) Pour tout réel x >0, eln(x)=x
(c) Pour tout réel x,ln(ex) =x (d) ln(1) = 0etln(e) = 1
4. Propriétés algébriques de la fonction ln Pour tous réels aetb strictement positifs
(a) ln(a×b) = ln(a) + ln(b) Démonstration( à compléter)
eln(a×b)=...et eln(a)+ln(b) = eln(a)×...=...
donc : eln(a×b)= eln(x)+ln(b) et par conséquent :ln(a×b) = ln(a) + ln(b) (b) ln
1 a
=−ln(a) Démonstration ln(1) = ln
a× 1
a
= ln(a) + ln 1
a
= 0 donc : ln 1
a
=−ln(a) (c) lna
b
= ln(a)−ln(b) Démonstration
lna b
= ln
a×1 b
= ln(a) + ln 1
b
= ln(a)−ln(b) (d) Pour tout n∈Z, ln (an) =nln(a)
Démonstration
Pour n≥0 on fait une démonstration par récurrence.
Sin <0, on posep=−n. On a :ln (an) = ln 1
ap
=−ln(ap) =−pln(a) =nln(a) (e) ln√
a=1 2ln(a) Démonstration ln
(√ a)2
= 2 ln (√
a) = ln(a) doncln (√ a) = 1
2ln(a) 5. Étude de la fonction logarithme népérien
(a) Propriété (admise)
La fonction ln est continue sur]0; +∞[
(b) La fonction ln est dérivable sur]0; +∞[et pour tout x de ]0; +∞[, on a : ln0(x) = 1
x 1
Démonstration
Soit x >0, a >0etx6=a. On pose X= ln(x), A= ln(a) Comme ln est continue, lim
x→aln(x) = ln(a) donc lim
x→aX =A
xlim→a
ln(x)−ln(a)
x−a = lim
X→A
X−A
eX −eA = lim
X→A
1 eX −eA
X−A
= 1
exp0(A) = 1 eA = 1
a (c) La fonction ln eststrictement croissante sur]0; +∞[
(d) lim
x→+∞lnx= +∞ Démonstration
Soit A >0. Peut-on déterminer un réel x0 tel que si x > x0,ln(x)> A? ln(x)> A⇔ elnx >eA⇔x >eA. Il suffit de prendre : x0 = eA
(e) lim
x→0+lnx=−∞
Démonstration
xlim→0+
1
x =+∞ et lim
X→+∞
lnX=+∞
alors lim
x→0+ln 1
x
=+∞ mais ln 1
x
=−lnx donc lim
x→0+lnx=−∞
(f) Tableau de variation de la fonction ln :
x 0 +∞
ln0(x) +
ln(x)
−∞
+∞
(g) Représentation graphique
1 2 3 4 5 6 7
−1
−2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1
−2
−3
y= ln(x) y=ex
y=x
2
(h) Remarque
D’après ce qui précède, pour aetbréels strictement positifs : i. ln(a) = ln(b)⇐⇒a=b
ii. ln(a)<ln(b)⇐⇒a < b 6. Autres limites importantes
1) lim
x→+∞
lnx
x = 0 2) lim
x→0+xlnx= 0 3) lim
h→0
ln(1 +h)
h = 1
Démonstration IROC
1) Soitf définie par :f(x) =√
x−lnx, x∈I =]0; +∞[;f0(x) = 1 2√
x−1 x =
√x−2
2x . On a le tableau de variation def suivant :
x 0 4 +∞
f0(x) − 0 +
f(x)
2−ln 4≈0,61 Sur I,f(x)>0. Sur [1; +∞[: 1
√x ≥ lnx
x ≥0. D’après le théorème des gendarmes : lim
x→+∞
lnx x = 0 2) exercice
3) On utilise la définition du nombre dérivé.
7. Dérivée de la fonction composée x7−→ln(u(x))
Soituune fonction dérivable et strictement positive sur un intervalleI deR. La fonctionx7−→ln(u(x)) est dérivable sur I et pour tout xde I :
[ln(u(x))]0= u0(x) u(x) 8. Logarithmes décimaux
On appelle fonction logarithme décimalla fonction, notée log, définie sur ]0; +∞[ par : logx= lnx
ln 10 Propriétés
Pour aetbdeux réels strictement positifs : (a) log 10 = 1,log 1 = 0
(b) log(a×b) = log(a) + log(b) (c) loga
b
= log(a)−log(b) (d) Pour n∈Z,log (an) =nlog(a)
(e) log est strictement croissante sur]0; +∞[
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