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Fonction logarithme népérien

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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Fonction logarithme népérien

Table des matières

I Définition . . . 1

II Sens de variation, courbe représentative . . . 1

III Fonctionx7→ln[u(x)] . . . 2

IV Propriétés algébriques . . . 3

Activité n

o

1 page 141 I Définition

Définition

On appelle fonction logarithme népérien, notée ln, l’unique fonction telle que :

• ln est définie et dérivable sur ]0 ;+∞[

• ln(1)=0

• Pour toutx>0, ln(x)= 1 x

Remarque: on écrit souvent lnxà la place de ln(x).

Remarque: une expression de la forme ln (u(x)) est définie si, et seulement si,u(x)>0 Exemples :

• ln(x−3) est définie si, et seuelement si,x−3>0 donc pourx>3.

• ln(1−x) est définie pour 1x>0, donc pourx<1.

• ln(x2+x+1) est définie surRcarx2+x+1>0 pour toutx,x2+x+1= µ

x+1 2

1

+3 4>0

II Sens de variation, courbe représentative

1. Sens de variation : On a vu que : ln(x)= 1

x; comme x >0, ln(x)>0 donc la fonction ln eststrictement croissantesur ]0 ; +∞[.

1

(2)

7→

2. Tableau de variations La tabeau de variations est :

x 0 +∞

f(x) + f(x)

−∞

+∞

3. Signe

On a vu dans la définition que ln(1)=0.

On en déduit que :

• si 0<x<1, ln(x)<0

• six>1, lnx>0

4. Équations et inéquationsSoientaetbdeux nombres strictement positifs.

• lna=lnbest équivalent àa=b.

• lna<lnbest équivalent àa<b.

lna>lnbest équivalent àa>b.

5. Nombre e

On appelle e le nombre (unique) dont le logarithme vaut 1 (notation due à Euler) : ln(e)=1. Valeur approchée : e≈2, 718

6. Courbe représentative

O 1

1

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

e

y=lnx

Équations du type :ln(u(x))=0

ln(u(x))=0⇔ln(u(x))=ln 1⇔u(x)=1

Exemple :ln(x−3)=0 équivaut àx>3 etx−3=1 doncx=4

Équations du type: ln(u(x))=ln(v(x)), avecu(x) etv(x) strictement positifs ; il faut alors queu(x)=v(x).

III Fonction x 7→ ln[u(x)]

Soituune fonction définie, strictement positive et dérivable sur un intervalleI.

On considère la fonction f, composée deusuivie de la fonction ln :f =ln◦u.

f est définie parf(x)=ln(u(x)).

Page 2/3

(3)

f est dérivable et f=u

u donc, pour toutxI, f(x)=u(x) u(x) Exemple :

Soit f la fonction définie surRpar f(x)=ln(x2+x+1).

f(x)=ln(u(x)) avecu(x)=x2+x+1.uest dérivable, strictement positive surRetux=2x+1.

Alors f(x)=u(x)

u(x) = 2x+1 x2+x+1

IV Propriétés algébriques

Préliminaire : étude d’une fonction :

Soita>0 un réel fixé, mais quelconque. On considère alors la fonctionf définie parf(x)=ln(ax)−ln(x).

Pour toutx>0 on a :f(x)= a ax−1

x =1 x−1

x=0.

La dérivée de f est nulle, donc la fonctionf est constante.

Pour calculer cette valeur constante, il suffit de calculer f pour une valeur particulière dex.

Pourx=1, on obtientf(1)=ln(a)−ln(1)=ln(a).

On en déduit que, pour toutx>0, f(x)=ln(a), donc ln(ax)−ln(x)=ln(a).

Par conséquent : ln(ax)=ln(a)+ln(x) (le logarithme d’un produit est égal à la somme des logarithmes).

Propriétés

aetbsont deux nombres strictement positifs ;nest un entier relatif.

1. Produit :ln(ab)=lna+lnb 2. Inverse :ln

µ1 a

= −lna 3. Quotient :ln³a

b

´

=lna−lnb 4. Puissances :ln¡

an¢

=nlna 5. Racine carrée :lnp

a=1 2lna Démonstrations :

• ln(ab)=lna+lnbdécoule de ce qu’on a vu dans l’étude préliminaire.

• ln µ

a×1 a

=ln(a)+ln µ1

a

¶ et ln

µ a×1

a

=ln(1)=0 donc ln µ1

a

= −ln(a).

• ln

³a b

´

=ln µ

a×1 b

=ln(a)+ln µ1

b

=ln(a)+(−ln(b))=ln(a)−ln(b).

• ln¡ an¢

=ln (a×a× · · ·a)=ln(a)+ln(a)+ · · · +ln(a)=nln(a).

• ln(a)=ln¡p a×p

a¢

=ln¡p a¢

+ln¡p a¢

=2 ln¡p a¢

donc ln¡p a¢

=1 2ln(a).

Exemples :

• ln 6=ln(2×3)=ln 2+ln 3

• ln1

3= −ln3

• ln2

3=ln 2−ln 3

• ln(109) = 9 ln10 (remarque : ln 10 ≈ 2, 3, donc ln¡

109¢

≈20, 7)

• lnp 5=1

2ln 5

• ln¡ e3¢

=3 ln e=3×1=3 Page 3/3

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