Fonction logarithme népérien

f Chapitre 12 f

Fonction logarithme népérien

I. Lien avec la fonction exponentielle

La fonction logarithme népérien, notée ln , est la fonction définie sur ]0;+∞[, qui à tout nombre réelx>0 associe l’unique solution de l’équatione^y=x, d’inconnuey.

On note cette solutiony=lnx.

Définition 1:

−4 −3 −2. −1.

1.

2.

3.

4.

0

C

: y = e

b = l n(a) y = a

Conséquences :

1. Pour tout réelx>0 et pour tout réely, e^y=x⇐⇒y=lnx 2. Pour tout réelx>0,

e^lnx=x

3. Pour tout réelx,

ln¡ e^x¢

=x

Pour tous réelsaetbstrictement positif :

• lna=lnbsi et seulement sia=b

• lna>lnbsi et seulement sia>b

Propriété 1 :

Pour résoudre une équation du type ln(u(x))=ln(v(x)) :

• Rechercher l’ensembleEdes réels tels queu(x)>0 etv(x)>0 ;

• Résoudre dansE, l’équationu(x)=v(x) .

Méthode 1 :

On va résoudre l’équation ln(x+2)=ln(3−x).

Conditions d’existence:x+2>0 et 3−x>0.

C’est-à-dire :x> −2 et 3>x. D’oùE=]−2 ; 3[.

Pour toutx∈E, ln(x+2)=ln(3−x) équivaut àx+2=3−xc’est-à-dire 2x=1 ou encorex=1 2. Ce nombre appartient bien àE. Donc l’ensemble des solutions estS=

½1 2

¾ .

Exemple 1:

Pour résoudre une inéquation du type ln(u(x))<ln(v(x)) :

• Rechercher l’ensembleEdes réels tels queu(x)>0 etv(x)>0 ;

• Résoudre dansE, l’inéquationu(x)<v(x).

Méthode 2 :

On va résoudre l’inéquation ln(x²+3x)<ln 18.

Condition d’existence:x²+3x>0 soitx(x+3)>0. D’oùE=]−∞;−3[∪]0 ;+∞[.

Pour toutx∈E, ln(x²+3x)<ln 18 équivaut àx²+3x<18 ou encorex²+3x−18<0.

Le trinômex²+3x−18 a pour discriminant∆=81 et pour racines−6 et 3.

Doncx²+3x−18<0 ⇐⇒ x∈]−6 ; 3[.

En tenant compte du fait quexappartient àE, on a finalement,S=]−6 ;−3[∪]0 ; 3[.

Exemple 2:

II. Relations fonctionnelles

Pour tous réels strictement positifsaetbon a :

ln (ab)=lna+lnb

Définition 2:

Conséquences :

Pour tous réels strictement positifsa,bet tout entier naturelp, on a :

1. ln (ab)=lna+lnb 2. lna

b=lna−lnb 3. ln1

a= −lna 4. ln (a^p)=plna

5. lnp a=1

2lna SimplifionsA=ln(x+2)²

px+2

A = ln(x+2)²

px+2 = ln (x+2)²−lnp

x+2 = 2×ln (x+2)−1

2×ln (x+2) = 3

2×ln (x+2)

Exemple 3:

On cherche à résoudre l’inéquation µ1

3

¶n

6^{0, 01 avecn}∈N. La fonction ln est croissante sur ]0 ;+∞[ donc l’inéquation

µ1 3

¶n

60, 01 est équivalente à ln

·µ1 3

¶n¸

6^{ln 0, 01.}

Pour touta>0, ln(aⁿ)=nlna, donc l’inéquation s’écrit :nln µ1

3

¶

6^{ln 0, 01.}

En divisant chaque membre par ln µ1

3

¶

qui est strictement négatif, le sens de l’inégalité change.

n>^{ln 0, 01} ln

µ1 3

¶, or ln 0, 01 ln

µ1 3

¶ ≈4, 19

L’ensemble solution est constitué de tous les entiersn>^5.

Méthode 3 :

III. Étude de la fonction ln x

1. Continuité

La fonction logarithme népérien est définie et continue sur ]0;+∞[

Définition 3:

2. Dérivée de la fonction ln x

La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0;+∞[ et (lnx)⁰=1

x

Propriété 2 :

Propriété à démontrer : « (lnx)⁰=1 x»

On admet que la fonction ln est dérivable sur ]0 ;+∞[.

Pour tout réelx>0, on posef(x)=e^lnx. La fonction ln étant dérivable sur ]0 ;+∞[,f est aussi dérivable sur ]0 ;+∞[.

Pour tout réelx>0, calculonsf⁰(x) de deux manières :

• f⁰(x)=ln⁰(x)×e^ln(x)=xln⁰(x)

• f(x)=xdoncf⁰(x)=1.

On en déduit que pour tout réelx>0,xln⁰(x)=1 , par suite ln⁰(x)=1

x.

Démonstration :

3. Limite de la fonction ln x

x→+∞lim ln(x)= +∞ et lim

x→0 x>0

ln(x)= −∞

Propriété 3 :

• Propriété à démontrer : « lim

x→+∞ln(x)= +∞» Pour tout réelA>0,

lnx>A ⇐⇒ x>e^Adonc lim

x→+∞ln(x)= +∞.

• Propriété à démontrer : « lim

x→0x>0

ln(x)= −∞»

Pour tout réelx>0, on poseX=1

x. On ax= 1

X donc lnx=ln 1

X = −lnX limx→0

x>0

X= +∞et lim

X→+∞(−lnX)= −∞donc par limite d’une composée lim

x→0x>0

ln(x)= −∞.

Démonstration :

x→+∞lim lnx

x =0 et lim

x→0xlnx=0

Propriété 4 :

• Propriété à démontrer : « lim

x→+∞

lnx x =0 »

Pour tout réelx>0, on effectue le changement de variable :X=lnx, on a alorsx=e^X. Ainsi lnx

x = X e^X = 1

e^X X

.

Or lim

x→+∞X= lim

x→+∞lnx= +∞et lim

X→+∞

e^X

X = +∞donc par limite d’un quotient lim

X→+∞

1 e^X

X

=0.

Enfin, par limite d’une composée, lim

x→+∞

lnx

x =0.

• Propriété à démontrer : « lim

x→0xlnx=0 »

Pour tout réelx>0, on poseX=lnx, on a alorsxlnx=e^X×X. On a lim

x→0X=lim

x→0lnx= −∞et par propriété, lim

X→−∞Xe^X=0, donc par limite d’une composée, lim

x→0xlnx=0.

Démonstration :

La propriété précédente est vraie pour n’importe quel polynôme de degrén:

x→+∞lim lnx

xⁿ =0 et lim

x→0xⁿlnx=0

Remarque :

lim

h→0

ln(1+h) h =1

Propriété 5 :

Propriété à démontrer : « lim

h→0

ln(1+h) h =1 »

La fonction ln est dérivable en 1 donc, par définition, lim

h→0

ln(1+h)−ln 1

h =ln⁰(1).

Or ln 1=0 et ln⁰(1)=1

1=1, on obtient donc lim

h→0

ln(1+h)

h =1.

Démonstration :

On cherche à déterminer les limites suivantes : 1. lim

x→+∞(lnx−2x) 2. lim

x→+∞xln µ

1+1 x

¶

Dans le cas d’une forme indéterminée qui fait intervenir la fonction ln, on peut : 1. Factoriser et faire apparaître des limites déjà connues :

Pour tout réelx>0, lnx−2x=x µlnx

x −2

¶

. Par propriété, lim

x→+∞

lnx

x =0 donc lim

x→+∞

µlnx x −2

¶

= −2.

Donc par limite d’un produit, lim

x→+∞x µlnx

x −2

¶

= −∞. Ainsi, lim

x→+∞(lnx−2x)= −∞.

2. Effectuer un changement de variable : Pour tout réelx>0, on poseX=1

x, on a alorsxln µ

1+1 x

¶

=ln(1+X)

X .

On a lim

x→+∞X= lim

x→+∞

1

x =0 et par propriété, lim

X→0

ln(1+X)

X =1

Donc par limite d’une composée, lim

x→+∞xln µ

1+1 x

¶

=1.

Méthode 4 :

4. Variations de la fonction ln x

La fonction logarithme népérien eststrictement croissantesur ]0;+∞[

Propriété 6 :

x

(lnx)⁰

lnx

0 +∞

+

−∞

+∞

+∞

1

0 e

1

−1 1 2 3 4

−2

−1 1

0

C

: y = l nx

e

Propriété à démontrer : « La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0;+∞[ » La fonction logarithme népérien est dérivable surR^+∗et sa dérivée est la fonction inverse.

Or la fonction inverse est positive surR^+∗, donc la fonction logarithme népérien est croissante surR^+∗

Démonstration :

Une équation de la tangente à la courbe de la fonction ln en 1 esty=ln⁰(1)(x−1)+ln 1 soity=x−1.

Remarque :

IV. Étude de la fonction ln u(x )

1. Limites de la fonction ln u (x )

Pour étudier les limites d’une fonction du type lnu, on peut :

• utiliser le théorème sur la limite d’une composée ;

• utiliser les théorèmes de comparaison.

f est la fonction définie sur ]0 ;+∞[ par f(x)=ln µx+2

x²

¶

. Étudier les limites de la fonctionf aux bornes de son ensemble de définition.

• Pour toutx>0,x+2 x² =1

x+ 2

x². De plus, lim

x→+∞

1

x =0 et lim

x→+∞

2

x²=0 donc par limite d’une somme, lim

x→+∞

x+2 x² = 0.

De plus, lim

X→0lnX= −∞donc par limite d’une composée, lim

x→+∞f(x)= −∞.

• Pour toutx>0,x+2 x² > x

x² doncx+2 x² >1

x or la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ;+∞[ doncf(x)>

ln µ1

x

¶

ou encoref(x)> −lnx.

De plus, lim

x→0lnx= −∞donc lim

x→0(−lnx)= +∞donc par comparaison, lim

x→+∞f(x)= +∞.

Méthode 5 :

2. Dérivée de la fonction ln u(x )

Soit une fonctionu(x) définie, dérivable et strictement positive sur un intervalleI. Alors la fonctionf(x)= ln (u(x)) est définie et dérivable surIet

f⁰(x)=u⁰(x) u(x)

Propriété 7 :

Propriété à démontrer : « Sif(x)=ln (u(x)) alorsf⁰(x)=u⁰(x) u(x) » On utilise la formule des fonctions composées :

(ln (u(x)))⁰=u⁰(x)×ln⁰(u(x))=u⁰(x)× 1

u(x)=u⁰(x)

u(x)

Démonstration :

Pour dériver une fonction du type lnusur un intervalleI, on s’assure que la fonctionuest dérivable et strictement positive sur l’intervalleI.

f est la fonction définie surRparf(x)=ln(x²+3). Calculonsf⁰(x).

Posonsu(x)=x²+3.uest dérivable et strictement positive surRetu⁰(x)=2x. Doncf est dérivable surRetf⁰(x)= u⁰(x)

u(x) = 2x x²+3.

Méthode 6 :

V. Fonction logarithme décimale

Cette partie, bien que hors programme, peut avoir un intérêt en Physique-Chimie, ainsi qu’en Sciences de la Vie et de la Terre.

La fonction logarithme décimal, notée log, est la fonction définie sur ]0 ;+∞[, par : logx= lnx

ln 10.

Définition 4:

1. Pour tout entier relatifn, log(10ⁿ)=n.

2. La fonction log est strictement croissante sur ]0 ;+∞[.

3. Pour tous les réelsa>0 etb>0,

log(ab)=loga+logbet log³a b

´

=loga−logb.

Propriété 8 :

Démonstration :

Les logarithmes décimaux trouvent toute leur utilité en chimie (calcul de pH), en acoustique (mesure du son), en sismologie (magnitude d’un séisme), en astronomie (magnitude apparente d’un astre)...

Remarque :