La fonction logarithme népérien

(1)

La fonction logarithme népérien

DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD

Blaise Pascal

septembre 2016

(2)

Sommaire

1. La fonction logarithme népérien

2. Propriétés algébriques

3. Étude de la fonctionln 3.1 Limites

3.2 Continuité et dérivabilité 3.3 Représentation graphique 3.4 D’autres limites à connaître

4. La fonction logarithme décimal

5. Les autres fonctions logarithme

DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre 2016 2 / 37

(3)

La fonction exponentielle est définie et continue surR, et ayant pour limite0 en

−∞et +∞en+∞, alors d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :

Propriété 1

Pour tout réelxde

0 ; +∞

, il existe un unique réely tel quee^y =x.

Définition 1

La fonctionlogarithme népérien, notéeln , est la fonction définie sur

0 ; +∞ qui à tout réelx >0associe le réely, noté ln(x), dont l’exponentielle estx.

Remarques

On dit que la fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.

Quand il n’y a pas d’ambiguïté, on note souventlnxau lieu deln(x).

(4)

Propriété 1

Pour tout réelxde

0 ; +∞

Définition 1

Remarques

(5)

Propriété 1

Pour tout réelxde

0 ; +∞

Définition 1

Remarques

(6)

Propriété 1

Pour tout réelxde

0 ; +∞

Définition 1

0 ; +∞

qui à tout réelx >0 associe le réely, noté ln(x), dont l’exponentielle estx.

Remarques

(7)

Propriété 1

Pour tout réelxde

0 ; +∞

Définition 1

La fonction logarithme népérien , notéeln , est la fonction définie sur

0 ; +∞

Remarques

(8)

Propriété 1

Pour tout réelxde

0 ; +∞

Définition 1

0 ; +∞

Remarques

(9)

Propriété 1

Pour tout réelxde

0 ; +∞

Définition 1

0 ; +∞

Remarques

(10)

Exercice 1

Compléter :

1.

e^y= 7⇔y=...

2.

e^y=√

2⇔y=...

Exercice 2

Résoudre dansRl’équation2e^2x−9e^x−5 = 0.

(11)

Propriété 2

1.

Pour tout réelx >0et tout réely,x=e^y équivaut ày= lnx.

2.

Pour tout réelx >0,e^ln^x=x.

3.

Pour tout réelx,ln(e^x) =x.

4.

ln(1) = 0.

5.

ln(e) = 1.

Démonstration

1.

Se déduit directement de la définition.

2.

3.

Pour tout réelx, siy= ln(e^x), alors d’après??,e^x=e^y, et doncx=y.

4.

Puisquee⁰= 1, alors d’après la définitionln(1) = 0.

5.

Puisquee¹=e, alors d’après la définitionln(e) = 1.

(12)

Propriété 2

1.

2.

3.

4.

ln(1) = 0.

5.

ln(e) = 1.

Démonstration

1.

2.

3.

4.

5.

(13)

Propriété 2

1.

2.

3.

4.

ln(1) = 0.

5.

ln(e) = 1.

Démonstration

1.

2.

3.

4.

5.

(14)

Propriété 2

1.

2.

3.

4.

ln(1) = 0.

5.

ln(e) = 1.

Démonstration

1.

2.

3.

4.

5.

(15)

Propriété 2

1.

2.

3.

4.

ln(1) = 0.

5.

ln(e) = 1.

Démonstration

1.

2.

3.

4.

5.

(16)

Propriété 2

1.

2.

3.

4.

ln(1) = 0.

5.

ln(e) = 1.

Démonstration

1.

2.

3.

4.

5.

(17)

Propriété 3

Dans un repère orthonormal, les courbes représentatives de la fonction

exponentielle et du logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d’équationy=x.

−3 −2 −1 1 2 3 4 5

−2

−1 1 2 3

0

y=x e

e

(18)

Propriété 3

−3 −2 −1 1 2 3 4 5

−2

−1 1 2 3

0

y=x e

e

(19)

Propriété 3

−3 −2 −1 1 2 3 4 5

−2

−1 1 2 3

0

y=e^x

y=x e

e

(20)

Propriété 3

−3 −2 −1 1 2 3 4 5

−2

−1 1 2 3

0

y=e^x

y= lnx y=x e

e

(21)

Démonstration

On noteC etC⁰ les courbes représentatives des fonctionsexpetln. À l’aide de la définition de la fonction exponentielle, on peut dire queM(x;y)appartient àC⁰ équivaut à dire quey= ln(x), ce qui équivaut àx= e^y, ce qui équivaut

finalement à dire queM(y;x)appartient àC.C etC⁰ sont donc symétriques par rapport à la droite d’équationy=x.

−3 −2 −1 1 2 3 4 5

−1 1 2 3

0

y=e^x

y= lnx y=x e

e

(22)

Propriété 4

Pour tous réelsaetb de

0 ; +∞

:

1.

lna= lnb⇐⇒a=b

2.

lna <lnb⇐⇒a < b

Démonstration

À faire. Idée : utiliser les propriétés analogues déjà démontrées pour la fonction exponentielle.

(23)

Propriété 4

0 ; +∞

:

1.

lna= lnb⇐⇒a=b

2. Démonstration

(24)

Propriété 4

0 ; +∞

:

1.

lna= lnb⇐⇒a=b

2. Démonstration

(25)

Corollaire (Sens de variation de la fonction logarithme népérien)

La fonctionlneststrictement croissante sur

0 ; +∞

.

Exercice 3

Résoudre les équations et inéquations suivantes :

1.

lnx=−5

2.

ln(2x−1)>−2

3.

ln(1 +x)6100

4.

ln(x²−4)<lnx

(26)

Corollaire (Sens de variation de la fonction logarithme népérien)

La fonctionlnest strictement croissante sur

0 ; +∞

.

Exercice 3

1.

lnx=−5

2.

ln(2x−1)>−2

3.

ln(1 +x)6100

4.

ln(x²−4)<lnx

(27)

Corollaire (Sens de variation de la fonction logarithme népérien)

La fonctionlnest strictement croissante sur

0 ; +∞

.

Exercice 3

1.

lnx=−5

2.

ln(2x−1)>−2

3.

ln(1 +x)6100

4.

ln(x²−4)<lnx

(28)

Sommaire

(29)

Théorème 1 (Relation fondamentale)

0 ; +∞

:

ln(ab) = lna+ lnb

Remarque

Le logarithme «transforme les produits en sommes».

Démonstration

Idée : comparer les exponentielles des deux membres.

(30)

Théorème 1 (Relation fondamentale)

0 ; +∞

:

ln(ab) = lna+ lnb

Remarque

Démonstration

(31)

Théorème 1 (Relation fondamentale)

0 ; +∞

:

ln(ab) = lna+ lnb

Remarque

Démonstration

(32)

Théorème 1 (Relation fondamentale)

0 ; +∞

:

ln(ab) = lna+ lnb

Remarque

Démonstration

(33)

Propriété 5

0 ; +∞

:

ln 1

b

=−lnb

lna b

= lna−lnb

ln (aⁿ) =nlna oùn∈Z ln (√

a) = 1 2lna

Démonstration

À faire. (Utiliser la relation fondamentale.)

Remarque

Attention à ne pas confondreln(aⁿ)et(lna)ⁿ.

(34)

Propriété 5

0 ; +∞

:

ln 1

b

=−lnb

lna b

= lna−lnb

a) = 1 2lna

Démonstration

Remarque

(35)

Propriété 5

0 ; +∞

:

ln 1

b

=−lnb

lna b

= lna−lnb ln (aⁿ) =nlna oùn∈Z

ln (√ a) = 1

2lna

Démonstration

Remarque

(36)

Propriété 5

0 ; +∞

:

ln 1

b

=−lnb

lna b

= lna−lnb

a) = 1 2lna

Démonstration

Remarque

(37)

Propriété 5

0 ; +∞

:

ln 1

b

=−lnb

lna b

= lna−lnb

a) = 1 2lna

Démonstration

Remarque

(38)

Propriété 5

0 ; +∞

:

ln 1

b

=−lnb

lna b

= lna−lnb

a) = 1 2lna

Démonstration

Remarque

(39)

Exercice 4

1.

Exprimer en fonction deln 3: ln 27 ; ln

1 9

; ln 63−ln 7 ; ln 9√

3

; 2 ln 6−ln 4

2.

Simplifier l’écriture de : a= ln √

5 + 1

+ ln √ 5−1

2 ; b= ln

2 +√ 3⁵

+ ln 2−√

3⁵

3.

SimplifierS=

99

P

n=1

ln n

n+ 1

.

(40)

Exercice 5

1.

2 lnx= ln 3 + ln(2x+ 3)

2.

ln(x²) = ln 3 + ln(2x+ 3)

3.

ln(x²−3)6lnx+ ln 2

4.

(lnx)²−3 lnx+ 2 = 0

(41)

Exercice 6

Soit(u_n)la suite géométrique de premier termeu₀= 2et de raison ³₂.

1.

À partir de quel rang a-t-onun>1000?

2.

Et siq=¹₂, à partir de quel rang a-t-onun60,1?

(42)

Sommaire

(43)

Sommaire

(44)

Propriété 6

x→+∞lim lnx=+∞

x→0limlnx=−∞

Démonstration

À faire.

Pour la limite en+∞, revenir à la définition de limite infinie. Pour la limite en0, on pourra poserX =_x¹.

(45)

Propriété 6

x→+∞lim lnx= +∞

x→0limlnx=−∞

Démonstration

À faire.

(46)

Propriété 6

x→0limlnx= − ∞

Démonstration

À faire.

(47)

Propriété 6

x→0limlnx= − ∞

Démonstration

À faire.

(48)

Exercice 7

Déterminer la limite en+∞de :

1.

f(x) = ln

x+ 1 x²−4

2.

g(x) =x(lnx)²−3 lnx

(49)

Sommaire

(50)

Propriété 7

La fonctionlnest continue et dérivable sur

0 ; +∞

, et pour toutxdans 0 ; +∞

, on a :

ln⁰(x) = 1 x

Démonstration

On admet la continuité et la dérivabilité de la fonctionln.

Pour ensuite déterminer la dérivée deln, on peut dériver les deux membres de l’égalité :e^ln^x=x.

(51)

Propriété 7

0 ; +∞

, on a :

ln⁰(x) = 1 x

Démonstration

(52)

Propriété 7

0 ; +∞

, on a :

ln⁰(x) = 1 x

Démonstration

(53)

Propriété 8

Soituune fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonctionlnuest dérivable surI et on a :

(lnu)⁰=u⁰ u

(54)

Propriété 8

Soituune fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonctionlnuest dérivable surI et on a :

(lnu)⁰=u⁰ u

(55)

Exercice 8

Dériver les fonctionsf, g, het kdéfinies par :

1.

f(x) =xlnxsur

0 ; +∞

2.

g(x) = ln √ 1 +x²

surR

3.

h(x) = ln

x−1 x+1

sur

1 ; +∞

4.

k(x) = ln

x−1 x+1

sur

−∞;−1

(56)

Sommaire

(57)

−1 1 2 3 4 5 6

−4

−3

−2

−1 1 2

0

(58)

−1 1 2 3 4 5 6

−4

−3

−2

−1 1 2

0 e

(59)

−1 1 2 3 4 5 6

−4

−3

−2

−1 1 2

0

y= lnx

e

(60)

−1 1 2 3 4 5 6

−4

−3

−2

−1 1 2

0

y= lnx

e

(61)

−1 1 2 3 4 5 6

−4

−3

−2

−1 1 2

0

y= lnx

e y=x−1

y= ¹_ex

(62)

Sommaire

(63)

Propriété 9

x→0lim

ln(1 +x)

x =1

Démonstration

Idée : reconnaître un taux d’accroissement...

(64)

Propriété 9

x→0lim

ln(1 +x)

x = 1

Démonstration

(65)

Propriété 9

x→0lim

ln(1 +x)

x = 1

Démonstration

(66)

Propriété 10 (Croissances comparées)

x→+∞lim lnx

x =0⁺

x→0lim⁺xlnx=0⁻

Démonstration

À faire. (Indication : poserX = lnxet utiliser les croissances comparées concernant la fonction exponentielle...)

(67)

Propriété 10 (Croissances comparées)

x→+∞lim lnx

x = 0⁺

x→0lim⁺xlnx=0⁻

Démonstration

(68)

Propriété 10 (Croissances comparées)

x→+∞lim lnx

x = 0⁺

x→0lim⁺xlnx= 0⁻

Démonstration

(69)

Propriété 10 (Croissances comparées)

x→+∞lim lnx

x = 0⁺

x→0lim⁺xlnx= 0⁻

Démonstration

(70)

Sommaire

(71)

Définition 2

La fonctionlogarithme décimalest la fonction notéelog, définie sur

0 ; +∞

par

logx= lnx ln 10.

Remarque

La fonctionloga les mêmes propriétés algébriques que la fonctionln. De plus,ln 10étant positif, la fonctionlog a le même sens de variation et les mêmes limites aux bornes de

0 ; +∞

que la fonctionln.

(72)

Définition 2

0 ; +∞

par

logx= lnx ln 10.

Remarque

La fonctionloga les mêmes propriétés algébriques que la fonctionln. De plus,ln 10étant positif, la fonctionlog a le même sens de variation et les mêmes limites aux bornes de

0 ; +∞

que la fonctionln.

(73)

Définition 2

0 ; +∞

par

logx= lnx ln 10.

Remarque

La fonctionloga les mêmes propriétés algébriques que la fonctionln.

De plus,ln 10étant positif, la fonctionlog a le même sens de variation et les mêmes limites aux bornes de

0 ; +∞

que la fonctionln.

(74)

−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−2

−1 1 2

0

y= lnx

y= logx

e

(75)

Propriété 11

Pour toutnentier relatif :

log(10ⁿ) =n.

En particulier,log(10) =1.

Démonstration

À faire. Facile.

(76)

Propriété 11

log(10ⁿ) =n.

En particulier,log(10) =1.

Démonstration

À faire. Facile.

(77)

Propriété 11

log(10ⁿ) =n.

En particulier,log(10) = 1.

Démonstration

À faire. Facile.

(78)

Propriété 11

log(10ⁿ) =n.

En particulier,log(10) = 1.

Démonstration

À faire. Facile.

(79)

Exercice 9 (Le nombre de chiffres d’un nombre...) 1.

Avec combien de chiffres le nombre7²⁰ s’écrit-il ?

Vous pourrez ensuite vérifier votre réponse à l’aide d’un logiciel de calcul formel.

2.

En 2011, le plus grand nombre premier^a était : 2^43112609−1.

Combien de chiffres comporte son écriture décimale ? Pouvez-vous vérifier à l’aide d’un logiciel de calcul formel ?

a. Un nombre entier naturel est dit premier lorsqu’il n’admet que deux diviseurs : 1 et lui-même.

(80)

Exercice 10 (En acoustique : intensité d’un son)

Si l’intensité sonore d’une guitare électrique est de 62 dB (« décibels »), quelle sera l’intensité sonore de deux guitares électriques ?

Si vous avez répondu 124 dB, alors vous avez franchi le seuil de douleur, vous êtes peut-être devenu sourd... et cet exercice est fait pour vous !

L’intensité I d’un son (en dB) est reliée à sa puissance de réception (en watt par m²) de façon que l’on ait, pour deux sons quelconques 1 et 2 :

I₂−I₁= 10 log P2

P₁

.

1.

À quelle variation d’intensité correspond un doublement de puissance ?

2.

Que signifie une augmentation de 10 dB en termes de puissance sonore ?

(81)

Sommaire

(82)

Pour tout réelastrictement positif et différent de 1 :

Définition 3

On appelle fonctionlogarithme de baseala fonction notéelog_a définie sur 0 ; +∞

par :log_a(x) =lnx lna.

Pour toutnentier relatif : log_a(aⁿ) =n.En particulier,log_a(a) = 1. La fonctionlnest la fonction logarithme de base e.

(83)

Définition 3

Pour toutnentier relatif : log_a(aⁿ) =n.En particulier,log_a(a) = 1. La fonctionlnest la fonction logarithme de base e.

(84)

Définition 3

Pour toutnentier relatif :log_a(aⁿ) =n.En particulier,log_a(a) = 1.

La fonctionlnest la fonction logarithme de basee.

(85)