Nombres complexes Le retour DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD

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Nombres complexes

Le retour

DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD

Blaise Pascal

septembre 2016

DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 11 septembre 2016 1 / 35

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Définition 1

Le plan muni d’un repère orthonormé direct(O;~u , ~v)s’appelle leplan complexe.

Le nombre complexez=x+iy est appeléaffixe deM(x;y)etM(x;y) estl’image dez=x+iy. Souvent on notez_M ouml’affixe deM. L’axe(O;~u)est appeléaxe réel et l’axe(O;~v)est appelé axe des imaginaires purs.

Dire par exemple « le pointAa pour coordonnées(2 ; 3)» est synonyme de « le pointAa pour affixe 2 + 3i».

Attention !

On dit « le pointd’affixe2 + 3i», et non pas « le point2 + 3i». . .

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Définition 1

Le plan muni d’un repère orthonormé direct(O;~u , ~v)s’appelle le plan complexe.

Le nombre complexez=x+iy est appeléaffixe deM(x;y)etM(x;y) estl’image dez=x+iy. Souvent on notez_M ouml’affixe deM. L’axe(O;~u)est appeléaxe réel et l’axe(O;~v)est appelé axe des imaginaires purs.

Attention !

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Définition 1

Le nombre complexez=x+iy est appeléaffixe deM(x;y)etM(x;y) estl’image dez=x+iy. Souvent on notez_M ouml’affixe deM.

L’axe(O;~u)est appeléaxe réel et l’axe(O;~v)est appelé axe des imaginaires purs.

Attention !

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Définition 1

Le nombre complexez=x+iy est appelé affixe deM(x;y)etM(x;y) estl’image dez=x+iy. Souvent on notez_M ouml’affixe deM.

Attention !

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Définition 1

Le nombre complexez=x+iy est appelé affixe deM(x;y)etM(x;y) est l’image dez=x+iy. Souvent on notez_M ouml’affixe deM.

Attention !

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Définition 1

Le nombre complexez=x+iy est appelé affixe deM(x;y)etM(x;y) est l’image dez=x+iy. Souvent on notez_M ouml’affixe deM. L’axe(O;~u)est appeléaxe réel et l’axe(O;~v)est appelé axe des imaginaires purs.

Attention !

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Définition 1

Le nombre complexez=x+iy est appelé affixe deM(x;y)etM(x;y) est l’image dez=x+iy. Souvent on notez_M ouml’affixe deM. L’axe(O;~u)est appelé axe réel et l’axe(O;~v)est appelé axe des imaginaires purs.

Attention !

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Définition 1

Attention !

(10)

Définition 1

Dire par exemple « le pointA a pour coordonnées(2 ; 3)» est synonyme de « le pointAa pour affixe 2 + 3i».

Attention !

(11)

Définition 1

Dire par exemple « le pointA a pour coordonnées(2 ; 3)» est synonyme de « le pointAa pour affixe 2 + 3i».

Attention !

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Définition 2

Le nombre complexez=x+iy est appeléaffixe du vecteurw~ x

y

et souvent notéz_w_~.

Le vecteurw~ x

y

est le vecteurimage de z=x+iy.

(13)

Définition 2

Le nombre complexez=x+iy est appelé affixe du vecteurw~ x

y

Le vecteurw~ x

y

est le vecteurimage de z=x+iy.

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Définition 2

Le nombre complexez=x+iy est appelé affixe du vecteurw~ x

y

Le vecteurw~ x

y

est le vecteur image dez=x+iy.

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Exercice 1

Dans le plan complexe :

1.

Représenter le pointAd’affixe2−3i;

le pointB(−1 + 2i); le pointC tel quezC = 2i.

2.

Tracer un représentant du vecteurw(1 + 3i)~ ; un représentant du vecteur~td’affixe2−i.

3.

Représenter~sle vecteur somme de w~ et~t. Quelle est l’affixe de~s?

(16)

Sommaire

1. Le plan complexe 1.1 Premières propriétés

2. Distances et angles

2.1 Repérage polaire, module et arguments 2.2 Propriétés du module et de l’argument

2.3 Liens des modules et arguments avec le plan complexe, géométrie

3. La notation exponentielle

(17)

Sommaire

(18)

Propriété 1 (Affixe d’un vecteur)

Le vecteur^−→AB a pour affixez_B−z_A.

Propriété 2 (Somme et produit d’un vecteur par un réel)

Soient−w→₁un vecteur d’affixe z−w→₁ et−w→₂ un vecteur d’affixez−w→₂, etλun nombre réel.

1.

L’affixe de−w→1+−w→2estz⁻_w^→₁+z⁻_w^→₂.

2.

L’affixe deλ−w→₁estλz−w→1.

Propriété 3 (Milieu et centre de gravité)

Le milieuIdu segment [AB] a pour affixez_I = z_A+z_B 2 .

Le centre de gravité G d’un triangle ABC a pour affixez_G= z_A+z_B+z_C 3 .

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Propriété 1 (Affixe d’un vecteur)

Propriété 2 (Somme et produit d’un vecteur par un réel)

Soient−w→₁un vecteur d’affixe z−w→₁ et−w→₂ un vecteur d’affixez−w→₂, etλun nombre réel.

1.

2. Propriété 3 (Milieu et centre de gravité)

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Propriété 1 (Affixe d’un vecteur)

Propriété 2 (Somme et produit d’un vecteur par un réel)

Soient−w→1un vecteur d’affixe z⁻_w^→₁ et−w→2 un vecteur d’affixez⁻_w^→₂, et λun nombre réel.

1.

2. Propriété 3 (Milieu et centre de gravité)

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Propriété 1 (Affixe d’un vecteur)

Propriété 2 (Somme et produit d’un vecteur par un réel)

1.

2. Propriété 3 (Milieu et centre de gravité)

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Propriété 1 (Affixe d’un vecteur)

Propriété 2 (Somme et produit d’un vecteur par un réel)

1.

2. Propriété 3 (Milieu et centre de gravité)

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Propriété 1 (Affixe d’un vecteur)

Propriété 2 (Somme et produit d’un vecteur par un réel)

1.

2. Propriété 3 (Milieu et centre de gravité)

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Propriété 1 (Affixe d’un vecteur)

Propriété 2 (Somme et produit d’un vecteur par un réel)

1.

2. Propriété 3 (Milieu et centre de gravité)

Le milieuI du segment [AB] a pour affixez_I = z_A+z_B 2 .

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Propriété 1 (Affixe d’un vecteur)

Propriété 2 (Somme et produit d’un vecteur par un réel)

1.

2. Propriété 3 (Milieu et centre de gravité)

Le milieuI du segment [AB] a pour affixez_I = z_A+z_B

2 .

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Propriété 1 (Affixe d’un vecteur)

Propriété 2 (Somme et produit d’un vecteur par un réel)

1.

2. Propriété 3 (Milieu et centre de gravité)

2 .

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Propriété 1 (Affixe d’un vecteur)

Propriété 2 (Somme et produit d’un vecteur par un réel)

1.

2. Propriété 3 (Milieu et centre de gravité)

2 .

Le centre de gravité G d’un triangle ABC a pour affixez_G= z_A+z_B+z_C

3 .

(28)

Exercice 2

Dans le plan complexe muni du repère orthonormé direct(O;~u , ~v), on considère les points A,B, C et D d’affixeszA= 3 +i,zB=−1−i,zC= 2ietzD= 4 + 4i.

1.

Faire une figure.

2.

Démontrer de deux façons différentes que ABCD est un parallélogramme.

3.

Montrer que les points B, O et D sont alignés.

(29)

Sommaire

(30)

Sommaire

(31)

On le sait depuis longtemps : tout pointM du plan peut être repéré par ses coordonnées cartésiennes(x; y). Un autre repérage est possible : à l’aide des coordonnées polaires[r;θ].

rest lerayon polaire(c’est la distanceOM) etθest l’angle polaire(c’est l’angle

~ u;OM^−→

, défini à2πprès).

Le lien est le suivant :

x=rcosθ et y=rsinθ rse calcule facilement :r=OM =p

x²+y².

z=x+iy

z=rcosθ+irsinθ z=r(cosθ+isinθ)

O ~u

~v

M

x y

r θ

(32)

Définition 3

On appelle module dez=x+iy le nombre réel positif|z|=p

x²+y². On appelle argument dez (z6= 0) et on note arg(z)toute mesure en radians de l’angle orienté(−→u;−−→

OM), oùM est le point d’affixez.

(33)

Sommaire

(34)

Exercice 3

[Passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique] Écrire sous forme algébrique :

1.

z1= 2 cos ^4π₃

+isin ^4π₃

2.

z2=√

3 cos −^π₆

+isin −^π₆

Exercice 4

[Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique] Calculer le module et un argument, et écrire sous forme trigonométrique :

1.

z₃= 1 +i√ 3

2.

z4= 2−2i

(35)

Propriété 4

Pour toutz∈C, on a :zz=|z|².

(36)

Propriété 5 (Conjugué et opposé)

Pour tout nombre complexenon nulz, on a :

1.

|z|=|z| et

arg(z) =−arg(z) [2π].

2.

| −z|=|z|etarg(−z) = arg(z) +π [2π].

M(z) r

θ

M⁰(z) r

−θ

M⁰⁰(−z) r

θ+π

(37)

Propriété 6 (Arguments d’un réel, d’un imaginaire pur)

Soitzun nombre complexe.

1.

zest réel équivaut àarg(z) = 0 [2π]ouarg(z) =π[2π]ouz= 0.

2.

zest imaginaire pur équivaut à argz=π

2 [2π] ouargz=−π

2 [2π]ou z= 0.

(38)

Propriété 7 (Produit)

Pour tous nombres complexeszetz⁰ :

1.

|z×z⁰|=|z| × |z⁰|etarg(z×z⁰) = arg(z) + arg(z⁰) [2π].

2.

Pour tout entier naturel non nuln, on a :|zⁿ|=|z|ⁿ et arg(zⁿ) =narg(z) [2π]

Démonstration 1.

Piste :

I on travaille avec les formes trigonométriques :z=r(cosθ+isinθ)et z⁰=r⁰(cosθ⁰+isinθ⁰);

I on calculez×z⁰, on l’exprime sous forme trigonométrique (Pour cela, on aura besoin des formules d’addition¹) ;

I on lit les modules et arguments dezz⁰sur l’expression obtenue.

(39)

Propriété 8 (Quotient)

Pour tous nombres complexes non nulsz etz⁰ :

z z⁰ = |z|

|z⁰| et argz

z⁰

= arg(z)−arg(z⁰) [2π]

Démonstration

Astuce : l’idée est d’utiliser le résultat obtenu pour le produit (proposition 7).

Pour cela, remarquer quez= z

z⁰ ×z⁰ et passer au module...

Idem pour les arguments.

(40)

Exercice 5

Soitz=z3×z4 (oùz3etz4 sont les nombres de l’exercice 4).

Calculer le module et un argument dez.

Exercice 6

1.

Calculer le module et un argument de(1 +i)⁸.

2.

Soitz_n= (1 +i)ⁿ. Existe-t-il des entiersntels quez_n soit réel ? Si oui, lesquels ?

Attention !

Et que se passe-t-il pour la somme de deux nombres complexes ? En général :|z+z⁰| 6=|z|+|z⁰|etarg(z+z⁰)6= arg(z) + arg(z⁰).

(41)

Propriété 9 (Inégalité triangulaire)

Pour tous complexeszetz⁰ on a : |z+z⁰|6|z|+|z⁰|.

(42)

Sommaire

(43)

Propriété 10

AetB sont deux points d’affixes respectiveszA etzB. On a :

1.

AB=|zB−zA| .

2.

SiAetB sont distincts, alors(~u;

−→

AB) = arg(zB−zA) [2π].

Démonstration

Pour démarrer : faire un schéma, et placer le pointM tel que

−→

AB=

−→

OM...

(44)

Corollaire

SoientA, B, C etD quatre points d’affixes respectiveszA, zB, zC etzD. Alors : CD

AB =

z_D−z_C zB−zA

et (−−→

AB;−−→

CD) = arg

zD−zC

z_B−z_A

[2π]

Démonstration

À faire.

Pour le module, utiliser la compatibilité avec le quotient et la proposition précédente.

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Exercice 7

SoientA(2−3i)etB(5−i)dans le plan complexe muni du repère(O;~u , ~v).

On veut déterminer la nature du triangleOAB.

Méthode 1: calculer les distances OA,OB etAB. En déduire la nature du triangleOAB.

Méthode 2: déterminer le module et un argument du nombre complexe zB−zA

zO−zA

puis conclure.

Exercice 8

Déterminer et construire dans chaque cas l’ensemble des pointsM d’affixez vérifiant :

1.

|z−2−3i|= 5

2.

|z−3|=|z−3i|

3.

|iz+ 3|=|z+ 4 +i|

(46)

Méthode

1.

Pour traduire le fait qu’un nombre complexeZ est réel :

I Z réel⇔ =(Z) = 0;

I Z réel⇔Z=Z;

I Z réel⇔arg(Z) = 0 [π]ouZ= 0.

2.

Pour traduire le fait qu’un nombre complexeZ est imaginaire pur :

I Z imaginaire pur⇔ <(Z) = 0;

I Z imaginaire pur⇔Z=−Z;

I Z imaginaire pur⇔arg(Z) =π

2[π]ouZ= 0.

(47)

Exercice 9

Pour tout complexez6= 1 +ion poseZ =z+ 1 + 3i z−1−i.

1.

Déterminer et construire l’ensembleE des pointsM(z)du plan tels queZ soit imaginaire pur :

I par une méthode algébrique ;

I par une méthode géométrique.

2.

Vérifier ensuite avec GeoGebra.

(48)

Sommaire

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Exercice 10

Soitf la fonction deRdansCdéfinie parf(θ) = cosθ+isinθ.

1.

Montrer que, pour tousθ etθ⁰ dans R, on a :f(θ+θ⁰) =f(θ)×f(θ⁰).

2.

Que vautf(0)?

3.

À quelle fonction déjà rencontrée fait penser cette fonctionf?

Notation

e^iθ= cosθ+isinθ.

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Exercice 11

Placer dans le plan complexe et à l’aide du cercle trigonométrique ci-contre les points d’affixes : eⁱ⁰;e^i2π;e^iπ;eⁱ^π² ;eⁱ^2π³ .

Préciser la forme algébrique de chacun de ces nombres.

O ~u

~ v

(51)

Propriété 11

|e^iθ|= 1et arg e^iθ

=θ eîθeîθ⁰ =eî(θ+θ⁰⁾

e^iθ

eîθ⁰ =eî(θ−θ⁰⁾ eîθ=e^−iθ Pour toutn∈N: eîθⁿ

=e^inθ (Formule de Moivre)

Remarque

En version trigonométrique, la formule deMoivre s’écrit encore : (cosθ+isinθ)ⁿ= cos(nθ) +isin(nθ)

(52)

Définition 4 (Forme exponentielle)

z est un nombre complexe non nul. L’écriturez=re^iθ avecr=|z|etθ= arg(z) est appelée forme exponentielle dez.

Exercice 12 (Lien entre la forme algébrique et la forme exponentielle)

1.

Écrire sous forme algébrique et représenter dans le plan complexe : z1= 2eⁱ^5π⁶ .

2.

Écrire sous forme exponentielle et représenter dans le plan complexe : z₂= 2−2i√

3.

(53)

Exercice 13 (Valeurs remarquables de sinus et cosinus)

On considère les nombres complexes :z₁=eⁱ^π³ ;z₂=eⁱ^π⁴ etZ= z₁ z2

.

1.

Donner la forme exponentielle deZ.

2.

Donner les formes algébriques dez₁ etz₂. En déduire la forme algébrique de Z.

3.

En déduire les valeurs exactes decos₁₂^π etsin₁₂^π.

Exercice 14 (Les formules d’ Euler ) 1.

Montrer quecosθ= e^iθ+e^−iθ

2 et quesinθ= e^iθ−e^−iθ

2i . Ce sont les

« formules d’Euler».

2.

En déduire par exemple quecos²θ= ¹₂(cos(2θ) + 1).

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Exercice 15 (Formules d’addition)

La notation exponentielle permet de mémoriser/retrouver facilement les formules de première :

1.

En écrivant queeîaeîb=eî(a+b), puis en prenant la partie réelle de chacun des deux membres, retrouver la formule :cos(a+b) = cosacosb−sinasinb.

2.

De même retrouver la formule donnantsin(a+b).

3.

Grâce à la formule deMoivre, retrouver les formules donnant cos(2a)et sin(2a).

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