Suites et convergence

Suites et convergence

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE

Blaise Pascal

septembre 2016

« À ce train-là, je ne serai plus longtemps gendarme ! »

maréchal des logis-chef Cruchot - Le gendarme à Saint-Tropez

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 1 / 24

Sommaire

1. Théorèmes de comparaison

2. Cas des suites monotones

3. Cas particulier important : les suites arithmétiques et géométriques 3.1 Suites arithmétiques

3.2 Suites géométriques

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 2 / 24

Théorème 1 (Théorème de comparaison)

Soient(un)et(vn)deux suites de réels.

Siu_n >v_n et si lim

n→+∞v_n= +∞alors lim

n→+∞u_n= +∞.

Démonstration

Utiliser la définition de « limite infinie » . . . On pourra faire un schéma.

Remarque

L’hypothèse «u_n>v_n» peut être remplacée par «u_n>v_n à partir d’un certain rang N».

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 3 / 24

Théorème 1 (Théorème de comparaison)

Soient(un)et(vn)deux suites de réels.

Siu_n >v_n et si lim

n→+∞v_n= +∞alors lim

n→+∞u_n= +∞.

Démonstration

Utiliser la définition de « limite infinie » . . . On pourra faire un schéma.

Remarque

L’hypothèse «u_n>v_n» peut être remplacée par «u_n>v_n à partir d’un certain rang N».

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 3 / 24

Théorème 1 (Théorème de comparaison)

Soient(un)et(vn)deux suites de réels.

Siu_n >v_n et si lim

n→+∞v_n= +∞alors lim

n→+∞u_n= +∞.

Démonstration

Utiliser la définition de « limite infinie » . . . On pourra faire un schéma.

Remarque

L’hypothèse «u_n>v_n» peut être remplacée par «u_n>v_n à partir d’un certain rang N».

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 3 / 24

Théorème 1 (Théorème de comparaison)

Soient(un)et(vn)deux suites de réels.

Siu_n >v_n et si lim

n→+∞v_n= +∞alors lim

n→+∞u_n= +∞.

Démonstration

Utiliser la définition de « limite infinie » . . . On pourra faire un schéma.

Remarque

L’hypothèse «u_n>v_n» peut être remplacée par «u_n>v_n à partir d’un certain rang N».

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 3 / 24

Théorème 2 (Théorème de comparaison)

Soient(u_n)et(v_n)deux suites de réels.

Si à partir d’un certain rangu_n6v_n et si lim

n→+∞v_n=−∞alors

n→+∞lim un =−∞.

Et pour une suite tendant vers une limitelfinie :

Théorème 3 (Théorème des gendarmes - admis)

Soientun, vn etwn trois suites réelles.

Si à partir d’un certain rang on avn 6un6wn et sivn etwn convergent vers la même limitefinielalors :

la suiteu_n converge ; sa limite estl.

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 4 / 24

Théorème 2 (Théorème de comparaison)

Soient(u_n)et(v_n)deux suites de réels.

Si à partir d’un certain rangu_n6v_n et si lim

n→+∞v_n=−∞alors

n→+∞lim un =−∞.

Et pour une suite tendant vers une limitelfinie :

Théorème 3 (Théorème des gendarmes - admis)

Soientun, vn etwn trois suites réelles.

Si à partir d’un certain rang on avn 6un6wn et sivn etwn convergent vers la même limitefinielalors :

la suiteu_n converge ; sa limite estl.

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 4 / 24

Théorème 2 (Théorème de comparaison)

Soient(u_n)et(v_n)deux suites de réels.

Si à partir d’un certain rangu_n6v_n et si lim

n→+∞v_n=−∞alors

n→+∞lim un =−∞.

Et pour une suite tendant vers une limitelfinie :

Théorème 3 (Théorème des gendarmes - admis)

Soientun, vn etwn trois suites réelles.

Si à partir d’un certain rang on avn6un6wn et sivn etwn convergent vers la même limitefiniel alors :

la suiteu_n converge ; sa limite estl.

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Théorème 2 (Théorème de comparaison)

Soient(u_n)et(v_n)deux suites de réels.

Si à partir d’un certain rangu_n6v_n et si lim

n→+∞v_n=−∞alors

n→+∞lim un =−∞.

Et pour une suite tendant vers une limitelfinie :

Théorème 3 (Théorème des gendarmes - admis)

Soientun, vn etwn trois suites réelles.

Si à partir d’un certain rang on avn6un6wn et sivn etwn convergent vers la même limitefiniel alors :

la suiteu_n converge ; sa limite estl.

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Théorème 2 (Théorème de comparaison)

Soient(u_n)et(v_n)deux suites de réels.

Si à partir d’un certain rangu_n6v_n et si lim

n→+∞v_n=−∞alors

n→+∞lim un =−∞.

Et pour une suite tendant vers une limitelfinie :

Théorème 3 (Théorème des gendarmes - admis)

Soientun, vn etwn trois suites réelles.

Si à partir d’un certain rang on avn6un6wn et sivn etwn convergent vers la même limitefiniel alors :

la suiteu_n converge ; sa limite estl.

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 n

O

(v_n) (wn)

(un)

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 n

O

(v_n) (wn)

(un)

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 n

O

(v_n) (wn)

(un)

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 n

O

(v_n) (wn)

(un)

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 n

O

(v_n) (wn)

(un)

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 n

O

(v_n) (wn)

(un)

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 n

O

(v_n) (wn)

(un)

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 n

O

(v_n) (wn)

(un)

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 n

O

(v_n) (wn)

(un)

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 n

O

(v_n) (wn)

(un)

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 n

O

(v_n) (wn)

(un)

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 n

O

(v_n) (wn)

(un)

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 n

O

(v_n) (wn)

(un)

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Exercice 1

Déterminer la limite éventuelle de chacune des suites définies ci-dessous :

1.

u_n =n+ cos(n) (n∈N);

2.

x_n =sin(n)

n (n∈N^∗).

Exercice 2

Soit(un)la suite définie pourn>1 parun= 1 + 1

√2 +· · ·+ 1

√n.

1.

Démontrer que, pour tout entierkcompris entre 1 etnon a 1

√ k > 1

√n.

2.

En déduire que pour toutn>1on a u_n >√

n, et déterminer la limite de la suite(u_n).

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 6 / 24

Exercice 1

Déterminer la limite éventuelle de chacune des suites définies ci-dessous :

1.

u_n =n+ cos(n) (n∈N);

2.

x_n =sin(n)

n (n∈N^∗).

Exercice 2

Soit(u_n)la suite définie pourn>1 paru_n= 1 + 1

√2 +· · ·+ 1

√n.

1.

Démontrer que, pour tout entierkcompris entre 1 etnon a 1

√ k > 1

√n.

2.

En déduire que pour toutn>1on a u_n >√

n, et déterminer la limite de la suite(u_n).

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 6 / 24

Sommaire

1. Théorèmes de comparaison

2. Cas des suites monotones

3. Cas particulier important : les suites arithmétiques et géométriques 3.1 Suites arithmétiques

3.2 Suites géométriques

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 7 / 24

Théorème 4 (admis)

Si une suite est croissante et majorée alors elleconverge.

Théorème 5 (admis)

Si une suite est décroissante et minorée alors elleconverge.

Remarque

On prouve ainsi qu’une suite converge sans connaître la valeur de la limite.

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 8 / 24

Théorème 4 (admis)

Si une suite est croissante et majorée alors elle converge.

Théorème 5 (admis)

Si une suite est décroissante et minorée alors elleconverge.

Remarque

On prouve ainsi qu’une suite converge sans connaître la valeur de la limite.

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 8 / 24

Théorème 4 (admis)

Si une suite est croissante et majorée alors elle converge.

Théorème 5 (admis)

Si une suite est décroissante et minorée alors elleconverge.

Remarque

On prouve ainsi qu’une suite converge sans connaître la valeur de la limite.

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 8 / 24

Théorème 4 (admis)

Si une suite est croissante et majorée alors elle converge.

Théorème 5 (admis)

Si une suite est décroissante et minorée alors elle converge.

Remarque

On prouve ainsi qu’une suite converge sans connaître la valeur de la limite.

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 8 / 24

Théorème 4 (admis)

Si une suite est croissante et majorée alors elle converge.

Théorème 5 (admis)

Si une suite est décroissante et minorée alors elle converge.

Remarque

On prouve ainsi qu’une suite converge sans connaître la valeur de la limite.

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 8 / 24

Exercice 3

Considérons la suite(u_n)définie pourn∈N^∗ de la manière suivante :

un est le nombre décimal dont la partie entière vaut 0 et dont la partie décimale est la concaténation desnpremiers nombres premiers.

u1 = 0,2

u2 = 0,23

u3 = 0,235

u4 = 0,2357

u5 = 0,235711 ...

etc.

Prouver que(u_n)converge¹.

1. Cette suite a été imaginée par le mathématicien hongrois PaulErdös.

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 9 / 24

Propriété 1

Si une suite est croissante et non majorée alors elle tend vers+∞.

Démonstration

1.

Écrire la définition de «(u_n)croissante ».

2.

Écrire la définition de «(un)non majorée ».

3.

Écrire la définition de «(un)tend vers+∞».

4.

Démontrer la proposition en utilisant ces définitions.

Remarque

Il existe un énoncé analogue pour les suites décroissantes non minorées.

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 10 / 24

Propriété 1

Si une suite est croissante et non majorée alors elle tend vers+∞.

Démonstration

1.

Écrire la définition de «(u_n)croissante ».

2.

Écrire la définition de «(un)non majorée ».

3.

Écrire la définition de «(un)tend vers+∞».

4.

Démontrer la proposition en utilisant ces définitions.

Remarque

Il existe un énoncé analogue pour les suites décroissantes non minorées.

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 10 / 24

Propriété 1

Si une suite est croissante et non majorée alors elle tend vers+∞.

Démonstration

1.

Écrire la définition de «(u_n)croissante ».

2.

Écrire la définition de «(un)non majorée ».

3.

Écrire la définition de «(un)tend vers+∞».

4.

Démontrer la proposition en utilisant ces définitions.

Remarque

Il existe un énoncé analogue pour les suites décroissantes non minorées.

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 10 / 24

Propriété 1

Si une suite est croissante et non majorée alors elle tend vers+∞.

Démonstration

1.

Écrire la définition de «(u_n)croissante ».

2.

Écrire la définition de «(un)non majorée ».

3.

Écrire la définition de «(un)tend vers+∞».

4.

Démontrer la proposition en utilisant ces définitions.

Remarque

Il existe un énoncé analogue pour les suites décroissantes non minorées.

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 10 / 24

Théorème 6

Si une suite est croissante et converge vers un nombre réell, alors tous ses termes sontinférieurs ou égaux àl.

C’est-à-dire :

Si(un)est croissante et si lim

n→+∞un=l, alors pour toutnon aun6l.

Démonstration

1.

Par l’absurde : « Supposons qu’il existe un rangN tel que... ».

2.

On noteε=uN −l 2 .

1 Pourquoi a-t-onε >0?

2 Montrer que, pour toutn>N,unest à l’extérieur de l’intervalle i

l−ε;l+εh .

3.

Conclure.

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 11 / 24

Théorème 6

Si une suite est croissante et converge vers un nombre réell, alors tous ses termes sont inférieurs ou égaux àl.

C’est-à-dire :

Si(un)est croissante et si lim

n→+∞un=l, alors pour toutnon aun6l.

Démonstration

1.

Par l’absurde : « Supposons qu’il existe un rangN tel que... ».

2.

On noteε=uN −l 2 .

1 Pourquoi a-t-onε >0?

2 Montrer que, pour toutn>N,unest à l’extérieur de l’intervalle i

l−ε;l+εh .

3.

Conclure.

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 11 / 24

Théorème 6

Si une suite est croissante et converge vers un nombre réell, alors tous ses termes sont inférieurs ou égaux àl.

C’est-à-dire :

Si(un)est croissante et si lim

n→+∞un=l, alors pour toutnon aun6l.

Démonstration

1.

Par l’absurde : « Supposons qu’il existe un rangN tel que... ».

2.

On noteε=uN −l 2 .

1 Pourquoi a-t-onε >0?

2 Montrer que, pour toutn>N,unest à l’extérieur de l’intervalle i

l−ε;l+εh .

3.

Conclure.

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Théorème 6

Si une suite est croissante et converge vers un nombre réell, alors tous ses termes sont inférieurs ou égaux àl.

C’est-à-dire :

Si(un)est croissante et si lim

n→+∞un=l, alors pour toutnon aun6l.

Démonstration

1.

Par l’absurde : « Supposons qu’il existe un rangN tel que... ».

2.

On noteε=uN −l 2 .

1 Pourquoi a-t-onε >0?

2 Montrer que, pour toutn>N,unest à l’extérieur de l’intervalle i

l−ε;l+εh .

3.

Conclure.

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Théorème 6

Si une suite est croissante et converge vers un nombre réell, alors tous ses termes sont inférieurs ou égaux àl.

C’est-à-dire :

Si(un)est croissante et si lim

n→+∞un=l, alors pour toutnon aun6l.

Démonstration

1.

Par l’absurde : « Supposons qu’il existe un rangN tel que... ».

2.

On noteε=uN −l 2 .

1 Pourquoi a-t-onε >0?

2 Montrer que, pour toutn>N,unest à l’extérieur de l’intervalle i

l−ε;l+εh .

3.

Conclure.

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Exercice 4

Donner une propriété analogue pour les suites décroissantes.

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Sommaire

1. Théorèmes de comparaison

2. Cas des suites monotones

3. Cas particulier important : les suites arithmétiques et géométriques 3.1 Suites arithmétiques

3.2 Suites géométriques

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 13 / 24

Sommaire

1. Théorèmes de comparaison

2. Cas des suites monotones

3. Cas particulier important : les suites arithmétiques et géométriques 3.1 Suites arithmétiques

3.2 Suites géométriques

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 14 / 24

Propriété 2 (Suites arithmétiques)

Soit(un)une suite arithmétique de raisonret de premier terme u0. Sir >0alors la suite diverge : lim

n→+∞un= +∞.

Sir= 0alors la suite est constante égale àu0 et donc : lim

n→+∞un =u0. Sir <0alors la suite diverge : lim

n→+∞un =−∞.

Démonstration

(u_n)une suite arithmétique de raison ret de premier termeu₀donc pour tout n∈N,u_n=u₀+nr.

Utiliser ensuite la définition d’une suite qui tend vers+∞ou vers−∞. . .

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 15 / 24

Propriété 2 (Suites arithmétiques)

Soit(un)une suite arithmétique de raisonret de premier terme u0. Sir >0alors la suite diverge : lim

n→+∞un= +∞.

Sir= 0alors la suite est constante égale àu0 et donc : lim

n→+∞un =u0. Sir <0alors la suite diverge : lim

n→+∞un =−∞.

Démonstration

(u_n)une suite arithmétique de raison ret de premier termeu₀donc pour tout n∈N,u_n=u₀+nr.

Utiliser ensuite la définition d’une suite qui tend vers+∞ou vers−∞. . .

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 15 / 24

Propriété 2 (Suites arithmétiques)

Soit(un)une suite arithmétique de raisonret de premier terme u0. Sir >0alors la suite diverge : lim

n→+∞un= +∞.

Sir= 0alors la suite est constante égale àu₀ et donc : lim

n→+∞un =u₀.

Sir <0alors la suite diverge : lim

n→+∞un =−∞.

Démonstration

(u_n)une suite arithmétique de raison ret de premier termeu₀donc pour tout n∈N,u_n=u₀+nr.

Utiliser ensuite la définition d’une suite qui tend vers+∞ou vers−∞. . .

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 15 / 24

Propriété 2 (Suites arithmétiques)

Soit(un)une suite arithmétique de raisonret de premier terme u0. Sir >0alors la suite diverge : lim

n→+∞un= +∞.

Sir= 0alors la suite est constante égale àu₀ et donc : lim

n→+∞un =u₀.

Sir <0alors la suite diverge : lim

n→+∞un =−∞.

Démonstration

(u_n)une suite arithmétique de raison ret de premier termeu₀donc pour tout n∈N,u_n=u₀+nr.

Utiliser ensuite la définition d’une suite qui tend vers+∞ou vers−∞. . .

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 15 / 24

Propriété 2 (Suites arithmétiques)

Soit(un)une suite arithmétique de raisonret de premier terme u0. Sir >0alors la suite diverge : lim

n→+∞un= +∞.

Sir= 0alors la suite est constante égale àu₀ et donc : lim

n→+∞un =u₀. Sir <0alors la suite diverge : lim

n→+∞u_n=−∞.

Démonstration

(u_n)une suite arithmétique de raison ret de premier termeu₀donc pour tout n∈N,u_n=u₀+nr.

Utiliser ensuite la définition d’une suite qui tend vers+∞ou vers−∞. . .

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 15 / 24

Propriété 2 (Suites arithmétiques)

Soit(un)une suite arithmétique de raisonret de premier terme u0. Sir >0alors la suite diverge : lim

n→+∞un= +∞.

Sir= 0alors la suite est constante égale àu₀ et donc : lim

n→+∞un =u₀. Sir <0alors la suite diverge : lim

n→+∞u_n=−∞.

Démonstration

(u_n)une suite arithmétique de raison ret de premier termeu₀donc pour tout n∈N,u_n=u₀+nr.

Utiliser ensuite la définition d’une suite qui tend vers+∞ou vers−∞. . .

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 15 / 24

Propriété 2 (Suites arithmétiques)

Soit(un)une suite arithmétique de raisonret de premier terme u0. Sir >0alors la suite diverge : lim

n→+∞un= +∞.

Sir= 0alors la suite est constante égale àu₀ et donc : lim

n→+∞un =u₀. Sir <0alors la suite diverge : lim

n→+∞u_n=−∞.

Démonstration

(u_n)une suite arithmétique de raison ret de premier termeu₀ donc pour tout n∈N,u_n=u₀+nr.

Utiliser ensuite la définition d’une suite qui tend vers+∞ou vers−∞. . .

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 15 / 24

Sommaire

1. Théorèmes de comparaison

2. Cas des suites monotones

3. Cas particulier important : les suites arithmétiques et géométriques 3.1 Suites arithmétiques

3.2 Suites géométriques

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 16 / 24

Lemme 1

Siq >1, alors lim

n→+∞qⁿ =+∞.

Démonstration

La preuve repose surl’inégalité deBernoulli:

pour tout réelx>0et toutn∈N, on a (1 +x)ⁿ>1 +nx.

1.

Démontrer par récurrence l’inégalité deBernoulli.

2.

Écrireqsous la formeq= 1 +xavecx >0(pourquoi peut-on l’écrire ainsi ?), puis appliquer l’inégalité deBernoulli.

3.

Conclure.

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 17 / 24

Lemme 1

Siq >1, alors lim

n→+∞qⁿ = +∞.

Démonstration

La preuve repose surl’inégalité deBernoulli:

pour tout réelx>0et toutn∈N, on a (1 +x)ⁿ>1 +nx.

1.

Démontrer par récurrence l’inégalité deBernoulli.

2.

Écrireqsous la formeq= 1 +xavecx >0(pourquoi peut-on l’écrire ainsi ?), puis appliquer l’inégalité deBernoulli.

3.

Conclure.

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 17 / 24

Lemme 1

Siq >1, alors lim

n→+∞qⁿ = +∞.

Démonstration

La preuve repose surl’inégalité deBernoulli:

pour tout réelx>0et toutn∈N, on a (1 +x)ⁿ>1 +nx.

1.

Démontrer par récurrence l’inégalité deBernoulli.

2.

Écrireqsous la formeq= 1 +xavecx >0(pourquoi peut-on l’écrire ainsi ?), puis appliquer l’inégalité deBernoulli.

3.

Conclure.

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 17 / 24

Propriété 3

Si−1< q <1alors lim

n→+∞qⁿ=0.

Démonstration

Siq= 0, c’est trivial...

Siq6= 0, et comme−1< q <1, on peut écrire0<|q|<1, et le nombreq⁰= 1

|q| vérifieq⁰>1 . . .

Remarque

Dans le cas charnièreq= 1, la suiteqⁿ est constante égale à 1, donc tend trivialement vers 1.

Siq6−1 alors la suiteqⁿ n’a pas de limite.

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 18 / 24

Propriété 3

Si−1< q <1alors lim

n→+∞qⁿ= 0.

Démonstration

Siq= 0, c’est trivial...

Siq6= 0, et comme−1< q <1, on peut écrire0<|q|<1, et le nombreq⁰= 1

|q| vérifieq⁰>1 . . .

Remarque

Dans le cas charnièreq= 1, la suiteqⁿ est constante égale à 1, donc tend trivialement vers 1.

Siq6−1 alors la suiteqⁿ n’a pas de limite.

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 18 / 24

Propriété 3

Si−1< q <1alors lim

n→+∞qⁿ= 0.

Démonstration

Siq= 0, c’est trivial...

Siq6= 0, et comme−1< q <1, on peut écrire0<|q|<1, et le nombreq⁰= 1

|q| vérifieq⁰>1 . . .

Remarque

Dans le cas charnièreq= 1, la suiteqⁿ est constante égale à 1, donc tend trivialement vers 1.

Siq6−1 alors la suiteqⁿ n’a pas de limite.

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 18 / 24

Propriété 3

Si−1< q <1alors lim

n→+∞qⁿ= 0.

Démonstration

Siq= 0, c’est trivial...

Siq6= 0, et comme−1< q <1, on peut écrire0<|q|<1, et le nombreq⁰= 1

|q| vérifieq⁰>1 . . .

Remarque

Dans le cas charnièreq= 1, la suiteqⁿ est constante égale à 1, donc tend trivialement vers 1.

Siq6−1 alors la suiteqⁿ n’a pas de limite.

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 18 / 24

En résumé :

Théorème 7

n→+∞lim qⁿ=











+∞ si q >1

1 si q= 1

0 si −1< q <1 n’existe pas si q6−1

Méthode (Limite d’une suite géométrique)

Pour une suite géométrique, on sait que pour toutn, on a un =u0×qⁿ. On utilise donc le théorème précédent en tenant compte du signe deu0 pour déterminer la limite éventuelle de(un).

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 19 / 24

En résumé :

Théorème 7

n→+∞lim qⁿ=











+∞ si q >1

1 si q= 1

0 si −1< q <1 n’existe pas si q6−1

Méthode (Limite d’une suite géométrique)

Pour une suite géométrique, on sait que pour toutn, on a un =u0×qⁿ. On utilise donc le théorème précédent en tenant compte du signe deu0 pour déterminer la limite éventuelle de(un).

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 19 / 24

En résumé :

Théorème 7

n→+∞lim qⁿ=











+∞ si q >1

1 si q= 1

0 si −1< q <1 n’existe pas si q6−1

Méthode (Limite d’une suite géométrique)

Pour une suite géométrique, on sait que pour toutn, on a un =u0×qⁿ. On utilise donc le théorème précédent en tenant compte du signe deu0 pour déterminer la limite éventuelle de(un).

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 19 / 24

En résumé :

Théorème 7

n→+∞lim qⁿ=











+∞ si q >1

1 si q= 1

0 si −1< q <1 n’existe pas si q6−1

Méthode (Limite d’une suite géométrique)

Pour une suite géométrique, on sait que pour toutn, on a un =u0×qⁿ. On utilise donc le théorème précédent en tenant compte du signe deu0 pour déterminer la limite éventuelle de(un).

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 19 / 24

En résumé :

Théorème 7

n→+∞lim qⁿ=











+∞ si q >1

1 si q= 1

0 si −1< q <1 n’existe pas si q6−1

Méthode (Limite d’une suite géométrique)

Pour une suite géométrique, on sait que pour toutn, on a un =u0×qⁿ. On utilise donc le théorème précédent en tenant compte du signe deu0 pour déterminer la limite éventuelle de(un).

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 19 / 24

En résumé :

Théorème 7

n→+∞lim qⁿ=











+∞ si q >1

1 si q= 1

0 si −1< q <1 n’existe pas si q6−1

Méthode (Limite d’une suite géométrique)

Pour une suite géométrique, on sait que pour toutn, on a un =u0×qⁿ. On utilise donc le théorème précédent en tenant compte du signe deu0 pour déterminer la limite éventuelle de(un).

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 19 / 24

Exercice 5

1.

La suite de terme généralu_n= 5 √ 2ⁿ

est-elle convergente ? Si oui, déterminer sa limite.

2.

La suite de terme généralv_n= 3× 1

2 n

est-elle convergente ? Si oui, déterminer sa limite.

3.

La suite de terme généralwn= 5 (−2)ⁿ est-elle convergente ? Si oui, déterminer sa limite.

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 20 / 24

Exercice 6

Un fumeur, après avoir lu une série de statistiques effrayantes sur les risques de cancer, problèmes cardiovasculaires liés au tabac, décide d’arrêter de fumer ; toujours d’après des statistiques, on estime les probabilités suivantes :

si cette personne n’a pas fumé un jour, alors la probabilité pour qu’elle ne fume pas le jour suivant est 3

10;

si cette personne a fumé un jour, alors la probabilité pour qu’elle ne fume pas le jour suivant est 9

10.

Pourn∈N^∗, on noteJn l’événement « la personne a fumé len-ième jour », et on notepn la probabilité de l’événementJn.

1.

À l’aide d’un arbre de probabilités, exprimerp_n+1 en fonction dep_n.

2.

Montrer que la suite(u_n)définie paru_n=p_n− 7

16 est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.

3.

En déduire une expression deu_n, puis de p_n en fonction de n.

4.

Quelle est la limite depn?

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 21 / 24

Exercice 7

Soit(un)la suite définie pour toutn∈Nparun=

n

X

p=0

2 7

^p . La suite(un)est-elle convergente ?

Si oui, déterminer sa limite.

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 22 / 24

Exercice 8

La suite(S_n)est définie pour tout entiern>1 par :

S_n =

n

X

k=1

1 2^k.

1.

Réécrire l’expression deSn in extenso (c’est-à-dire sans le symbole « somme »).

2.

Que suggère le dessin ci-contre concernant la limite éventuelle de la sommeSn?

3.

Démontrer la conjecture.

1 2

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 23 / 24

Exercice 8

La suite(S_n)est définie pour tout entiern>1 par :

S_n =

n

X

k=1

1 2^k.

1.

Réécrire l’expression deSn in extenso (c’est-à-dire sans le symbole « somme »).

2.

Que suggère le dessin ci-contre concernant la limite éventuelle de la sommeSn?

3.

Démontrer la conjecture.

1 2 1

4

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 23 / 24

Exercice 8

La suite(S_n)est définie pour tout entiern>1 par :

S_n =

n

X

k=1

1 2^k.

1.

Réécrire l’expression deSn in extenso (c’est-à-dire sans le symbole « somme »).

2.

Que suggère le dessin ci-contre concernant la limite éventuelle de la sommeSn?

3.

Démontrer la conjecture.

1 2 1

4 1 8

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 23 / 24

Exercice 8

La suite(S_n)est définie pour tout entiern>1 par :

S_n =

n

X

k=1

1 2^k.

1.

Réécrire l’expression deSn in extenso (c’est-à-dire sans le symbole « somme »).

2.

Que suggère le dessin ci-contre concernant la limite éventuelle de la sommeSn?

3.

Démontrer la conjecture.

1 2 1

4 1 8

1 16

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 23 / 24

FIN

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE (Blaise Pascal) Chapitre 6 septembre 2016 24 / 24