Les suites ( u

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(1)

SUITES NUMERIQUES EXERCICES CORRIGES

Exercice n°1.

Les suites ( u

n

) sont définies par u

n

= f (n ) .

Donner la fonction numérique f correspondante, indiquer le terme initial de la suite, puis calculer les termes u

3

et u

8

1) 1

2

2

= + n

n

u

n

2) u

n

= n

2

− 3 n 3) cos

n

2

un π 

 

 

=

Exercice n°2.

Pour chacune des suites de terme général u , indiquer à partir de quel rang elles sont définies, puis calculer les trois premiers termes

n

1) u

n

= ( ) − 1

n

n 2)

1 2

3

n n n

= u

Exercice n°3.

Soit ( v

n

) la suite définie pour tout entier naturel n par v

n

= n

2

+ n + 1 .

Exprimer en fonction de n les termes suivants : v

n+1

; v

n1

; v

2n

; v

3n1

et la différence v

n+1

v

n

. Exercice n°4.

Soit ( u

n

) la suite définie pour tout entier naturel n par ( )

1

2 1 5 1 + −

=

n n

u

n

.

Vérifier que le rapport 1

1

1

+

n n

u

u est indépendant de n.

Exercice n°5.

Les suites ( u

n

) sont définies par une relation de récurrence u

n+1

= f ( u

n

) .

Donner la fonction numérique f correspondante, puis les quatre premiers termes de la suite 1) 

 

+

=

=

+

3

4 1 2

1 0

n

n

u

u u

2) 



+

=

=

+ 2

1 0

1 2

n

n

u

u

u 3)

+

=

=

+

2 3

1

1 0

n

n

u

u u

Exercice n°6.

Montrer que la suite ( u

n

) définie pour tout entier naturel n par u

n

= n2

n

, vérifie la relation de récurrence

(

n n

)

n

u u

u

+2

= 4

+1

− Exercice n°7.

Compléter le tableau suivant pour n entier égal à 0,1, 2, et 3

v

0

v

1

v

2

v

3

1

4 3

n n

v

+

= v2

( )

2

1

1

n n

v

+

= v4

2

2

1

n n

v

+

= v

+

v

n

1 2

1

2

2

n n

n

v v

v

+

=

+

+ 3 5

Exercice n°8.

1) Résoudre l’inéquation x + ≤ 2 3 x + 3

1

n +

(2)

Exercice n°9.

Etudier le sens de variation des suites suivantes : 1) u

n

= 2

n

− 4 2) 0,75

3 n

n

= n

u 3) u

n

= 2 n

3

+ n 4) u

n

= − ( ) 3

n

5) u

n

= n

2

+ + n 1

6) 1

n

2

= − n

u + 7) u

n

= 2

n

n 8)

n

2

n

= n

u 9) 1

n

n

u = −

Exercice n°10.

Démontrez que les suites suivantes sont périodiques, en déterminant une période :

1) 2

sin 3

n

u n π

= 2)

0

2 1

1

3 5

2 2 1

n n n

v

v

+

v v

 =

  = − + +



Exercice n°11.

Soit ( ) u

n n∈`

la suite définie par la liste de ses termes : 1 ; 2 ; 2

2

; 2

22

; 2

32

; 2

33

; 2

43

...

3 3 3 3 3 3 3

Démontrez que ( ) u

n

est constituée de deux suites extraites décroissantes

(3)

SUITES NUMERIQUES - CORRECTION

Exercice n°1 1) Si

1 2

2

= + n

u

n

n alors u

n

= f (n ) avec ( )

2

2

1 f x x

x

= +

− définie sur ] −∞ − ∪ − ; 1 [ ] [ ] 1;1 ∪ +∞ 1; [ . On définira donc la suite pour n ≥ 2 . Ainsi

3

3 2

2

3 1 u = + =

− 5

8 et

8 2

8 2 10 8 1 63 u = + =

2) Si u

n

= n

2

− 3 n alors u

n

= f (n ) avec f x ( ) = x

2

3 x définie sur ] −∞ ;0 ] [ 3; +∞ [ . On définira donc la suite pour n ≥ 3 . Ainsi u

3

= 3

2

− × = 3 3 0 = 0 et u

8

= 8

2

− × = 3 8 40 = 2 10

3) Si cos

n

2

u n π

=     alors u

n

= f (n ) avec ( ) cos

2 f x x π

=     définie sur \ . On définira donc la suite pour n ∈ ` .

Ainsi

3

3

cos cos

u =       = 0

2 2

π π

 − 

  = et

8

( )

cos 8 cos 4 1 2

π π

 

=     =

u =

Exercice n°2

1) La suite de terme général u

n

= ( ) − 1

n

n est définie pour tout n ∈ ` . Ainsi u

0

= − ( ) 1

0

0 1 0 = × = 0 ,

( )

1

( )

1

1 1 1 1

u = − = − × = −1 et u

2

= − ( ) 1

2

2 1 = × 2 = 2 2) La suite de terme général

1 2

3

=

n n

u

n

est définie si et seulement si 2

n

− ≠ 1 0 . Or 2

n

− = ⇔ 1 0 2

n

= ⇔ = 1 n 0

( ) u

n n

n’est donc définie que pour n ≥ 1 . On calcule

1 1

3

1

3 2 1 2 1 3

u = = =

− − ,

2

2 2

3 9

2 1 3 3

u = = =

et

3

3 3

3 2

2 1 7

u = =

− 7

Exercice n°3 Si, pour tout n ∈ ` , v

n

= n

2

+ n + 1 , alors

( ) (

2

)

2 2

1

1 1 1 2 1 1 1 3

v

n+

= n + + n + + = n + n + + + + = n n + n + 3

( ) (

2

)

2 2

1

1 1 1 2 1 1 1

v

n

= n − + n − + = nn + + − + = n n − +1 n

( )

2 2

2n

2 2 1 4 2

v = n + n + = n + n + 1

( ) (

2

)

2 2

3n 1

3 1 3 1 1 9 6 1 3 1 1 9 3 1 v

= n − + n − + = nn + + n − + = nn + Enfin, v

n+1

− = v

n

n

2

+ 3 n + − 3 ( n

2

+ + = n 1 ) 2 n + 2

Exercice n°4

Pour tout n ∈ ` , ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

1 1

1 1

1 1 1 1

1

1 1

5 5

1 1 1 1

1 2 2 1 5 2 1 5 2 1

5 5

1 1 1 1 1 2 5

2 2

n n

n n

n n n n

n

n n

n n

n n n

u u

+ +

− −

+ − + −

+

− −

+ − − −

− /

= = = − × = − ×

− + − − − 2 5 / = − 2

Le rapport

1

1

1

+

n n

u

u est bien indépendant de n.

Exercice n°5

1) La suite définie par

0

1

2

1 3

n

4

n

u

u

+

u

 = −

 

= +

 est donc définie par avec

0

(

1

2

n n

u

u

+

f u

 = −

 =

 ) ( ) 1 3

f x = 4 x +

On calcule ainsi

1 0

( )

1 1 1

3 2 3 3

4 4 2

= + = − + = − + = 5

u u 2 puis

2

1

1

1 5 5

3 3 3

4 4 2 8

= + = × + = + = 29

u u 8 et enfin

1 1 29 29 125

(4)

2) La suite définie par



 

+

=

=

+ 2

1 0

1 2

n

n

u

u

u est donc définie par 

0 1

( ) avec

2

n n

u

u

+

f u

 =

 = f x ( ) = 1 + x

2

On calcule u

1

= 1 + u

02

= 1 2 +

2

= 5 , u

2

= 1 + u

12

= 1 + ( ) 5

2

= 6 et u

3

= 1 + u

22

= 1 + ( ) 6

2

= 7

Exercice n°6

Pour tout n ∈ ` , on calcule

( ) ( ) ( ( ) )

N N N

2 2 2

2 1

2 1

2 2 1 1

2 2 2

2 3 3 3 2

2 2 3

2 3

3 3

4 2 2 4 1 2

2 2 2 4 2 4 2 4 2

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

0

n n

n n n

n n n n n

n n n n n

n n n

n n

n n

u u u n n n

n n n

n n n

n n n

n n

n n

+ +

+ +

+ + + +

= = =

+ + + + +

+ + +

+ +

+ +

− − = + − + −

= + × − − × + ×

= + − − +

= + −

= −

= −

=

2

n

Ainsi, pour tout n ∈ ` , u

n+2

= 4 ( u

n+1

u

n

)

Exercice n°7

Compléter le tableau suivant pour n entier égal à 0,1, 2, et 3

v

0

v

1

v

2

v

3

1

4

n n

v

+

= v − 3 2 v

1

= 4 v

0

− = × − = 3 4 2 3 5 v

2

= 4 v

1

− = × − = 3 4 5 3 1 7 v

3

= 4 v

2

− = × − = 3 4 17 3 6 5

(

2

1

1

n n

v

+

= v − ) 4 v

1

= ( v

0

− 1 ) (

2

= 4 1 − )

2

= 9 v

2

= ( v

1

− 1 ) (

2

= 9 1 − )

2

= 6 4

3

(

2

1 ) (

2

64 1 )

2

3969

v = v − = −

=

2

2

1

n n

v

+

= v

+

v

n

1 2 v

2

= 2 v

1

− = × − = v

0

2 2 1 3 v

3

= 2 v

2

− = × − = v

1

2 3 2 4

1

2

2

n n

n

v v

v

+

=

+

+ 3 5

2 1 0

5 3

2 2 4 v v

v = + = + =

2 1

3

4 5 9

2 2

v v

v = + = + =

2 Exercice n°8

1) 1

2 3 3 1 2 2

x + ≤ x + ⇔ − ≤ x ⇔ − ≤ 2 . 1 2 ; S = −    +∞    2) On remarque d’abord que pour tout entier n ∈ ` , u

n

> 0 .

De plus, pour tout entier n ∈ ` , u

n

> 0 ,

( )

( )

1 1

1

1 1

2 3 2

3 1 3 1 3

3

n n n

n

n n

n

u n n

u n n

+ +

+

+ +

+ +

= = × =

+ + n + 1

On résout

( )

1

2

1 1 2

3 1

n n

u n

n n

u n

+

< ⇔ + < ⇔ + < +

+ 3 3

D’après la question précédente,

1

1

1 2

n n

u n

u

+

< ⇔ > − , ce qui est assuré puisque n ∈ `

Ainsi n ∈ ` 1

1

2 1

n n

n n u

u

∈ ⇒ > − ⇒ `

+

< . Comme pour tout n ∈ ` , , ceci entraîne u , et nous permet d’affirmer que la suite (

n

0

u >

n+1

< u

n

n

)

u est strictement décroissante.

(5)

Exercice n°9

1) Si pour tout n ∈ ` , u

n

= 2

n

− 4 , on calcule u

n+1

u

n

= 2

n+1

− − 4 ( 2

n

− 4 ) = 2

n+1

− 2

n

= 2 2 1

n

( − = ) 2

n

Or pour tout entier n ∈ ` , 2

n

> 0 , c’est-à-dire u

n+1

u

n

> ⇔ 0 u

n+1

> u

n

. La suite est donc strictement croissante.

( ) u

n n∈`

2) Si pour tout n ≥ 1 , 0,75

3 n

n

= n

u , on calcule ( )

( )

1

3 1 3 3

1

3 3

0,75

0,75

1 0,75

0,75 1 0,75 1

n

n

n n n

n

u n n n

u n n

n

+

+

+

= + = + × = ×   +   

Or pour tout entier n ≥ 1 ,

3

0 1 0

1 1

n n

n n

 

< + < ⇒ <   +   < 1 et puisque 0 0,75 1 < < , on en déduit que

n 1

1

n

u u

+

< . Puisque pour tout n ≥ 1 , u

n

> 0 , ceci entraîne u

n+1

< u

n

donc la suite ( ) u

n n∈`

est donc strictement décroissante.

3) 1

ère

méthode

Si pour tout n ∈ ` , u

n

= 2 n

3

+ n , on calcule :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

3 3 3 2

1

3 2 3 2 2

2 1 1 2 2 3 3 1 1 2

2 6 6 2 1 2 6 6 3 3 2 2 1

n n

u u n n n n n n n n n

n n n n n n n n n n

+

− = + + + − + = + + + + + − −

= + + + + + − − = + + = + +

3

n

Puisque le calcul du discriminant du polynôme P n ( ) = 2 n

2

+ 2 n + 1 fournit ∆ = 2

2

− × × = − < 4 2 1 4 0 , on peut affirmer que pour tout n ∈ ` , u

n+1

u

n

> ⇔ 0 u

n+1

> u

n

, donc la suite ( ) u

n n∈`

est donc strictement croissante.

2

ème

méthode

Puisque pour tout n ∈ ` , u

n

= 2 n

3

+ = n f n ( ) avec f x ( ) = 2 x

3

+ x

x

, le sens de variation de f nous renseignera sur celui de ( ) u

n n∈`

. Or f est dérivable sur \ , et pour tout \ , f x ( ) = 6 x

2

+ > 1 0 , donc f est strictement croissante sur

, et on retrouve bien le résultat : La suite

\ ( ) u

n n∈`

est donc strictement croissante.

4) Si pour tout n ∈ ` , u

n

= − ( ) 3

n

, on peut affirmer que la suite ( ) u

n n∈`

n’est pas monotone.

En effet n pair ⇒ u

n

> 0 et n impair ⇒ u

n

< 0

La suite ( ) u

n n∈`

n’est donc ni croissante ni décroissante

5) Si pour tout n ∈ ` , u

n

= n

2

+ + n 1 , il est préférable d’étudier la fonction f définie par f x ( ) = x

2

+ + x 1

Puisque n ` , il suffit d’étudier f sur [ 0; +∞ [ . Si on note P x ( ) = x

2

+ + x 1 , le calcul du discriminant fournit , donc pour tout

2

1 3

∆ = 1 − × 4 1 × = − < 0 P x ( ) > 0 x \ . Ainsi la fonction f est définie sur . Elle est également dérivable sur car P l’est, et puisque pour tout

\

\ x ∈ \ , P x ( ) > 0 . Pour tout x ∈ \ , ( ) 2

2

1

2 1

f x x

x x

′ = +

+ + . Puisque l’on se restreint à [ 0; +∞ [ , on peut affirmer que pour tout x [ 0; +∞ [ , 2 x + > ⇒ 1 0 f ( ) x > 0 , donc f est strictement croissante sur [ 0; +∞ [ et ainsi la suite ( ) u

n n∈`

est strictement croissante.

6) Si pour tout n ∈ ` , 1

n

2

= − n

u + , il est préférable d’étudier la fonction f définie sur [ 0; +∞ [ par ( ) 1

f x 2

= − x +

f est dérivable sur ] 0; +∞ [ , et pour tout x ] 0; +∞ [ , ( )

( )

2

( )

2

1 2 1

2 2 2

f x x

x x x

′ = =

+ + . Pour tout x ] 0; +∞ [ ,

, donc f est strictement croissante sur [ ( ) 0

f x ′ > 0; +∞ [ et ainsi la suite ( ) u

n n∈`

est strictement croissante.

7) Si pour tout n ∈ ` , u

n

= 2

n

n , on calcule :

( ) ( ) ( )

1 1

2

n

1 2

n

2

n

2

n

1 2 2 1 1 2

n

uu =

+

− + − nn =

+

− − − + = n n − − =

n

− 1

(6)

8) Si pour tout n ∈ ` ,

n

2

n

= n u ,

on calcule, pour tout n ≥ 1

1 1 1

1 1 2 1

2 2 2

2

n n n

n

n n

u n n n

u n n

+ +

+

+

n

+ +

= = × =

Pour comparer

1

1 2

n n

u n

u n

+

+

= à 1, on calcule

1

1 1 2 1

1 1

2 2 2

n n

u n n n

u n n n

+

2 n n

+ + −

− = − = − = .

Or pour tout n = 1 ,

2

1

1 1 1 2 u

u

− = − = 0 , ce qui signifie que u

1

= u

2

. De plus pour tout n > 1 ,

1

1

1 0

2

n n

u n

u n

+

− = − < . Ainsi pour tout n > 1 ,

1

1

n +

<

u

n

u . Comme pour tout n ∈ ` , 0 2

n

n

u

n

= ≥ , l’inégalité

n 1

1

n

u u

+

< équivaut à u

n+1

< u

n

. Ainsi, mis à part u

1

= u

2

, la suite ( ) u

n n∈`

est strictement croissante à partir de n ≥ 2

9) Si pour tout n ≥ 1 , 1

n

= − n

u , la suite ( ) u

n n∈`

aura le même sens de variation que la fonction définie sur ] 0; +∞ [ par ( ) 1

f x = − x . Cette fonction est strictement croissante sur ] 0; +∞ [ (en tant qu’opposé d’une fonction strictement décroissante sur ] 0; +∞ [ ), donc la suite ( ) u

n n∈`

est strictement croissante

Exercice n°10

1) Si pour tout n ∈ ` , 2 sin 3

n

u n π

= , on calcule

0

2 0

sin sin 0 0

u × × 3 π

= = = ,

1

2 3

sin sin

3 3

u π π

= = =

2 ,

2

2 2 4 2 2 3

sin s sin sin sin

3 3 3

u π π π

= = 2 2 = = − = − = −

3 in 3

π π

× ×

2 et

3

sin 2 3 sin 2 0 u = × 3 π = π = . Il semblerait que ( ) u

n n∈`

soit périodique de période 3.

Pour le vérifier, on calcule, pour tout n ∈ ` ,

( )

3

2 3 2 2 3 2 2

sin sin sin 2 sin

3 3 3 3 3

n n

n n n

u

+

= + π =   π + × π   =   π + π   =   π u n  =   Ains, la suite ( ) u

n n∈`

est périodique de période 3.

2) Si pour tout n ∈ ` ,

0

2 1

1

3 5

2 2 1

n n n

v

v

+

v v

 =

  = − + +

 , on calcule

1

3

02

5

0

3 5

2 2 v 1 2 2 1 2

v = − v + + = − + + = , puis

2 2

2 1 1

3 5 3 5

1 2 2 1 6 5 1

2 2 2 2

v = − v + v + = − × + × + = − + + = 0 et enfin

3

3

22

5

2

2 2 1 1

v = − v + v + = . On retombe sur v et il semblerait que la suite soit périodique de période 3.

0

( ) u

n n∈`

Démontrons que pour tout n ∈ ` , v

n+3

= v

n

.

Soit n ∈ ` . Effectuons la division euclidienne de n par 3, et écrivons n = 3 q r + avec 0 ≤ < r 2 Montrons par récurrence sur n ∈ ` que v

n

= v

r

(où r est le reste de la division euclidienne de n par 3)

r

La propriété est vraie pour n = 0,1, 2,3

Supposons là vraie pour un entier n ∈ ` fixé, c’est-à-dire v

n

= v (où r est le reste de la division euclidienne de n par 3), et montrons que v

n+1

= v

s

(où s est le reste de la division euclidienne de n + 1 par 3)

Si n = 3 q + r , 0 ≤ < r 2 , alors n + = 1 3 q r + + 1 . De trois choses l’une :

Si n = 3 q , c’est-à-dire r = 0 , alors v

n

= v

0

(hypothèse de récurrence) donc

2

1 0

3 5 3 5

2 2 v

n

2 v 2

+

= − + = − 1

2

+ v

0

+ = 1 v

1

q 1

n n

v v + . Comme n + = 1 3 + , c’est-à-dire s = 1 , alors on pourra bien affirmer

que v

+

= v

(7)

1

Si n = 3 q + , c’est-à-dire r = 1 , alors v

n

= v

1

(hypothèse de récurrence) donc

2

3 5

2 2

v

n

v

+1

= − 3 5 + = − 1

12

+ v + 1 =

2 2

n n

v v +

1

v

2

. Comme n + = 1 3 q + 2 , c’est-à-dire , alors on pourra encore affirmer que

2 s =

+1

=

n s

v v

Si n = 3 q + 2 , c’est-à-dire r = 2 , alors v

n

= v

2

(hypothèse de récurrence) donc

2 2

2

3 5

1 1

2 2

v

n

v v

+1

= − 3 5 + = − + + =

2 2

n n

v v +

2

v =

3

v

0

. Comme n + = 1 3 q + = 3 3 ( q + 1 ) , c’est-à-dire s = 0 , alors on pourra bien affirmer que v

n+1

= v

s

.

Dans tous les cas, v

n+1

= v

s

(où s est le reste de la division euclidienne de n + 1 par 3) La phase d’hérédité est achevée, et la propriété est donc vraie pour tout n ∈ ` .

La périodicité de période 3 de la suite sur ses trois premiers termes entraîne donc sa périodicité de période 3 sur ` . Exercice n°11

( ) u

n n∈`

est constituée de deux sous-suites de rang pair et impair : Pour tout entier n ∈ ` ,

2

2

1

3

n n

=

n+

u

Pour tout entier n ∈ ` ,

1 2 1

2 3

n

n n

u

+ +

=

Notons, pour tout n ∈ ` ,

2

2

1

3

n

n n n

v = u =

+

. Il est évident que pour tout n ∈ ` , v

n

> 0 . De plus, pour tout n ∈ ` ,

( )

1 1

2 1

1 2 2

1 1

2 2

2 3 2

3 2 3 1

n n

n n n

n n

n n

v u u

v u

+ +

+

= = =

+ +

× =

u

n

+ +

< . Ainsi

1

1

1 0

n

n n

n

v

v v

v

+

+

 <

 ⇒ <

  >

v

n

donc la (sous)-suite est strictement décroissante.

( ) v

n n∈`

Notons, pour tout n ∈ ` ,

1 2 1

2 3

n

n n n

w u

+

=

+

= . Il est évident que pour tout n ∈ ` , w

n

> 0 . De plus, pour tout n ∈ ` ,

( )

1 1

2 1 1 3

1 1

2 1

2 3 2

3 2 3 1

n n

n

n n

n n

w u u

w u

+ + + +

+ +

= = = × =

1 2

2 1

n n

u

n

+ +

+ +

< . Ainsi

1

1

1 0

n n n

w

w w

w

+

+

 <

 > ⇒

n

< w

n

  donc la (sous)-suite ( ) w

n n∈`

est

strictement décroissante.

Figure

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