SUITES NUMERIQUES EXERCICES CORRIGES
Exercice n°1.
Les suites ( u
n) sont définies par u
n= f (n ) .
Donner la fonction numérique f correspondante, indiquer le terme initial de la suite, puis calculer les termes u
3et u
81) 1
2
2
−
= + n
n
u
n2) u
n= n
2− 3 n 3) cos
n
2
u n π
=
Exercice n°2.
Pour chacune des suites de terme général u , indiquer à partir de quel rang elles sont définies, puis calculer les trois premiers termes
n
1) u
n= ( ) − 1
nn 2)
1 2
3
−
n n n
= u
Exercice n°3.
Soit ( v
n) la suite définie pour tout entier naturel n par v
n= n
2+ n + 1 .
Exprimer en fonction de n les termes suivants : v
n+1; v
n−1; v
2n; v
3n−1et la différence v
n+1− v
n. Exercice n°4.
Soit ( u
n) la suite définie pour tout entier naturel n par ( )
12 1 5 1 + −
−=
n nu
n.
Vérifier que le rapport 1
1
1
−
+
−
n n
u
u est indépendant de n.
Exercice n°5.
Les suites ( u
n) sont définies par une relation de récurrence u
n+1= f ( u
n) .
Donner la fonction numérique f correspondante, puis les quatre premiers termes de la suite 1)
+
=
−
=
+
3
4 1 2
1 0
n
n
u
u u
2)
+
=
=
+ 2
1 0
1 2
n
n
u
u
u 3)
+
−
=
=
+
2 3
1
1 0
n
n
u
u u
Exercice n°6.
Montrer que la suite ( u
n) définie pour tout entier naturel n par u
n= n2
n, vérifie la relation de récurrence
(
n n)
n
u u
u
+2= 4
+1− Exercice n°7.
Compléter le tableau suivant pour n entier égal à 0,1, 2, et 3
v
0v
1v
2v
31
4 3
n n
v
+= v − 2
( )
21
1
n n
v
+= v − 4
2
2
1n n
v
+= v
+− v
n1 2
1
2
2
n n
n
v v
v
+=
++ 3 5
Exercice n°8.
1) Résoudre l’inéquation x + ≤ 2 3 x + 3
1
n +
Exercice n°9.
Etudier le sens de variation des suites suivantes : 1) u
n= 2
n− 4 2) 0,75
3 nn
= n
u 3) u
n= 2 n
3+ n 4) u
n= − ( ) 3
n5) u
n= n
2+ + n 1
6) 1
n
2
= − n
u + 7) u
n= 2
n− n 8)
n
2
n= n
u 9) 1
n
n
u = −
Exercice n°10.
Démontrez que les suites suivantes sont périodiques, en déterminant une période :
1) 2
sin 3
n
u n π
= 2)
0
2 1
1
3 5
2 2 1
n n n
v
v
+v v
=
= − + +
Exercice n°11.
Soit ( ) u
n n∈`la suite définie par la liste de ses termes : 1 ; 2 ; 2
2; 2
22; 2
32; 2
33; 2
43...
3 3 3 3 3 3 3
Démontrez que ( ) u
nest constituée de deux suites extraites décroissantes
SUITES NUMERIQUES - CORRECTION
Exercice n°1 1) Si
1 2
2
−
= + n
u
nn alors u
n= f (n ) avec ( )
22
1 f x x
x
= +
− définie sur ] −∞ − ∪ − ; 1 [ ] [ ] 1;1 ∪ +∞ 1; [ . On définira donc la suite pour n ≥ 2 . Ainsi
33 2
23 1 u = + =
− 5
8 et
8 28 2 10 8 1 63 u = + =
−
2) Si u
n= n
2− 3 n alors u
n= f (n ) avec f x ( ) = x
2− 3 x définie sur ] −∞ ;0 ] [ ∪ 3; +∞ [ . On définira donc la suite pour n ≥ 3 . Ainsi u
3= 3
2− × = 3 3 0 = 0 et u
8= 8
2− × = 3 8 40 = 2 10
3) Si cos
n
2
u n π
= alors u
n= f (n ) avec ( ) cos
2 f x x π
= définie sur \ . On définira donc la suite pour n ∈ ` .
Ainsi
33
cos cos
u = = 0
2 2
π π
−
= et
8( )
cos 8 cos 4 1 2
π π
= =
u =
Exercice n°2
1) La suite de terme général u
n= ( ) − 1
nn est définie pour tout n ∈ ` . Ainsi u
0= − ( ) 1
00 1 0 = × = 0 ,
( )
1( )
1
1 1 1 1
u = − = − × = −1 et u
2= − ( ) 1
22 1 = × 2 = 2 2) La suite de terme général
1 2
3
=
n n−
u
nest définie si et seulement si 2
n− ≠ 1 0 . Or 2
n− = ⇔ 1 0 2
n= ⇔ = 1 n 0
( ) u
n nn’est donc définie que pour n ≥ 1 . On calcule
1 13
13 2 1 2 1 3
u = = =
− − ,
2
2 2
3 9
2 1 3 3
u = = =
− et
3
3 3
3 2
2 1 7
u = =
− 7
Exercice n°3 Si, pour tout n ∈ ` , v
n= n
2+ n + 1 , alors
( ) (
2)
2 21
1 1 1 2 1 1 1 3
v
n+= n + + n + + = n + n + + + + = n n + n + 3
( ) (
2)
2 21
1 1 1 2 1 1 1
v
n−= n − + n − + = n − n + + − + = n n − +1 n
( )
2 22n
2 2 1 4 2
v = n + n + = n + n + 1
( ) (
2)
2 23n 1
3 1 3 1 1 9 6 1 3 1 1 9 3 1 v
−= n − + n − + = n − n + + n − + = n − n + Enfin, v
n+1− = v
nn
2+ 3 n + − 3 ( n
2+ + = n 1 ) 2 n + 2
Exercice n°4
Pour tout n ∈ ` , ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
1 1
1 1
1 1 1 1
1
1 1
5 5
1 1 1 1
1 2 2 1 5 2 1 5 2 1
5 5
1 1 1 1 1 2 5
2 2
n n
n n
n n n n
n
n n
n n
n n n
u u
+ +
− −
+ − + −
+
− −
+ − − −
− /
= = = − × = − ×
− + − − − 2 5 / = − 2
Le rapport
1
1
1
−
+
−
n n
u
u est bien indépendant de n.
Exercice n°5
1) La suite définie par
0
1
2
1 3
n
4
nu
u
+u
= −
= +
est donc définie par avec
0
(
1
2
n n
u
u
+f u
= −
=
) ( ) 1 3
f x = 4 x +
On calcule ainsi
1 0( )
1 1 1
3 2 3 3
4 4 2
= + = − + = − + = 5
u u 2 puis
21
11 5 5
3 3 3
4 4 2 8
= + = × + = + = 29
u u 8 et enfin
1 1 29 29 125
2) La suite définie par
+
=
=
+ 2
1 0
1 2
n
n
u
u
u est donc définie par
0 1( ) avec
2
n n
u
u
+f u
=
= f x ( ) = 1 + x
2On calcule u
1= 1 + u
02= 1 2 +
2= 5 , u
2= 1 + u
12= 1 + ( ) 5
2= 6 et u
3= 1 + u
22= 1 + ( ) 6
2= 7
Exercice n°6
Pour tout n ∈ ` , on calcule
( ) ( ) ( ( ) )
N N N
2 2 2
2 1
2 1
2 2 1 1
2 2 2
2 3 3 3 2
2 2 3
2 3
3 3
4 2 2 4 1 2
2 2 2 4 2 4 2 4 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
0
n n
n n n
n n n n n
n n n n n
n n n
n n
n n
u u u n n n
n n n
n n n
n n n
n n
n n
+ +
+ +
+ + + +
= = =
+ + + + +
+ + +
+ +
+ +
− − = + − + −
= + × − − × + ×
= + − − +
= + −
= −
= −
=
2
nAinsi, pour tout n ∈ ` , u
n+2= 4 ( u
n+1− u
n)
Exercice n°7
Compléter le tableau suivant pour n entier égal à 0,1, 2, et 3
v
0v
1v
2v
31
4
n n
v
+= v − 3 2 v
1= 4 v
0− = × − = 3 4 2 3 5 v
2= 4 v
1− = × − = 3 4 5 3 1 7 v
3= 4 v
2− = × − = 3 4 17 3 6 5
(
21
1
n n
v
+= v − ) 4 v
1= ( v
0− 1 ) (
2= 4 1 − )
2= 9 v
2= ( v
1− 1 ) (
2= 9 1 − )
2= 6 4
3(
21 ) (
264 1 )
23969
v = v − = −
=
2
2
1n n
v
+= v
+− v
n1 2 v
2= 2 v
1− = × − = v
02 2 1 3 v
3= 2 v
2− = × − = v
12 3 2 4
1
2
2
n n
n
v v
v
+=
++ 3 5
2 1 05 3
2 2 4 v v
v = + = + =
2 13
4 5 9
2 2
v v
v = + = + =
2 Exercice n°8
1) 1
2 3 3 1 2 2
x + ≤ x + ⇔ − ≤ x ⇔ − ≤ 2 . 1 2 ; S = − +∞ 2) On remarque d’abord que pour tout entier n ∈ ` , u
n> 0 .
De plus, pour tout entier n ∈ ` , u
n> 0 ,
( )
( )
1 1
1
1 1
2 3 2
3 1 3 1 3
3
n n n
n
n n
n
u n n
u n n
+ +
+
+ +
+ +
= = × =
+ + n + 1
On résout
( )
1
2
1 1 2
3 1
n n
u n
n n
u n
+
< ⇔ + < ⇔ + < +
+ 3 3
D’après la question précédente,
11
1 2
n n
u n
u
+
< ⇔ > − , ce qui est assuré puisque n ∈ `
Ainsi n ∈ ` 1
12 1
n n
n n u
u
∈ ⇒ > − ⇒ `
+< . Comme pour tout n ∈ ` , , ceci entraîne u , et nous permet d’affirmer que la suite (
n
0
u >
n+1< u
nn
)
u est strictement décroissante.
Exercice n°9
1) Si pour tout n ∈ ` , u
n= 2
n− 4 , on calcule u
n+1− u
n= 2
n+1− − 4 ( 2
n− 4 ) = 2
n+1− 2
n= 2 2 1
n( − = ) 2
nOr pour tout entier n ∈ ` , 2
n> 0 , c’est-à-dire u
n+1− u
n> ⇔ 0 u
n+1> u
n. La suite est donc strictement croissante.
( ) u
n n∈`2) Si pour tout n ≥ 1 , 0,75
3 nn
= n
u , on calcule ( )
( )
1
3 1 3 3
1
3 3
0,75
0,75
1 0,75
0,75 1 0,75 1
n
n
n n n
n
u n n n
u n n
n
+
+
+
= + = + × = × +
Or pour tout entier n ≥ 1 ,
3
0 1 0
1 1
n n
n n
< + < ⇒ < + < 1 et puisque 0 0,75 1 < < , on en déduit que
n 11
n
u u
+
< . Puisque pour tout n ≥ 1 , u
n> 0 , ceci entraîne u
n+1< u
ndonc la suite ( ) u
n n∈`est donc strictement décroissante.
3) 1
èreméthode
Si pour tout n ∈ ` , u
n= 2 n
3+ n , on calcule :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
3 3 3 2
1
3 2 3 2 2
2 1 1 2 2 3 3 1 1 2
2 6 6 2 1 2 6 6 3 3 2 2 1
n n
u u n n n n n n n n n
n n n n n n n n n n
+
− = + + + − + = + + + + + − −
= + + + + + − − = + + = + +
3
n
Puisque le calcul du discriminant du polynôme P n ( ) = 2 n
2+ 2 n + 1 fournit ∆ = 2
2− × × = − < 4 2 1 4 0 , on peut affirmer que pour tout n ∈ ` , u
n+1− u
n> ⇔ 0 u
n+1> u
n, donc la suite ( ) u
n n∈`est donc strictement croissante.
2
èmeméthode
Puisque pour tout n ∈ ` , u
n= 2 n
3+ = n f n ( ) avec f x ( ) = 2 x
3+ x
x
, le sens de variation de f nous renseignera sur celui de ( ) u
n n∈`. Or f est dérivable sur \ , et pour tout ∈ \ , f x ′ ( ) = 6 x
2+ > 1 0 , donc f est strictement croissante sur
, et on retrouve bien le résultat : La suite
\ ( ) u
n n∈`est donc strictement croissante.
4) Si pour tout n ∈ ` , u
n= − ( ) 3
n, on peut affirmer que la suite ( ) u
n n∈`n’est pas monotone.
En effet n pair ⇒ u
n> 0 et n impair ⇒ u
n< 0
La suite ( ) u
n n∈`n’est donc ni croissante ni décroissante
5) Si pour tout n ∈ ` , u
n= n
2+ + n 1 , il est préférable d’étudier la fonction f définie par f x ( ) = x
2+ + x 1
Puisque n ∈ ` , il suffit d’étudier f sur [ 0; +∞ [ . Si on note P x ( ) = x
2+ + x 1 , le calcul du discriminant fournit , donc pour tout
2
1 3
∆ = 1 − × 4 1 × = − < 0 P x ( ) > 0 x ∈ \ . Ainsi la fonction f est définie sur . Elle est également dérivable sur car P l’est, et puisque pour tout
\
\ x ∈ \ , P x ( ) > 0 . Pour tout x ∈ \ , ( ) 2
21
2 1
f x x
x x
′ = +
+ + . Puisque l’on se restreint à [ 0; +∞ [ , on peut affirmer que pour tout x ∈ [ 0; +∞ [ , 2 x + > ⇒ 1 0 f ′ ( ) x > 0 , donc f est strictement croissante sur [ 0; +∞ [ et ainsi la suite ( ) u
n n∈`est strictement croissante.
6) Si pour tout n ∈ ` , 1
n
2
= − n
u + , il est préférable d’étudier la fonction f définie sur [ 0; +∞ [ par ( ) 1
f x 2
= − x +
f est dérivable sur ] 0; +∞ [ , et pour tout x ∈ ] 0; +∞ [ , ( )
( )
2( )
21 2 1
2 2 2
f x x
x x x
′ = =
+ + . Pour tout x ∈ ] 0; +∞ [ ,
, donc f est strictement croissante sur [ ( ) 0
f x ′ > 0; +∞ [ et ainsi la suite ( ) u
n n∈`est strictement croissante.
7) Si pour tout n ∈ ` , u
n= 2
n− n , on calcule :
( ) ( ) ( )
1 1
2
n1 2
n2
n2
n1 2 2 1 1 2
nu − u =
+− + − n − n =
+− − − + = n n − − =
n− 1
8) Si pour tout n ∈ ` ,
n
2
n= n u ,
on calcule, pour tout n ≥ 1
1 1 11 1 2 1
2 2 2
2
n n n
n
n n
u n n n
u n n
+ +
+
+
n
+ +
= = × =
Pour comparer
11 2
n n
u n
u n
+
+
= à 1, on calcule
11 1 2 1
1 1
2 2 2
n n
u n n n
u n n n
+
2 n n
+ + −
− = − = − = .
Or pour tout n = 1 ,
21
1 1 1 2 u
u
− = − = 0 , ce qui signifie que u
1= u
2. De plus pour tout n > 1 ,
11
1 0
2
n n
u n
u n
+
− = − < . Ainsi pour tout n > 1 ,
11
n +
<
u
nu . Comme pour tout n ∈ ` , 0 2
nn
u
n= ≥ , l’inégalité
n 11
n
u u
+
< équivaut à u
n+1< u
n. Ainsi, mis à part u
1= u
2, la suite ( ) u
n n∈`est strictement croissante à partir de n ≥ 2
9) Si pour tout n ≥ 1 , 1
n
= − n
u , la suite ( ) u
n n∈`aura le même sens de variation que la fonction définie sur ] 0; +∞ [ par ( ) 1
f x = − x . Cette fonction est strictement croissante sur ] 0; +∞ [ (en tant qu’opposé d’une fonction strictement décroissante sur ] 0; +∞ [ ), donc la suite ( ) u
n n∈`est strictement croissante
Exercice n°10
1) Si pour tout n ∈ ` , 2 sin 3
n
u n π
= , on calcule
02 0
sin sin 0 0
u × × 3 π
= = = ,
12 3
sin sin
3 3
u π π
= = =
2 ,
2
2 2 4 2 2 3
sin s sin sin sin
3 3 3
u π π π
= = 2 2 = = − = − = −
3 in 3
π π
× ×
2 et
3sin 2 3 sin 2 0 u = × 3 π = π = . Il semblerait que ( ) u
n n∈`soit périodique de période 3.
Pour le vérifier, on calcule, pour tout n ∈ ` ,
( )
3
2 3 2 2 3 2 2
sin sin sin 2 sin
3 3 3 3 3
n n
n n n
u
+= + π = π + × π = π + π = π u n = Ains, la suite ( ) u
n n∈`est périodique de période 3.
2) Si pour tout n ∈ ` ,
0
2 1
1
3 5
2 2 1
n n n
v
v
+v v
=
= − + +
, on calcule
13
025
03 5
2 2 v 1 2 2 1 2
v = − v + + = − + + = , puis
2 2
2 1 1
3 5 3 5
1 2 2 1 6 5 1
2 2 2 2
v = − v + v + = − × + × + = − + + = 0 et enfin
33
225
22 2 1 1
v = − v + v + = . On retombe sur v et il semblerait que la suite soit périodique de période 3.
0
( ) u
n n∈`Démontrons que pour tout n ∈ ` , v
n+3= v
n.
Soit n ∈ ` . Effectuons la division euclidienne de n par 3, et écrivons n = 3 q r + avec 0 ≤ < r 2 Montrons par récurrence sur n ∈ ` que v
n= v
r(où r est le reste de la division euclidienne de n par 3)
r
La propriété est vraie pour n = 0,1, 2,3
Supposons là vraie pour un entier n ∈ ` fixé, c’est-à-dire v
n= v (où r est le reste de la division euclidienne de n par 3), et montrons que v
n+1= v
s(où s est le reste de la division euclidienne de n + 1 par 3)
Si n = 3 q + r , 0 ≤ < r 2 , alors n + = 1 3 q r + + 1 . De trois choses l’une :
Si n = 3 q , c’est-à-dire r = 0 , alors v
n= v
0(hypothèse de récurrence) donc
2
1 0
3 5 3 5
2 2 v
n2 v 2
+
= − + = − 1
2+ v
0+ = 1 v
1q 1
n n
v v + . Comme n + = 1 3 + , c’est-à-dire s = 1 , alors on pourra bien affirmer
que v
+= v
1
Si n = 3 q + , c’est-à-dire r = 1 , alors v
n= v
1(hypothèse de récurrence) donc
2
3 5
2 2
v
nv
+1
= − 3 5 + = − 1
12+ v + 1 =
2 2
n n
v v +
1v
2. Comme n + = 1 3 q + 2 , c’est-à-dire , alors on pourra encore affirmer que
2 s =
+1
=
n s
v v
Si n = 3 q + 2 , c’est-à-dire r = 2 , alors v
n= v
2(hypothèse de récurrence) donc
2 2
2
3 5
1 1
2 2
v
nv v
+1
= − 3 5 + = − + + =
2 2
n n
v v +
2v =
3v
0. Comme n + = 1 3 q + = 3 3 ( q + 1 ) , c’est-à-dire s = 0 , alors on pourra bien affirmer que v
n+1= v
s.
Dans tous les cas, v
n+1= v
s(où s est le reste de la division euclidienne de n + 1 par 3) La phase d’hérédité est achevée, et la propriété est donc vraie pour tout n ∈ ` .
La périodicité de période 3 de la suite sur ses trois premiers termes entraîne donc sa périodicité de période 3 sur ` . Exercice n°11
( ) u
n n∈`est constituée de deux sous-suites de rang pair et impair : Pour tout entier n ∈ ` ,
22
13
n n
=
n+u
Pour tout entier n ∈ ` ,
1 2 1
2 3
n
n n
u
+ +
=
Notons, pour tout n ∈ ` ,
22
13
n
n n n
v = u =
+. Il est évident que pour tout n ∈ ` , v
n> 0 . De plus, pour tout n ∈ ` ,
( )
1 12 1
1 2 2
1 1
2 2
2 3 2
3 2 3 1
n n
n n n
n n
n n
v u u
v u
+ +
+
= = =
+ +× =
u
n+ +
< . Ainsi
1
1
1 0
n
n n
n
v
v v
v
+
+
<
⇒ <
>
v
ndonc la (sous)-suite est strictement décroissante.
( ) v
n n∈`Notons, pour tout n ∈ ` ,
1 2 1
2 3
n
n n n
w u
+
=
+= . Il est évident que pour tout n ∈ ` , w
n> 0 . De plus, pour tout n ∈ ` ,
( )
1 12 1 1 3
1 1
2 1
2 3 2
3 2 3 1
n n
n
n n
n n
w u u
w u
+ + + +
+ +
= = = × =
1 2
2 1
n n
u
n+ +
+ +
< . Ainsi
1
1
1 0
n n n
w
w w
w
+
+
<
> ⇒
n