les nombres complexes au delà des réels DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD

(1)

les nombres complexes

au delà des réels

DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD

Blaise Pascal

novembre 2017

(2)

Sommaire

1. Histoire des nombres complexes

1.1 Évolution des notations au fil du temps

1.2 Des formules pour résoudre les équations du troisième degré 1.3 Où l’on ose l’impensable

2. Le corps des nombres complexes 2.1 L’ensembleC.

2.2 Ajouter, soustraire, multiplier des nombres complexes 2.3 Conjuguer pour diviser

2.4 Le conjugué, vu de plus près

3. Résolution dansCdes équations du second degré

(3)

Sommaire

(4)

Les mathématiques ne se sont pas faites en un jour et les notations actuelles sont le fruit d’une longue évolution . . .

(5)

Pendant longtemps "l’inconnue" d’une équation n’apparaissait pas dans son écriture, les nombres négatifs (nombres "absurdes") n’avaient aucun statut et le signe "=" était inexistant . . .

Remontons le temps au travers d’une même "équation" :

Aujourd’hui 4x²+ 3x−10 = 0 René Descartes vers 1640

4xx+ 3x ∝ 10

François Viète vers 1600

4 in A quad + 3 in A aequatur 10

Simon Stevin fin XVI^e

42 + 31 egales100

Tartaglia début XVI^e

4q p 3R equale 10N

Nicolas Chuquet fin XV^e

4²p3¹ egault10⁰

Luca Pacioli fin XV^e

Quattro qdrat che gioto agli tren⁰ facia 10

Diophante III^e

∆^Yδ ζγ εστ ι ι

C’est l’anglais Robert Recorde qui introduit l’usage du "=" en 1557.

(6)

4xx+ 3x ∝ 10

42 + 31 egales100

4q p 3R equale 10N

4²p3¹ egault10⁰

Diophante III^e

∆^Yδ ζγ εστ ι ι C’est l’anglais Robert Recorde qui introduit l’usage du "=" en 1557.

(7)

4xx+ 3x ∝ 10

42 + 31 egales100

4q p 3R equale 10N

4²p3¹ egault10⁰

(8)

4xx+ 3x ∝ 10

42 + 31 egales100

4q p 3R equale 10N

4²p3¹ egault10⁰

Luca Pacioli fin XV^e Quattro qdrat che gioto agli tren⁰facia 10

Diophante III^e ∆^Yδ ζγ εστ ι ι

(9)

4xx+ 3x ∝ 10

42 + 31 egales100

4q p 3R equale 10N

Nicolas Chuquet fin XV^e 4²p3¹ egault10⁰

(10)

4xx+ 3x ∝ 10

42 + 31 egales100

Tartaglia début XVI^e 4q p 3R equale 10N

(11)

4xx+ 3x ∝ 10

Simon Stevin fin XVI^e 42 + 31 egales100

(12)

4xx+ 3x ∝ 10

François Viète vers 1600 4 in A quad + 3 in A aequatur 10 Simon Stevin fin XVI^e 42 + 31 egales100

(13)

Aujourd’hui 4x²+ 3x−10 = 0

René Descartes vers 1640 4xx+ 3x ∝ 10

(14)

Aujourd’hui 4x²+ 3x−10 = 0

René Descartes vers 1640 4xx+ 3x ∝ 10

(15)

Première apparition du signe "="

(16)

Sommaire

(17)

Vous connaissez des formules pour résoudre des équations du second degré, si bien que vous savez toujours trouver leurs solutions, si elles existent, de façon exacte ;

Vous avez aussi des critères pour connaître le nombre de leurs solutions. Le cas des équations de degré trois est différent. Si une racine particulière est connue, la factorisation est possible et l’on retrouve le second degré ;

Sinon, il faut chercher d’autres moyens de factoriser, ce qui n’est pas toujours possible . . .

(18)

Vous connaissez des formules pour résoudre des équations du second degré, si bien que vous savez toujours trouver leurs solutions, si elles existent, de façon exacte ; Vous avez aussi des critères pour connaître le nombre de leurs solutions.

Le cas des équations de degré trois est différent. Si une racine particulière est connue, la factorisation est possible et l’on retrouve le second degré ;

(19)

Le cas des équations de degré trois est différent.

Si une racine particulière est connue, la factorisation est possible et l’on retrouve le second degré ;

(20)

(21)

(22)

Recherche de formules

Les « formules » pour résoudre les équations du second degré sont connues depuis très longtemps, si on accepte de considérer comme « formule » des moyens géométriques, ou algorithmiques, qui ont peu de rapport bien sûr avec notre écriture algébrique actuelle.

Les mathématiciens arabes des XI^eet XII^esiècle ont essayé de résoudre « par la géométrie » des équations du troisième degré. Ils ont buté sur la résolution algébrique.

En occident, jusqu’au XVI^esiècle, les efforts de résolution n’aboutiront pas vraiment. Cependant, les mathématiciens italiens de la Renaissance vont se risquer à « percer le mystère et les secrets du troisième degré ».

(23)

Recherche de formules

En occident, jusqu’au XVI^esiècle, les efforts de résolution n’aboutiront pas vraiment. Cependant, les mathématiciens italiens de la Renaissance vont se risquer à « percer le mystère et les secrets du troisième degré ».

(24)

Recherche de formules

En occident, jusqu’au XVI^esiècle, les efforts de résolution n’aboutiront pas vraiment. Cependant, les mathématiciens italiens de la Renaissance vont se risquer

(25)

Une longue histoire va commencer, avec des mathématiciens comme Nicolo Tartaglia (1500-1557), Girolamo Cardano (1501-1576), et Rafaele Bombelli (1526-1573).

(26)

Forme générale d’une équation de degré 3

La mode était à l’époque aux défis et tournois mathématiques. Cela permettait d’arrondir ses fins de mois et d’acquérir la célébrité.

Répondant à l’un de ces défis, en 1535, Tartaglia réussit à résoudre quelques équations de degré 3.

Dans des circonstances un peu scabreuses, Cardan réussit à soutirer sa découverte à Tartaglia, lui promettant de la garder secrète.

(27)

Forme générale d’une équation de degré 3

(28)

Forme générale d’une équation de degré 3

(29)

Forme générale d’une équation de degré 3

En fait, Cardan ne tardera pas à publier cette résolution, après toutefois l’avoir largement enrichie, en donnant une étude complète des équations de degré 3, dans Ars Magna, en 1545.

(30)

Forme générale d’une équation de degré 3

En fait, Cardan ne tardera pas à publier cette résolution, après toutefois l’avoir largement enrichie, en donnant une étude complète des équations de degré 3, dans Ars Magna, en 1545.

(31)

Forme générale d’une équation de degré 3

Il propose de classer les équations de degré 3 en trois catégories que nous donnons dans l’écriture algébrique contemporaine :

x³+cx=d (1)

x³+d=cx (2)

x³=cx+d (3)

(32)

Forme générale d’une équation de degré 3

x³+cx=d (1)

x³+d=cx (2)

x³=cx+d (3)

(33)

Forme générale d’une équation de degré 3

x³+cx=d (1)

x³+d=cx (2)

x³=cx+d (3)

(34)

Forme générale d’une équation de degré 3

x³+cx=d (1)

x³+d=cx (2)

x³=cx+d (3)

(35)

Forme générale d’une équation de degré 3

En fait, ceci peut paraître étrange. De la même façon que, pour nous, une équation générale du second degré s’écrit :

ax²+bx+c= 0 oùa,b etcsont des réels quelconques,anon nul,

une équation générale du troisième degré s’écrit :

ax³+bx²+cx+d= 0 oùa,b,cetdsont des réels quelconques,aétant non nul.

Rappelons que non seulement l’écriture algébrique d’une équation n’était pas connue, mais aussi que les nombres négatifs n’étaient pas de « vrais nombres » ; par ailleurs «= 0» n’avait pas de sens.

(36)

Forme générale d’une équation de degré 3

ax²+bx+c= 0

oùa,b etcsont des réels quelconques,anon nul,une équation générale du troisième degré s’écrit :

Rappelons que non seulement l’écriture algébrique d’une équation n’était pas connue, mais aussi que les nombres négatifs n’étaient pas de « vrais nombres » ; par ailleurs «= 0» n’avait pas de sens.

(37)

Forme générale d’une équation de degré 3

ax²+bx+c= 0

oùa,b etcsont des réels quelconques,anon nul,une équation générale du troisième degré s’écrit :

Rappelons que non seulement l’écriture algébrique d’une équation n’était pas connue, mais aussi que les nombres négatifs n’étaient pas de « vrais nombres » ;

(38)

Forme générale d’une équation de degré 3

De plus, dans les équations de Cardan il n’apparaît pas de terme enx². Il serait un peu long de démontrer pourquoi effectivement tout polynôme du troisième degré peut se ramener, par un changement de variable à un polynôme sans terme de degré 2. Ceux et celles qui le souhaitent pourront essayer de s’atteler à cette démonstration. Cardan l’a démontré.

Tout ceci considéré, on obtient bien les 3 cas proposés :

− rq²

4 + p³ 27−q

2 Si, bien sûr, le nombre q²

4 + p³ 27 >0

Cette formule est appelée formule deTartaglia-Cardan. En effet ce sont leurs efforts conjoints qui, finalement, ont permis de l’établir. ci-dessus.

(44)

Résolution d’équation et formules de Tartaglia-Cardan :

X = ³ sr

q² 4 +p³

27−q 2+ ³

s

− rq²

4 + p³ 27−q

2

Si, bien sûr, le nombre q² 4 + p³

27 >0

(45)

Résolution d’équation et formules de Tartaglia-Cardan :

X = ³ sr

q² 4 +p³

27−q 2+ ³

s

− rq²

4 + p³ 27−q

4 +p³ 27 >0

(46)

Résolution d’équation et formules de Tartaglia-Cardan :

X = ³ sr

q² 4 +p³

27−q 2+ ³

s

− rq²

4 + p³ 27−q

4 +p³ 27 >0

(47)

Résolution d’équation et formules de Tartaglia-Cardan :

x³+cx=d (1)

x³+d=cx (2)

x³=cx+d (3)

Cardan a remarqué que pour ses cas (1) et (2), il peut y avoir0 ou1solution, et sa « formule » permet alors de la trouver.

Dans le cas (3), il peut y avoir 3 solutions, or, juste dans ce cas, sa formule ne peut s’appliquer, car q²

4 +p³ 27 <0

(48)

Résolution d’équation et formules de Tartaglia-Cardan :

x³+cx=d (1)

x³+d=cx (2)

x³=cx+d (3)

4 +p³ 27 <0

(49)

Résolution d’équation et formules de Tartaglia-Cardan :

x³+cx=d (1)

x³+d=cx (2)

x³=cx+d (3)

4 +p³ 27 <0

(50)

Résolution d’équation et formules de Tartaglia-Cardan :

x³+cx=d (1)

x³+d=cx (2)

x³=cx+d (3)

4 +p³ 27 <0

(51)

Résolution d’équation et formules de Tartaglia-Cardan :

x³+cx=d (1)

x³+d=cx (2)

x³=cx+d (3)

Dans le cas (3), il peut y avoir 3 solutions, or, juste dans ce cas, sa formule ne

(52)

1

^er

exemple :

Soit l’équation : (E4)x³+ 6x= 20

(E4)⇔x³+ 6x−20 = 0 [p= 6 ; q=−20]

X = ³ s

rq² 4 +p³

27−q 2+ ³

s

− rq²

4 + p³ 27−q

2

À l’aide de la formule de Cardan déterminer une solution. Cette solution vous semblera très compliquée. Vous pourrez l’écrire plus simplement en vous aidant du développement de 1 +√

3³

et 1−√ 3³

.

Nous avons ainsi une solution, qui est d’ailleurs la seule.

(53)

1

^er

exemple :

(E4)⇔x³+ 6x−20 = 0 [p= 6 ; q=−20]

X = ³ s

rq² 4 +p³

27−q 2+ ³

s

− rq²

4 + p³ 27−q

2

3³

et 1−√ 3³

.

(54)

1

^er

exemple :

(E4)⇔x³+ 6x−20 = 0 [p= 6 ; q=−20]

X = ³ s

rq² 4 +p³

27−q 2+ ³

s

− rq²

4 + p³ 27−q

2

3³

et 1−√ 3³

.

(55)

1

^er

exemple :

(E4)⇔x³+ 6x−20 = 0 [p= 6 ; q=−20]

X = ³ s

rq² 4 +p³

27−q 2+ ³

s

− rq²

4 + p³ 27−q

2

À l’aide de la formule de Cardan déterminer une solution. Cette solution vous semblera très compliquée. Vous pourrez l’écrire plus simplement en vous aidant du

√ ₃ √ ₃

(56)

2

^e

exemple :

Soit l’équation :

(E5)x³= 32x+ 24

(E5)⇔x³−32x−24 = 0 [p=−32 ; q=−24]

Vérifiez que q² 4 +p³

Cependant Cardan, puis surtout Bombelli vont essayer de forcer le destin. Et si l’on décidait d’écrire qu’un nombre négatif, dans certaines circonstances particulières, pouvait être considéré comme le carré de quelque chose ? Après beaucoup de tâtonnements, considérés par Cardan comme des "tortures mentales", Bombelli va décider d’appliquer les formules à la résolution de l’équation :x³= 15x+ 4. On pourra vérifier que la solution donnée par les formules de Tartaglia Cardan devrait s’écrire :

x= ³ q

2 +√

−121 + ³ q

2−√

−121 ou encore

x= ³ q

2 + 11√

−1 + ³ q

2−11√

−1

(62)

Cependant Cardan, puis surtout Bombelli vont essayer de forcer le destin. Et si l’on décidait d’écrire qu’un nombre négatif, dans certaines circonstances particulières, pouvait être considéré comme le carré de quelque chose ?

Après beaucoup de tâtonnements, considérés par Cardan comme des "tortures mentales", Bombelli va décider d’appliquer les formules à la résolution de l’équation :x³= 15x+ 4. On pourra vérifier que la solution donnée par les formules de Tartaglia Cardan devrait s’écrire :

x= ³ q

2 +√

−121 + ³ q

2−√

−121 ou encore

x= ³ q

2 + 11√

−1 + ³ q

2−11√

−1

(63)

x= ³ q

2 +√

−121 + ³ q

2−√

−121 ou encore

x= ³ q

2 + 11√

−1 + ³ q

2−11√

−1

(64)

x= ³ q

2 +√

−121 + ³ q

2−√

−121

ou encore

x= ³ q

2 + 11√

−1 + ³ q

2−11√

−1

(65)

x= ³ q

2 +√

−121 + ³ q

2−√

−121 ou encore

x= ³ q

2 + 11√

−1 + ³ q

2−11√

−1

(66)

x= ³ q

2 +√

−121 + ³ q

2−√

−121 ou encore

x= ³ q

2 + 11√

−1 + ³ q

2−11√

−1

(67)

Bombelli calcule alors(a+b)³ et(a−b)³ en remplaçantapar 2 etb par√

−1 , où√

−1 désigne quelque chose dont le carré est−1.

(71)

Peu à peu, ces nouvelles choses vont être utilisées dans les calculs algébriques, et pas seulement pour résoudre les équations de degré 3. On leur trouve une foule d’utilité.

Descartes les nommera, dans sa Géométrie, en 1637, "quantités imaginaires". D’autres continueront longtemps de les nommer "quantités impossibles". (Les nombres négatifs étaient aussi des quantités impossibles).

(72)

Peu à peu, ces nouvelles choses vont être utilisées dans les calculs algébriques, et pas seulement pour résoudre les équations de degré 3. On leur trouve une foule d’utilité.

Descartes les nommera, dans sa Géométrie, en 1637, "quantités imaginaires".

D’autres continueront longtemps de les nommer "quantités impossibles". (Les nombres négatifs étaient aussi des quantités impossibles).

(73)

Une nouvelle notation

Dans un texte de 1774Eulerécrit :

« Maintenant comme−asignifie autant+amultiplié par−1, et que la racine quarrée d’un produit se trouve en multipliant ensemble les racines des facteurs, il s’ensuit que la racine deamultiplié par −1, ou√

−aest autant que√

amultiplié par√

−1. Or√

aest un nombre possible ou réel, par conséquent ce qu’il y a

De plus comme√

amultiplié par√ bfait√

ab, l’on aura √

6 pour la valeur de

√−2 multiplié par√

−3. »

(74)

Une nouvelle notation

Dans un texte de 1774Eulerécrit :

« Maintenant comme−asignifie autant+amultiplié par−1, et que la racine quarrée d’un produit se trouve en multipliant ensemble les racines des facteurs, il s’ensuit que la racine deamultiplié par −1, ou√

−aest autant que√

amultiplié par√

−1. Or√

aest un nombre possible ou réel, par conséquent ce qu’il y a d’impossible dans une quantité imaginaire peut toujours se réduire à√

−1. (. . . ) De plus comme√

amultiplié par√ bfait√

ab, l’on aura √

6 pour la valeur de

√−2multiplié par √

−3. »

(75)

Appliquons les règles énoncées par Euler :

√−1×√

−1 =√

−1× −1 = 1 et√

−1²

= −1 Est-ce compatible ?

Euler prendra conscience de cette difficulté. Aussi décidera-t-il de représenter la quantité√

−1 dont le carré vaut−1 par le symbolei(début de imaginaire ou d’impossible). Donc :

(i)

²

= −1

Cette notation sera reprise par Gauss en 1831 mais aura du mal à s’imposer. Cependant à partir de Gauss, et pour vous en particulier, le symbole√ devra être réservé aux nombres réels positifs et aura comme seule définition :

siaest un réel positif, on note√

ale réel positif qui, élevé au carré, donnea. Application : en utilisant le symbolei, écrire les nombres dont le carré est−25; puis dont le carré est−2; puis dont le carré est−√

3.

(76)

√−1×√

−1 =√

−1× −1 =

1 et√

−1²

(i)

²

Cette notation sera reprise par Gauss en 1831 mais aura du mal à s’imposer.

Cependant à partir de Gauss, et pour vous en particulier, le symbole√ devra être

Application : en utilisant le symbolei, écrire les nombres dont le carré est−25; puis dont le carré est−2; puis dont le carré est−√

3.

(84)

√−1×√

−1 =√

−1× −1 = 1 et√

−1²

(i)

²

= −1

Cette notation sera reprise par Gauss en 1831 mais aura du mal à s’imposer.

Cependant à partir de Gauss, et pour vous en particulier, le symbole√ devra être réservé aux nombres réels positifs et aura comme seule définition :

ale réel positif qui, élevé au carré, donnea.

Application : en utilisant le symbolei, écrire les nombres dont le carré est√ −25;

(85)

Les nombres complexes

En 1831,Gaussdonnera le nom de « nombres complexes » à ces quantités considérées jusqu’ici comme imaginaires.

Dans l’ensemble des nombres complexes, l’addition et la multiplication doivent prolonger les opérations deRet avoir les mêmes propriétés : commutativité, associativité, distributivité. Il y a seulement la propriété supplémentaire de l’existence deidont le carré vaut−1.

(86)

Les nombres complexes

En 1831,Gaussdonnera le nom de « nombres complexes » à ces quantités considérées jusqu’ici comme imaginaires.

Dans l’ensemble des nombres complexes, l’addition et la multiplication doivent prolonger les opérations deRet avoir les mêmes propriétés : commutativité, associativité, distributivité. Il y a seulement la propriété supplémentaire de l’existence deidont le carré vaut−1.

(87)

Sommaire

(88)

Sommaire

(89)

Définition 1

Les nombres s’écrivant sous la formea+ib, oùaetbsont deux nombres réels, et oùiest unnombre imaginairetel quei²=−1 sont appelésnombres complexes.

Notation

Un nombre complexe est souvent notéz. L’ensemble des nombres complexes est notéC.

Remarques

Tout nombre réel est un nombre complexe¹, autrement dit :R⊂C. L’écriture sous la formea+ibest unique, c’est-à-dire que :

Sia+ib=a⁰+ib⁰, alorsa=a⁰ etb=b⁰.

(90)

Définition 1

Notation

Un nombre complexe est souvent notéz.

L’ensemble des nombres complexes est notéC.

Remarques

Sia+ib=a⁰+ib⁰, alorsa=a⁰ etb=b⁰.

(91)

Définition 1

Notation

Un nombre complexe est souvent notéz.

L’ensemble des nombres complexes est notéC.

Remarques

(92)

Vocabulaire

L’écriture dez sous la formea+ibest appeléeforme algébrique dez.

aest lapartie réelle de z, notéeRe(z). best la partie imaginaire de z, notéeIm(z).

Un nombre complexez dont la partie imaginaire est nulle est unréel. Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle est appeléimaginaire pur.

Exemple

z1= 4−3i, z2=−5etz3= 2i√

3sont des nombres complexes. Re(z1) = 4etIm(z1) =−3;

z2 est réel (sa partie imaginaire est nulle) ; z3 est un imaginaire pur (puisqueRe(z3) = 0).

(93)

Vocabulaire

L’écriture dez sous la formea+ibest appelée forme algébrique dez.

aest lapartie réelle de z, notéeRe(z). best la partie imaginaire de z, notéeIm(z).

Exemple

z1= 4−3i, z2=−5etz3= 2i√

(94)

Vocabulaire

aest lapartie réelle de z, notéeRe(z).

best la partie imaginaire de z, notéeIm(z).

Exemple

z1= 4−3i, z2=−5etz3= 2i√

(95)

Vocabulaire

aest la partie réelle de z, notéeRe(z).

Exemple

z1= 4−3i, z2=−5etz3= 2i√

(96)

Vocabulaire

Exemple

z1= 4−3i, z2=−5etz3= 2i√

(97)

Vocabulaire

best la partie imaginaire de z, notée Im(z).

Exemple

z1= 4−3i, z2=−5etz3= 2i√