F134. Nombres croisés - Grille n°34
Il existe 19 cas de nombres de Fibonacci dont une puissance est un nombre de 9 chiffres
݊ ℱ
ℱ
1
40 102 334 155 1 102 334 155
2
21 10 946 2 119 814 916
3
4 3 17 129 140 163
4
3 2 27 134 217 728
5
41 165 580 141 1 165 580 141
6
15 610 3 226 981 000
7
5 5 12 244 140 625
8
42 267 914 296 1 267 914 296
9
3 2 28 268 435 456
10
22 17 711 2 313 679 521
11
4 3 18 387 420 489
12
12 144 4 429 981 696
13
43 433 494 437 1 433 494 437
14
10 55 5 503 284 375
15
3 2 29 536 870 912
16
44 701 408 733 1 701 408 733
17
7 13 8 815 730 721
18
23 28 657 2 821 223 649
19
16 987 3 961 504 803
La seule façon d’agencer 6 de ces nombres, comme précisé dans les définitions, est :
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)
(A) 3 1 3 6 7 9 5 2 1
(B) 1 6 0 4
(C) 9 1 3 4
(D) 8 5 2 1
(E) 1 0 8 4
(F) 4 4 4 0
(G) 9 8 3 6
(H) 8 1 5 7 3 0 7 2 1
(I) 6 3 5 5
Les seuls nombres en séquence ayant une puissance de 9 chiffres sont :
Tab 1 : puissances de séquences 1 147 008 443 43 ^ 5 2 148 035 889 23 ^ 6 3 152 399 025 12345 ^ 2 4 160 103 007 543 ^ 3 5 182 284 263 567 ^ 3 6 184 528 125 45 ^ 5 7 228 886 641 123 ^ 4 8 279 726 264 654 ^ 3 9 311 665 752 678 ^ 3 10 429 981 696 12 ^ 8 11 447 697 125 765 ^ 3 12 459 165 024 54 ^ 5 13 491 169 069 789 ^ 3 14 550 183 936 23456 ^ 2 15 550 731 776 56 ^ 5 16 672 221 376 876 ^ 3 17 961 504 803 987 ^ 3
Ce qui permet de trouver de suite (c) et (d), comme étant les seules puissances commençant par 3 et 6.
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)
(A) 3 1 3 6 7 9 5 2 1
(B) 1 1 7 6 0 4
(C) 9 1 2 1 3 4
(D) 8 6 2 5 2 1
(E) 1 6 2 0 8 4
(F) 4 5 1 4 4 0
(G) 9 7 3 8 3 6
(H) 8 1 5 7 3 0 7 2 1
(I) 6 2 6 3 5 5
On s’occupe de (i), qui contient déjà deux chiffres 1, et dont le pdc est une puissance 13ème Les puissances 13ème obtenues avec les 7 chiffres restant sont :
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 8 8 8 8 1 1 4 4 8 8 8 1 2 2 4 8 8 8 1 2 4 4 4 8 8 1 4 4 4 4 4 8 2 2 2 2 8 8 8 2 2 2 4 4 8 8 2 2 4 4 4 4 8 2 4 4 4 4 4 4 3 9 9 9 9 9 9
(E) étant l’anagramme d’une séquence, et contenant déjà les chiffres 1,2,4 et 8, la seule possibilité est :
3 9 9 9 9 9 9
(E) étant l’anagramme d’une séquence contenant 0, seul le chiffre 3 peut convenir en (E9), d’où :
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)
(A) 3 1 3 6 7 9 5 2 1
(B) 1 1 7 6 0 4 9
(C) 9 1 2 1 3 4 9
(D) 8 6 2 5 2 1 9
(E) 1 6 2 0 8 4 3
(F) 4 5 1 4 4 0 9
(G) 9 7 3 8 3 6 9
(H) 8 1 5 7 3 0 7 2 1
(I) 6 2 6 3 5 5 9
La sdc de (G), égale à nombre de Fibonacci, ne peut être que 55.
Avec 6 chiffres on a déjà 45 (9+7+3+8+3+6+9), donc, pour les 2 chiffres restants, il reste 10 pour 55, ou 43 pour 89 (impossible).
Les chiffres inconnus de (G) sont donc (dans le désordre):
1 9 2 8 3 7 4 5 5 5
(a) et (e) étant des séquences, on élimine la ligne contenant le chiffre 3. Il reste (dans le désordre):
1 9 2 8 4 5 5 5
La sdc de (I) est un multiple de 7
Avec 6 chiffres on a déjà 36 (6+2+6+3+5+5+9), donc, pour les 2 chiffres restants, il reste 6 pour 42, et 13 pour 49.
Les chiffres inconnus de (I) sont donc (dans le désordre):
1 5 2 4 3 3 4 9 5 8 6 7
(a) et (e) étant des séquences, on élimine la ligne contenant le chiffre 3. Il reste (dans le désordre):
1 5 2 4 4 9 5 8 6 7
D’autre part, pour répondre aux définitions et aux chiffres déjà placés dans la grille, on a :
(B) 8 diviseurs (D) 16 diviseurs (C) Nombre premier (F) Nombre premier (G) sdc = Fibonacci (I) sdc = 7k 111 706 049 486 225 219 491 211 349 245 194 409 197 398 369 162 653 559 111 786 049 486 255 219 491 241 349 445 104 409 997 318 369 562 613 559 211 706 049 586 245 219 591 201 349 445 164 409 297 388 369 262 643 559 211 796 049 686 295 219 591 241 349 645 184 409 897 328 369 462 623 559 411 706 049 786 225 219 691 261 349 745 194 409 497 358 369 462 693 559 411 726 049 786 245 219 791 211 349 945 124 409 597 348 369 962 643 559
411 756 049 791 281 349 597 358 369 562 683 559
511 716 049 991 201 349 862 653 559
711 746 049 991 221 349 662 673 559
911 746 049 762 663 559
Il suffit de coupler tout cela avec les définitions de (E), (a) et (e) –anagramme d’une séquence-, et de le présenter gentiment à la calculatrice, qui avec sa courtoisie habituelle, nous donne l’unique solution :
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)
(A) 3 1 3 6 7 9 5 2 1
(B) 1 1 1 7 8 6 0 4 9
(C) 6 9 1 2 6 1 3 4 9
(D) 5 8 6 2 4 5 2 1 9
(E) 7 1 6 2 5 0 8 4 3
(F) 2 4 5 1 9 4 4 0 9
(G) 9 9 7 3 1 8 3 6 9
(H) 8 1 5 7 3 0 7 2 1
(I) 4 6 2 6 2 3 5 5 9
Contrôles
(A) puissance d'un Fibonacci 313 679 521 ℱଶଶଶ= ሺ17 711ሻଶ
(B) admet 8 diviseurs 111 786 049 = 23.41.118 543 nb div = 2.2.2 = 8 (C) nombre premier 691 261 349 is a prime number (Wolfram)
(D) admet 16 diviseurs 586 245 219 = 3.7.7373.74 843 nb div = 2.2.2.2 = 16 (E) anagramme d'une séquence 716 250 843 Tous les chiffres de 0 à 8
(F) nombre premier 245 194 409 is a prime number (Wolfram) (G) sdc = Fibonacci 997 318 369 Sdc = 55 = ℱଵ
(H) puissance d'un Fibonacci 815 730 721 ℱ଼= 13଼ (I) sdc est divisible par 7 462 623 559 Sdc = 42 = 6.7
(a) anagramme d'une séquence 316 572 984 Tous les chiffres de 1 à 9 (b) puissance d'un Fibonacci 119 814 916 ℱଶଵଶ= ሺ10 946ሻଶ (c) puissance d'une séquence 311 665 752 = 6783
(d) puissance d'une séquence 672 221 376 = 8763
(e) anagramme d'une séquence 786 459 132 Tous les chiffres de 1 à 9 (f) puissance d'un Fibonacci 961 504 803 ℱଵଷ= 987ଷ
(g) puissance d'un Fibonacci 503 284 375 ℱଵହ= 55ହ (h) puissance d'un Fibonacci 244 140 625 ℱହଵଶ= 5ଵଶ
(i) pdc = puissance 13ème 199 939 919 Pdc = 1 594 323 = 313
