F143. Nombres croisés - Grille n°43
Cette grille conçue par Etienne Desclin est fondée sur les nombres de Catalan dont la définition est donnée sur le site de Wikipedia et dont la liste des premiers termes est accessible à l'adresse A000108 de l'encyclopédie en ligne des séquences d'entiers.
Rappelons que les nombres de cette grille sont tous différents et aucun d'entre eux ne commence par un zéro.
Les nombres de Catalan de neuf chiffres ou moins (à l'exception de 1) sont :
2 2
3 5
4 14
5 42
6 132
7 429
8 1 430
9 4 862
10 16 796 11 58 786 12 208 012 13 742 900 14 2 674 440 15 9 694 845 16 35 357 670 17 129 644 790 18 477 638 700
1. (A) Cube d'un P3C2
Il existe deux P3C2 dont le cube est un nombre de neuf chiffres :
C1 C2 C3 P3C2 cube du produit 2 2 132 528 147 197 952 5 14 14 980 941 192 000 On retient le premier qui s'écrit sans zéro.
2. (a) Carré d'un P3C3
On recherche les P3C3 dont le carré est un nombre de 9 chiffres qui commence par 1, et s'écrit sans zéro :
C1 C2 C3 P3C3 Carré P3C3 2 5 1 430 14 300 204 490 000 2 14 429 12 012 144 288 144 2 42 132 11 088 122 943 744 5 14 429 30 030 901 800 900 5 42 132 27 720 768 398 400 3. (B) Puissance Catalan
(B) est un carré, ou une puissance cinquième, ou 414 = 268 435 456
4. (b) Cube du carré d'un P2C2
(b) commence par le deuxième chiffre de (A), soit 4. Soit le P2C2 :
√400 000 000
≤ ≤ √499 999 999
28 ≤ ≤ 28 = 28 = 2.14 Donc (b) = 286 = 481 890 304.
Cas 1 Cas 2
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 4 7 1 9 7 9 5 2 (B) 4 8
(C) 4 1 (D) 2 8 (E) 8 9 (F) 8 0 (G) 1 3 (H) 4 0 (I) 4 4
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 4 7 1 9 7 9 5 2 (B) 2 8
(C) 2 1 (D) 9 8 (E) 4 9 (F) 3 0 (G) 7 3 (H) 4 0 (I) 4 4
5. (C) Carré d'un P5C3
On cherche les P5C3 dont le carré de 9 chiffres commence par 41 ou 21 :
C1 C2 C3 C4 C5 P5C3 carré 2 2 2 5 429 17 160 294 465 600 2 2 2 14 132 14 784 218 566 656 2 2 5 5 132 13 200 174 240 000 2 5 5 5 42 10 500 110 250 000 2 5 14 14 14 27 440 752 953 600 Seul 218 566 656 répond à la question, ce qui laisse :
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 4 7 1 9 7 9 5 2 (B) 2 8
(C) 2 1 8 5 6 6 6 5 6 (D) 9 8
(E) 4 9 (F) 3 0 (G) 7 3 (H) 4 0 (I) 4 4
6. (d) Carré d'un P9C2
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 P9C2 carré 2 2 2 2 2 2 2 2 42 10 752 115 605 504 2 2 2 2 2 2 2 14 14 25 088 629 407 744 2 2 2 2 2 5 5 5 5 20 000 400 000 000
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 4 7 1 9 7 9 5 2
(B) 2 8 1
(C) 2 1 8 5 6 6 6 5 6
(D) 9 8 6
(E) 4 9 0
(F) 3 0 5
(G) 7 3 5
(H) 4 0 0
(I) 4 4 4
7. (D) P4C2
C1 C2 C3 C4 P4C2
2 2 2 35 357 670 282 861 360 2 429 429 429 157 907 178 5 5 5 2 674 440 334 305 000 5 5 4 862 4 862 590 976 100 5 429 429 429 394 767 945 14 14 14 58 786 161 308 784 14 14 14 208 012 570 784 928 14 14 1 430 1 430 400 800 400 42 42 42 1 430 105 945 840 42 42 42 4 862 360 215 856 42 42 429 429 324 648 324 132 132 132 429 986 686 272
Le seul P4C2 qui commence par 98 est : 986 686 272
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 4 7 1 9 7 9 5 2
(B) 2 8 1
(C) 2 1 8 5 6 6 6 5 6 (D) 9 8 6 6 8 6 2 7 2
(E) 4 9 0
(F) 3 0 5
(G) 7 3 5
(H) 4 0 0
(I) 4 4 4
8. (E) P2C2
C1 C2 P2C2
2 129 644 790 259 289 580 2 477 638 700 955 277 400 5 35 357 670 176 788 350 5 129 644 790 648 223 950 14 9 694 845 135 727 830 14 35 357 670 495 007 380 42 2 674 440 112 326 480 42 9 694 845 407 183 490 132 2 674 440 353 026 080 429 742 900 318 704 100 1 430 208 012 297 457 160 4 862 58 786 285 817 532 16 796 58 786 987 369 656
Le seul P2C2 qui commence par 49 est : 495 007 380
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 4 7 1 9 7 9 5 2
(B) 2 8 1
(C) 2 1 8 5 6 6 6 5 6 (D) 9 8 6 6 8 6 2 7 2 (E) 4 9 5 0 0 7 3 8 0
(F) 3 0 5
(G) 7 3 5
(H) 4 0 0
(I) 4 4 4
ok
9. On complète la grille
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)
(A) 1 4 7 1 9 7 9 5 2
(B) 2 8 0/1/2/3/4/9 1 ≠0 ≠0 ≠0
(C) 2 1 8 5 6 6 6 5 6
(D) 9 8 6 6 8 6 2 7 2
(E) 4 9 5 0 0 7 3 8 0
(F) 3 0 0/1/2/3/4/9 5 ≠0 ≠0 ≠0
(G) 7 3 0/1/2/3/4/9 5 ≠0 ≠0 ≠0
(H) 4 0 0/1/2/3/4/9 0 ≠0 ≠0 ≠0
(I) 4 4 1/2/3/9 4 1/2/3/7/9 1/2/3/7/9 1/2/3/7/9 1/2/3/7/9 1/2/3/7/9
(c) est l'anagramme de 012345678 ou de 123456789, donc (B3) = 0, 1, 2, 3, 4 ou 9.
Idem pour (F3), (G3) , (H3) et (I3).
(I ) est l'anagramme de (a), donc (I3) ne peut être égal à 0 (absent de (a)) ou 4 (les 3 chiffres 4 de (a) sont déjà placés dans (I) : il reste 1, 2, 3 ou 9.
Et pour (I4) à (I9), on a 1, 2, 3, 7 ou 9.
(f), (g) et (h) ne contiennent pas de 0, puisque leur pdc est non nul.
10.(B) Puissance Catalan
On ignore 414 = 268 435 456 qui ne convient pas, et on cherche les carrés et les puissances cinquièmes de la forme 28*1*****, dont le 3ème chiffre est 0,1, 2, 3, 4 ou 9, et dont les 6ème, 7ème et 8ème chiffres sont différents de 0. On trouve 12 possibilités, qui sont toutes des carrés :
(B) 280 127 169 280 194 121 281 132 289 281 165 824 281 199 361 282 105 616 283 114 276 283 147 929 283 181 584 284 124 736 284 158 449 284 192 164
11.(F) Puissance Catalan
On ignore 414 = 268 435 456 qui ne convient pas, et on cherche les carrés et les puissances cinquièmes de la forme 30*5*****, dont le 3ème chiffre est 0,1, 2, 3, 4 ou 9, dont les 6ème, 7ème et 8ème chiffres sont différents de 0, et qui contiennent un 7 (puisque (G) est l'anagramme de (F) et que (G) contient un 7). On trouve 3 possibilités, qui sont toutes des carrés :
(F) 300 571 569 301 577 956 303 595 776
12. (G), (I), (c)
En prenant en compte les définitions de (G) : anagramme de (F), (I) : anagramme de (a) et (c) : anagramme d'une séquence, on soumet à la calculatrice, qui permet d'affiner la grille précédente :
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)
(A) 1 4 7 1 9 7 9 5 2
(B) 2 8 0/1/2/3/4 1 ≠7 ≠0 ≠0 ≠0
(C) 2 1 8 5 6 6 6 5 6
(D) 9 8 6 6 8 6 2 7 2
(E) 4 9 5 0 0 7 3 8 0
(F) 3 0 0/1/3 5 7/9 ≠0 ≠0 ≠0
(G) 7 3 0/1/2/3/4/9 5 ≠0 ≠0 ≠0
(H) 4 0 0/1/2/3/4/9 0 ≠0 ≠0 ≠0
(I) 4 4 1/2/3/9 4 1/2/3/7/9 1/2/3/7/9 1/2/3/7/9 1/2/3/7/9 1/2/3/7/9
13. (e) Produit du carré d'un Catalan par un premier
On cherche un tel produit correspondant aux chiffres trouvés de (e), dont le dernier chiffre est 1, 2, 3, 7 ou 9 . On trouve 58 possibilités, qui, toutes, se terminent par 2 :
(e)
C C2 Nb premier produit C C2 Nb premier produit C C2 Nb premier produit 2 4 226 701 763 906 807 052 2 4 236 701 793 946 807 172 2 4 241 702 493 966 809 972 2 4 226 701 773 906 807 092 2 4 236 701 813 946 807 252 2 4 246 701 843 986 807 372 2 4 226 701 883 906 807 532 2 4 236 701 853 946 807 412 2 4 246 701 863 986 807 452 2 4 226 701 973 906 807 892 2 4 236 701 873 946 807 492 2 4 246 701 953 986 807 812 2 4 226 702 363 906 809 452 2 4 236 702 273 946 809 092 2 4 246 701 963 986 807 852 2 4 226 702 423 906 809 692 2 4 236 702 303 946 809 212 2 4 246 701 993 986 807 972 2 4 229 201 813 916 807 252 2 4 236 702 363 946 809 452 2 4 246 702 373 986 809 492 2 4 229 201 913 916 807 652 2 4 236 702 383 946 809 532 2 4 246 702 383 986 809 532 2 4 229 201 933 916 807 732 2 4 236 702 393 946 809 572 2 4 246 702 413 986 809 652 2 4 229 202 353 916 809 412 2 4 236 702 423 946 809 692 2 4 249 201 863 996 807 452 2 4 231 701 773 926 807 092 2 4 236 702 483 946 809 932 2 4 249 201 923 996 807 692 2 4 231 701 893 926 807 572 2 4 239 201 803 956 807 212 2 4 249 201 983 996 807 932 2 4 231 701 923 926 807 692 2 4 239 201 873 956 807 492 2 4 249 202 313 996 809 252 2 4 231 702 293 926 809 172 2 4 239 202 253 956 809 012 2 4 249 202 433 996 809 732 2 4 231 702 413 926 809 652 2 4 239 202 413 956 809 652 2 4 249 202 463 996 809 852 2 4 234 201 853 936 807 412 2 4 239 202 443 956 809 772 14 196 4 626 577 906 809 092 2 4 234 201 943 936 807 772 2 4 241 701 833 966 807 332 14 196 4 677 587 916 807 052 2 4 234 202 313 936 809 252 2 4 241 701 883 966 807 532 42 1 764 519 733 916 809 012 2 4 234 202 403 936 809 612 2 4 241 702 283 966 809 132
2 4 236 701 783 946 807 132 2 4 241 702 303 966 809 212
14. (c) Anagramme d'une séquence
On détermine les valeurs possibles de (c), et on trouve 70 possibilités :
(c)
708 651 243 718 650 423 728 650 413 728 653 401 738 651 402 748 651 023 748 653 012 708 651 342 718 650 432 728 650 431 728 653 419 738 651 429 748 651 032 748 653 021 708 651 423 718 653 042 728 651 043 728 653 491 738 651 492 748 651 203 748 653 102 708 651 432 718 653 249 728 651 349 728 653 941 738 651 942 748 651 239 748 653 129 708 653 142 718 653 402 728 651 403 738 650 142 748 650 123 748 651 293 748 653 192 708 653 241 718 653 429 728 651 439 738 650 241 748 650 132 748 651 302 748 653 201 708 653 412 718 653 492 728 651 493 738 650 412 748 650 213 748 651 329 748 653 219 708 653 421 718 653 942 728 651 943 738 650 421 748 650 231 748 651 392 748 653 291 718 650 243 728 650 143 728 653 041 738 651 042 748 650 312 748 651 923 748 653 912 718 650 342 728 650 341 728 653 149 738 651 249 748 650 321 748 651 932 748 653 921
15. (e) et (c)
On soumet à la calculatrice qui renvoie 17 valeurs possibles pour (h) :
(h) 515 785 *** 515 787 *** 525 787 *** 535 786 *** 545 787 *** 565 786 *** 575 785 *** 585 785 *** 585 787 ***
515 786 *** 525 785 *** 535 785 *** 535 787 *** 565 785 *** 565 787 *** 575 786 *** 585 786 ***
16. (h) 72 diviseurs et pdc = carré d'un Catalan
En faisant varier de 1 à 9 les chiffres inconnus de (h), on cherche les nombres (h) qui ont 72 diviseurs et dont le pdc est un carré :
(h) pdc pdc
515 787 525 490 000 700 515 787 552 490 000 700 525 787 488 5 017 600 2 240 525 787 812 313 600 560 535 787 644 2 822 400 1 680 545 787 924 2 822 400 1 680 565 787 232 705 600 840 585 787 212 313 600 560
17.(h)
On soumet à la calculatrice qui pousse très fort le schmilblick et le fait avancer :
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)
(A) 1 4 7 1 9 7 9 5 2
(B) 2 8 2 1 0 5 6 1 6
(C) 2 1 8 5 6 6 6 5 6
(D) 9 8 6 6 8 6 2 7 2
(E) 4 9 5 0 0 7 3 8 0
(F) 3 0 3 5 9 5 7 7 6
(G) 7 3 0/9 5 0/6 3/6/7/9 3/6/7/9 5 3/6/7/9
(H) 4 0 4 0 9 ≠0 ≠0 5
(I) 4 4 1 4 2 3/7/9 3/7/9 2 3/7/9
On vérifie au passage que (h) = 515 787 552 donne un pdc = 490 000 = 7002, et que 700 = 2 x 5 x 5 x 14 est bien un P4C3.
18.(g) pdc = cube du triple d'un Catalan
9.6.6.2.3.7.3.1.3≤ pdcg ≤ 9.6.6.2.3.7.9.9.9 122 472 ≤ pdcg ≤ 9 920 232 D'autre part,
Catalan triple cube
2 6 216
5 15 3 375 14 42 74 088 42 126 2 000 376 132 396 62 099 136 Donc pdc(g) = 2 000 376
Le produit des 3 chiffres manquant est 2 000 376
9.6.6.2.3.7= 147 = 1.3.7.7 1 ne peut prendre place, donc les 3 chiffres manquant de (g) sont 3, 7, 7.
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)
(A) 1 4 7 1 9 7 9 5 2
(B) 2 8 2 1 0 5 6 1 6
(C) 2 1 8 5 6 6 6 5 6
(D) 9 8 6 6 8 6 2 7 2
(E) 4 9 5 0 0 7 3 8 0
(F) 3 0 3 5 9 5 7 7 6
(G) 7 3 0/9 5 0/6 3/6/7/9 3/7 5 3/6/7/9
(H) 4 0 4 0 9 ≠0 3/7 5
(I) 4 4 1 4 2 3/7/9 3/7 2 3/7/9
19.(H) sdc = Catalan
La sdc partielle des 6 chiffres connus de (H) vaut 4 + 0 + 4 + 0 + 9 + 5 = 22.
En y ajoutant 3 ou 7 (H7), on obtient une somme partielle de 25 ou 29.
Sdc(H) vaut donc 42 et la somme des 2 chiffres restant vaut 17 ou 13.
Ce qui donne les possibilités :
17 9 et 8 13
9 et 4 8 et 5 7 et 6
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)
(A) 1 4 7 1 9 7 9 5 2
(B) 2 8 2 1 0 5 6 1 6
(C) 2 1 8 5 6 6 6 5 6
(D) 9 8 6 6 8 6 2 7 2
(E) 4 9 5 0 0 7 3 8 0
(F) 3 0 3 5 9 5 7 7 6
(G) 7 3 0/9 5 0/6 3/6/7/9 3/7 5 3/6/7/9
(H) 4 0 4 0 9 9/8
9/4 ou 8/5 ou 7/6 3
7 5 9/8
9/4 ou 8/5 ou 7/6
(I) 4 4 1 4 2 3/7/9 3/7 2 3/7/9
20.(f) Cube d'un P2C2
7.5.6.6.7.5.3.4.3≤ pdcf ≤ 7.5.6.6.7.5.9.9.9 1 587 600 ≤ pdcf ≤ 32 148 900 D'autre part, les cubes des P2C2 correspondant à ces bornes sont :
C1 C2 P2C2 cube cube 7.5.6.6.7.5
2 132 264 18 399 744 417 3 139 5 42 210 9 261 000 210 5 6 7
Les 3 chiffres manquant de (f) sont 5, 6 et 7.
5 ne peut convenir qu'en (f8), ce qui implique (H7) = 7.
6 ne peut alors aller qu'en (f7), ce qui positionne 7 en (f9).
Le 7 étant placé dans (I), anagramme de (a), il vient (I7) = 3 et (I9) = 9
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)
(A) 1 4 7 1 9 7 9 5 2
(B) 2 8 2 1 0 5 6 1 6
(C) 2 1 8 5 6 6 6 5 6
(D) 9 8 6 6 8 6 2 7 2
(E) 4 9 5 0 0 7 3 8 0
(F) 3 0 3 5 9 5 7 7 6
(G) 7 3 0/9 5 0/6 6 3/7 5 3/6/7/9
(H) 4 0 4 0 9 5 7 5 9/8
9/4 ou 8/5 ou 7/6
(I) 4 4 1 4 2 7 3 2 9
21.(G) Anagramme de (F)
(G) est une anagramme de (F) qui ne possède qu'un seul 6. Le 6 étant placé dans (G), (G5) = 0.
Idem : (F) qui ne possède qu'un seul 0, permet de placer le 9 en (G3).
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)
(A) 1 4 7 1 9 7 9 5 2
(B) 2 8 2 1 0 5 6 1 6
(C) 2 1 8 5 6 6 6 5 6
(D) 9 8 6 6 8 6 2 7 2
(E) 4 9 5 0 0 7 3 8 0
(F) 3 0 3 5 9 5 7 7 6
(G) 7 3 9 5 0 6 3/7 5 3/7
(H) 4 0 4 0 9 5 7 5 9/8
9/4 ou 8/5 ou 7/6
(I) 4 4 1 4 2 7 3 2 9
22.(H) sdc = Catalan
La sdc partielle des 8 chiffres connus de (H) est 4 + 0 + 4 + 0 + 9 + 5 + 7 + 5 = 34 Donc le dernier vaut 42 -34 = 8
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 4 7 1 9 7 9 5 2 (B) 2 8 2 1 0 5 6 1 6 (C) 2 1 8 5 6 6 6 5 6 (D) 9 8 6 6 8 6 2 7 2 (E) 4 9 5 0 0 7 3 8 0 (F) 3 0 3 5 9 5 7 7 6 (G) 7 3 9 5 0 6 3/7 5 3/7
(H) 4 0 4 0 9 5 7 5 8
(I) 4 4 1 4 2 7 3 2 9
23.(i) sdc = Catalan
La sdc partielle des 8 chiffres connus de (i) est 2 + 6 + 6 + 2 + 0 + +6 + 8 + 9 = 39.
Donc (i7) = 42 -39 = 3 ce qui implique (G7) = 7.
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 4 7 1 9 7 9 5 2 (B) 2 8 2 1 0 5 6 1 6 (C) 2 1 8 5 6 6 6 5 6 (D) 9 8 6 6 8 6 2 7 2 (E) 4 9 5 0 0 7 3 8 0 (F) 3 0 3 5 9 5 7 7 6 (G) 7 3 9 5 0 6 7 5 3 (H) 4 0 4 0 9 5 7 5 8 (I) 4 4 1 4 2 7 3 2 9
Contrôles
(A) Cube d'un P3C2 147 197 952 5283 2 2 132
(B) Puissance de Catalan 282 105 616 16 7962
(C) Carré d'un P5C3 218 566 656 14 7852 2 2 2 14 132
(D) P4C2 986 686 272 132 132 132 429
(E) P2C2 495 007 380 14 35 357 670
(F) Puissance de Catalan 303 595 776 17 4242 (G) Anagramme de (F) 739 506 753
(H) Sdc = Catalan 404 095 758 Sdc = 42
(I) Anagramme de (a) 441 427 329 (a) Carré d'un P3C3 122 943 744
(b) Cube du carré d'un P2C2 481 890 304 286 2 14
(c) Anagramme de séquence 728 653 941
(d) Carré d'un P9C2 115 605 504 10 7522 2 2 2 2 2 2 2 2 42
(e) Produit du carré d'un
Catalan par un premier 906 809 092 142.4 626 577
(f) Pdc = cube d'un P2C2 756 675 657 Pdc = (5.6.7)3 5 42
(g) Pdc = cube du triple d'un
Catalan 966 237 773 Pdc = 2 000 376 = (3.42)3
(h) A 72 diviseurs
et pdc = carré d'un P4C3 515 787 552
= 25.32.7.255 -> nd = 6.3.2.2 = 72
Pdc = 490 000 = 7002
2 5 5 14
(i) Sdc = Catalan 266 206 389 Sdc = 42
