F139. Nombres croisés - Grille n°39

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F139. Nombres croisés - Grille n°39

(2)

1. Recherche des CMC

On cherche les CMC de 9 chiffres, et on trouve les 95 suivants :

√ 0 ^palindrome √ 0 ^palindrome

10 001 100 020 001 100 020 001 10 001 palindrome 12 202 148 888 804 408 888 841 20 221 10 002 100 040 004 400 040 001 20 001 13 001 169 026 001 100 620 961 10 031

10 003 100 060 009 900 060 001 30 001 13 011 169 286 121 121 682 961 11 031 sans 0 10 011 100 220 121 121 022 001 11 001 20 001 400 040 001 100 040 004 10 002

10 012 100 240 144 441 042 001 21 001 20 002 400 080 004 400 080 004 20 002 palindrome 10 013 100 260 169 961 062 001 31 001 20 011 400 440 121 121 044 004 11 002

10 021 100 420 441 144 024 001 12 001 20 012 400 480 144 441 084 004 21 002 10 022 100 440 484 484 044 001 22 001 20 021 400 840 441 144 048 004 12 002 10 031 100 620 961 169 026 001 13 001 20 022 400 880 484 484 088 004 22 002 10 101 102 030 201 102 030 201 10 101 palindrome 20 101 404 050 201 102 050 404 10 102

10 102 102 050 404 404 050 201 20 101 20 102 404 090 404 404 090 404 20 102 palindrome 10 103 102 070 609 906 070 201 30 101 20 111 404 452 321 123 254 404 11 102

10 111 102 232 321 123 232 201 11 101 20 112 404 492 544 445 294 404 21 102 10 112 102 252 544 445 252 201 21 101 20 121 404 854 641 146 458 404 12 102 10 113 102 272 769 967 272 201 31 101 20 122 404 894 884 488 498 404 22 102 10 121 102 434 641 146 434 201 12 101 20 201 408 080 401 104 080 804 10 202 10 122 102 454 884 488 454 201 22 101 20 211 408 484 521 125 484 804 11 202 10 201 104 060 401 104 060 401 10 201 palindrome 20 221 408 888 841 148 888 804 12 202 10 202 104 080 804 408 080 401 20 201 20 508 420 578 064 460 875 024 21 468 10 211 104 264 521 125 462 401 11 201 21 001 441 042 001 100 240 144 10 012 10 212 104 284 944 449 482 401 21 201 21 002 441 084 004 400 480 144 20 012

10 221 104 468 841 148 864 401 12 201 21 011 441 462 121 121 264 144 11 012 sans 0 11 001 121 022 001 100 220 121 10 011 21 021 441 882 441 144 288 144 12 012 sans 0 11 002 121 044 004 400 440 121 20 011 21 101 445 252 201 102 252 544 10 112

11 003 121 066 009 900 660 121 30 011 21 102 445 294 404 404 492 544 20 112

11 011 121 242 121 121 242 121 11 011 sans 0 palindrome 21 111 445 674 321 123 476 544 11 112 sans 0 11 012 121 264 144 441 462 121 21 011 sans 0 21 201 449 482 401 104 284 944 10 212

11 013 121 286 169 961 682 121 31 011 sans 0 21 468 460 875 024 420 578 064 20 508 11 021 121 462 441 144 264 121 12 011 sans 0 22 001 484 044 001 100 440 484 10 022 11 022 121 484 484 484 484 121 22 011 sans 0 22 002 484 088 004 400 880 484 20 022

11 031 121 682 961 169 286 121 13 011 sans 0 22 011 484 484 121 121 484 484 11 022 sans 0 11 101 123 232 201 102 232 321 10 111 22 101 488 454 201 102 454 884 10 122

11 102 123 254 404 404 452 321 20 111 22 102 488 498 404 404 894 884 20 122

11 103 123 276 609 906 672 321 30 111 22 111 488 896 321 123 698 884 11 122 sans 0

11 111 123 454 321 123 454 321 11 111 sans 0 palindrome 22 865 522 808 225 522 808 225 22 865 palindrome 11 112 123 476 544 445 674 321 21 111 sans 0 24 846 617 323 716 617 323 716 24 846 sans 0 palindrome 11 113 123 498 769 967 894 321 31 111 sans 0 30 001 900 060 001 100 060 009 10 003

11 121 123 676 641 146 676 321 12 111 sans 0 30 011 900 660 121 121 066 009 11 003 11 122 123 698 884 488 896 321 22 111 sans 0 30 101 906 070 201 102 070 609 10 103 11 201 125 462 401 104 264 521 10 211 30 111 906 672 321 123 276 609 11 103

11 202 125 484 804 408 484 521 20 211 30 693 942 060 249 942 060 249 30 693 palindrome 11 211 125 686 521 125 686 521 11 211 sans 0 palindrome 31 001 961 062 001 100 260 169 10 013

12 001 144 024 001 100 420 441 10 021 31 011 961 682 121 121 286 169 11 013 sans 0 12 002 144 048 004 400 840 441 20 021 31 101 967 272 201 102 272 769 10 113

12 011 144 264 121 121 462 441 11 021 sans 0 31 111 967 894 321 123 498 769 11 113 sans 0 12 012 144 288 144 441 882 441 21 021 sans 0

12 101 146 434 201 102 434 641 10 121 12 102 146 458 404 404 854 641 20 121

12 111 146 676 321 123 676 641 11 121 sans 0 12 201 148 864 401 104 468 841 10 221

(3)

On cherches les doubles des CMC de 9 chiffres (d), et les moitiés des CMC palindromes de 9 chiffres (F), doubles et moitiés devant avoir 9 chiffres.

Doubles :

200 040 002 204 100 808 208 569 888 243 365 922 250 969 608 297 777 608 808 180 808 882 168 008 968 968 242 200 080 008 204 141 218 208 937 682 246 464 402 251 373 042 338 052 002 808 904 642 882 924 242 976 908 402 200 120 018 204 464 642 242 044 002 246 508 808 288 048 002 338 572 242 808 985 088 883 764 882 976 996 808 200 440 242 204 505 088 242 088 008 246 553 218 288 096 008 800 080 002 809 709 282 890 504 402 977 792 642 200 480 288 204 545 538 242 132 018 246 908 642 288 528 242 800 160 008 809 789 768 890 588 808

200 520 338 204 869 282 242 484 242 246 953 088 288 576 288 800 880 242 816 160 802 891 348 642 200 840 882 204 909 768 242 528 288 246 997 538 292 868 402 800 960 288 816 969 042 898 964 802 200 880 968 208 120 802 242 572 338 247 353 282 292 916 808 801 680 882 817 777 682 921 750 048 201 241 922 208 161 608 242 924 882 247 397 768 293 352 642 801 760 968 841 156 128 968 088 002 204 060 402 208 529 042 242 968 968 250 924 802 297 728 802 808 100 402 882 084 002 968 176 008

Moitiés de CMC palindromes :

(F) 200 040 002 202 045 202 308 661 858 On remarque que :

• Les CMC, palindromes ou non, commencent par 1, 4, 5, 6 ou 9

• Les doubles commencent par 2, 3, 8 ou 9

• Le deuxième chiffre d’une moitié est 0

2. (A)

• CMC sans 0

• Le 1

^er

chiffre ne peut être 5 ou 6 en raison de (a), donc il peut prendre les valeurs 1, 4 ou 9

• Le 2

^ème

chiffre peut prendre les valeurs 1, 4, 5, 6 ou 9

• Le 3

^ème

chiffre peut prendre les valeurs 1, 4, 5, 6 ou 9

• Le 4

^ème

chiffre peut prendre les valeurs 2, 3, 8 ou 9

• Le 5

^ème

chiffre peut prendre les valeurs 1, 2, 4 ou 8

• Le 7

^ème

chiffre peut prendre les valeurs 1, 4, 5, 6 ou 9 Ce qui donne les valeurs possible de (A) :

(A) 144 288 144 169 286 121 441 882 441

Et les trois cas suivants, en notant le 0 de la moitié (F), et les chiffres des palindromes (b), (c) et (f)

Cas 1 Cas 2 Cas 3

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

(A) 1 4 4 2 8 8 1 4 4

(B) (C)

(D) 0

(E)

(F) 0

(G) (H)

(I) 4 4 8

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

(A) 1 6 9 2 8 6 1 2 1

(B) (C)

(D) 0

(E)

(F) 0

(G) (H)

(I) 6 9 6

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

(A) 4 4 1 8 8 2 4 4 1

(B) (C)

(D) 0

(E)

(F) 0

(G) (H)

(I) 4 1 2

On élimine de suite le deuxième cas, car, pour (b), le seul CMC qui commence par 6 (617 323 716), n’a pas 0 comme

6

^ème

chiffre.

(4)

3. (a)

• commence par 1 ou 4

• ne contient pas 0

• Le 2

^ème

chiffre peut prendre les valeurs 1, 4, 5, 6 ou 9

• Le 4

^ème

chiffre peut prendre les valeurs 1, 4, 5, 6 ou 9

• Le 6

^ème

chiffre est 2 ou 3 (puisque (F) est une moitié)

• Le 8

^ème

chiffre peut prendre valeurs 2, 3, 8 ou 9

(a) 441 462 121 ( a) commence par 4, ce qui permet d’éliminer le cas 1

Le 6

^ème

chiffre de (a) n’est pas égal à 3, ce qui limite (F) à :

(F) 200 040 002 202 045 202

Et permet de placer les chiffres communs de (F) : 1

^er

= 2, 2

^ème

= 0, 4

^ème

= 0, 5

^ème

= 4, 8

^ème

= 0 et 9

^ème

= 2 ( I) étant un palindrome, on complète

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 4 4 1 8 8 2 4 4 1 (B) 4

(C) 1 (D) 4 0 (E) 6

(F) 2 0 0 4 0 2

(G) 1 (H) 2

(I) 1 4 1 2 2 1 4 1

4. (I)

Deux nombres premiers conviennent pour (I) :

(I) 141 242 141 141 262 141

Le second ne convient pas puisque le pdc de (e) est un puissance de 2

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 4 4 1 8 8 2 4 4 1 (B) 4

(C) 1 (D) 4 0 (E) 6

(F) 2 0 0 4 0 2

(G) 1 (H) 2

(I) 1 4 1 2 4 2 1 4 1

(5)

5. (b)

( b) est CMC palindrome dont les 1

^er

, 4

^ème

, 6

^ème

et 9

^ème

chiffres sont respectivement 4, 0, 0 et 4, ce qui donne : (b) 400 080 004 404 090 404

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 4 4 1 8 8 2 4 4 1 (B) 4 0

(C) 1 (D) 4 0 (E) 6

(F) 2 0 0 4 0 2

(G) 1 (H) 2 0

(I) 1 4 1 2 4 2 1 4 1

6. (B)

• CMC palindrome qui commence par 40

• Le 5

^ème

chiffre peut prendre les valeurs 1, 2, 4 ou 8

• Le 8

^ème

chiffre peut prendre les valeurs 0 ou 4

• Le 9

^ème

chiffre peut prendre les valeurs 1, 2 ou 4 puisque (i) est l’anagramme de (I) On obtient l’unique valeur suivante, qui de plus réduit (b) à une seule valeur :

(B) 400 080 004 (b) 404 090 404

Ce qui donne la grille suivante, avec (c) et (f) palindrome :

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 4 4 1 8 8 2 4 4 1 (B) 4 0 0 0 8 0 0 0 4 (C) 1 4

(D) 4 0 (E) 6 9

(F) 2 0 0 4 0 2

(G) 1 4

(H) 2 0 0 0

(I) 1 4 1 2 4 2 1 4 1

(6)

7. (H)

• Double d’un CMC

• Commence par 200

• Le 5

^ème

chiffre peut prendre les valeurs 1, 2, 4 ou 8

• Le 8

^ème

chiffre peut prendre les valeurs 0 ou 4

• 9

^ème

chiffre peut prendre les valeurs 1, 2 ou 4 puisque (i) est l’anagramme de (I) (H) 200 040 002 200 440 242

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 4 4 1 8 8 2 4 4 1 (B) 4 0 0 0 8 0 0 0 4 (C) 1 4

(D) 4 0 (E) 6 9

(F) 2 0 0 4 0 2

(G) 1 4

(H) 2 0 0 4 0 2

(I) 1 4 1 2 4 2 1 4 1

8. (c)

• CMC palindrome

• Commence par 10

• Le 5

^ème

chiffre n’est pas 0

(c) 100 020 001 102 030 201 104 060 401

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 4 4 1 8 8 2 4 4 1 (B) 4 0 0 0 8 0 0 0 4 (C) 1 4

(D) 4 0 0 (E) 6 9

(F) 2 0 0 0 4 0 2

(G) 1 4

(H) 2 0 0 4 0 2

(I) 1 4 1 2 4 2 1 4 1

(7)

9. (F)

(F) 200 040 002 202 045 202

On rappelle les valeurs que prendre (F), et comme (F) commence par 200, on a (F) = 200 040 002, (en prime, c’est bien la moitié de (B)), et (f) étant un palindrome, on complète (f) :

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 4 4 1 8 8 2 4 4 1 (B) 4 0 0 0 8 0 0 0 4 (C) 1 4

(D) 4 0 0 0

(E) 6 9

(F) 2 0 0 0 4 0 0 0 2 (G) 1 4

(H) 2 0 0 4 0 2

(I) 1 4 1 2 4 2 1 4 1

10. (C) et (G)

• CMC commençant par 14

• Le 5

^ème

chiffre peut prendre valeurs 1, 2, 4 ou 8

• Le 8

^ème

chiffre peut prendre valeurs 0 ou 4

• Le 9

^ème

chiffre peut prendre les valeurs 1 ou 4 puisque (i) est l’anagramme de (I) (plus de place pour 2) (C) ou (G) 144 024 001 144 048 004 144 288 144 148 888 804

Le 3

^ème

chiffre de (C), qui est aussi le 3

^ème

chiffre de (c), est 4 ou 8. On rappelle la table des valeurs de (c), (c) 100 020 001 102 030 201 104 060 401

Et on voit que seul le chiffre 4 convient

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 4 4 1 8 8 2 4 4 1 (B) 4 0 0 0 8 0 0 0 4 (C) 1 4 4

(D) 4 0 0 0

(E) 6 9 6

(F) 2 0 0 0 4 0 0 0 2 (G) 1 4 4

(H) 2 0 0 4 0 2

(I) 1 4 1 2 4 2 1 4 1

(C) ou (G) 144 024 001 144 048 004 144 288 144

(8)

(C) et (G) commencent par 144 et sont des miroirs de CMC présents dans la grille : (C) ou (G) 144 024 001 144 048 004 144 288 144

miroir 100 420 441 400 840 441 441 882 441

Il ne peut y avoir, dans la grille, de CMC commençant par 100, d’où :

Cas 1 Cas 2

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 4 4 1 8 8 2 4 4 1 (B) 4 0 0 0 8 0 0 0 4 (C) 1 4 4 0 4 8 0 0 4

(D) 4 0 0 0

(E) 6 9 6

(F) 2 0 0 0 4 0 0 0 2 (G) 1 4 4 2 8 8 1 4 4

(H) 2 0 0 4 0 2

(I) 1 4 1 2 4 2 1 4 1

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 4 4 1 8 8 2 4 4 1 (B) 4 0 0 0 8 0 0 0 4 (C) 1 4 4 2 8 8 1 4 4

(D) 4 0 0 0

(E) 6 9 6

(F) 2 0 0 0 4 0 0 0 2 (G) 1 4 4 0 4 8 0 0 4

(H) 2 0 0 4 0 2

(I) 1 4 1 2 4 2 1 4 1

Le miroir 441 882 441 est déjà placé en (A), le miroir 400 840 441 ne peut se placer qu’en (D)

Cas 1 Cas 2

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 4 4 1 8 8 2 4 4 1 (B) 4 0 0 0 8 0 0 0 4 (C) 1 4 4 0 4 8 0 0 4 (D) 4 0 0 8 4 0 4 4 1 (E) 6 9 6

(F) 2 0 0 0 4 0 0 0 2 (G) 1 4 4 2 8 8 1 4 4

(H) 2 0 0 4 0 2

(I) 1 4 1 2 4 2 1 4 1

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 4 4 1 8 8 2 4 4 1 (B) 4 0 0 0 8 0 0 0 4 (C) 1 4 4 2 8 8 1 4 4 (D) 4 0 0 8 4 0 4 4 1 (E) 6 9 6

(F) 2 0 0 0 4 0 0 0 2 (G) 1 4 4 0 4 8 0 0 4

(H) 2 0 0 4 0 2

(I) 1 4 1 2 4 2 1 4 1

11. (d)

( d) est le double d’un CMC de la grille :

• Il n’existe pas de double de CMC qui commence par 802, donc on élimine le cas 2

• Il existe un seul double de CMC qui commence par 800 8 : c’est 800 880 242 qui convient avec les autres chiffres déjà placées de (d)

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 4 4 1 8 8 2 4 4 1 (B) 4 0 0 0 8 0 0 0 4 (C) 1 4 4 0 4 8 0 0 4 (D) 4 0 0 8 4 0 4 4 1 (E) 6 9 6 8

(F) 2 0 0 0 4 0 0 0 2 (G) 1 4 4 2 8 8 1 4 4

(H) 2 0 0 4 4 0 2

(I) 1 4 1 2 4 2 1 4 1

Ce qui, en rappelant les valeurs possibles de (H), détermine (H)

(9)

(H) 200 040 002 200 440 242

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 4 4 1 8 8 2 4 4 1 (B) 4 0 0 0 8 0 0 0 4 (C) 1 4 4 0 4 8 0 0 4 (D) 4 0 0 8 4 0 4 4 1 (E) 6 9 6 8

(F) 2 0 0 0 4 0 0 0 2 (G) 1 4 4 2 8 8 1 4 4 (H) 2 0 0 4 4 0 2 4 2 (I) 1 4 1 2 4 2 1 4 1

Puis (g) = 400 440 121, l’unique CMC pouvant convenir avec les chiffres déjà posés en (g) Puis le 5

^ème

chiffre de (h) qui est 4 et non 0, puisque le pdc de (E) n’est pas nul

Puis le chiffre manquant de (i) qui est 1, puisque (i) est un anagramme de (I) (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 4 4 1 8 8 2 4 4 1 (B) 4 0 0 0 8 0 0 0 4 (C) 1 4 4 0 4 8 0 0 4 (D) 4 0 0 8 4 0 4 4 1

(E) 6 9 6 8

4 4 1

(F) 2 0 0 0 4 0 0 0 2

(G) 1 4 4 2 8 8 1 4 4

(H) 2 0 0 4 4 0 2 4 2

(I) 1 4 1 2 4 2 1 4 1

(10)

Il ne reste plus qu’à résoudre le système

41472 =

38 + + =

∈ {1, 2 4, 8}

Qui donne + = 11 soit

= 2 ! = 9 = 4 ! = 7 = 8 ! = 3

= 7 ! = 3 ne peuvent faire du pdc de (E) un carré, donc = 2 ! = 9

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 4 4 1 8 8 2 4 4 1 (B) 4 0 0 0 8 0 0 0 4 (C) 1 4 4 0 4 8 0 0 4 (D) 4 0 0 8 4 0 4 4 1 (E) 6 9 6 8

# $

4 4 1 (F) 2 0 0 0 4 0 0 0 2 (G) 1 4 4 2 8 8 1 4 4 (H) 2 0 0 4 4 0 2 4 2 (I) 1 4 1 2 4 2 1 4 1

Contrôles

(A) CMC 441 882 441 = 21021² 144 288 144 = 12012²

(B) CMC palindrome 400 080 004 = 20002² Palindrome

(C) CMC miroir d’un CMC de la grille 144 048 004 = 12002² 400 840 441 = 20021² Miroir de (D)

(D) CMC 400 840 441 = 20021² 144 048 004 = 12002²

(E) Sdc et pdc sont des carrés > 0 696 829 441 Sdc = 49 = 7² Pdc = 746 496 = 864² (F) Moitié d’un CMC palindrome de la grille 200 040 002 = (B) / 2

(G) CMC miroir d’un CMC de la grille 144 288 144 = 12002² 441 882 441 = 21021² Miroir de (A)

(H) Double d’un CMC 200 440 242 = 2 x 100 220 121 100 220 121 = 10011² 121 022 001 = 11001²

(I) Palindrome premier 141 242 141 premier Palindrome

(a) CMC 441 462 121 = 21011² 121 264 144 = 11012²

(b) CMC palindrome 404 090 404 = 20102² palindrome

(c) CMC palindrome 104 060 401 = 10201² palindrome

(d) Double d’un CMC de la grille 800 880 242 = 2 x (g) (e) Pdc = puissance de 2 884 424 844 =2

²⁰