F133. Nombres croisés - Grille n°33
Cette grille est proposée par Etienne Desclin
Les seuls nombres en séquence ayant une puissance 9 chiffres sont :
Tab 1 : puissances de séquences 1 147 008 443 43 ^ 5 2 148 035 889 23 ^ 6 3 152 399 025 12345 ^ 2 4 160 103 007 543 ^ 3 5 182 284 263 567 ^ 3 6 184 528 125 45 ^ 5 7 228 886 641 123 ^ 4 8 279 726 264 654 ^ 3 9 311 665 752 678 ^ 3 10 429 981 696 12 ^ 8 11 447 697 125 765 ^ 3 12 459 165 024 54 ^ 5 13 491 169 069 789 ^ 3 14 550 183 936 23456 ^ 2 15 550 731 776 56 ^ 5 16 672 221 376 876 ^ 3 17 961 504 803 987 ^ 3
La définition Aa nous fait éliminer les nombres ayant un 0, et les nombres dont le premier chiffre est unique :
5 182 284 263 567 ^ 3 6 184 528 125 45 ^ 5 7 228 886 641 123 ^ 4 8 279 726 264 654 ^ 3 10 429 981 696 12 ^ 8 11 447 697 125 765 ^ 3
Pour répondre à Cc, le 3ème chiffre ne doit pas être 7 ou 8, ce qui laisse
5 182 284 263 567 ^ 3 6 184 528 125 45 ^ 5
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 8 2 2 8 4 2 6 3 (B) 8
(C) 4 (D) 5 (E) 2 (F) 8 (G) 1 (H) 2 (I) 5
(c) étant une puissance de séquence, est égal à 228 886 641 ou 279 726 264 (cf tableau 1) (C) étant aussi une puissance de séquence, son 3ème chiffre doit être 8 ou 9264 (cf tableau 1) Ce qui laisse une seule possibilité pour (c) = 279 726 264 et 2 pour (C)
Tab 2 : (C)
429 981 696 459 165 024
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 8 2 2 8 4 2 6 3
(B) 8 7
(C) 4 9
(D) 5 7
(E) 2 2
(F) 8 6
(G) 1 2
(H) 2 6
(I) 5 4
Pour (B), on trouve 4 cubes au format 8*7 *** ***
Tab 3 : (B) 935 817 400 375 939 827 936 019 950 857 375 000 961 887 503 681
Pour (b), en combinant les 2 valeurs de (C) (2ème chiffre) et les 4 valeurs de (B) (2ème chiffre), on recherche les cubes qui commencent par 812 ou 815 ou 822 ou 825 ou 852 ou 855 ou 882 ou 885
Tab 4 : (b) 933 812 166 237 937 822 656 953 938 825 293 672
Maintenant, pour (E) on cherche les carrés d’un nombre premier, commençant par 252 ou 262 ou 292
Tab 5 : (E) 15 877 252 079 129 15 881 252 206 161 15 887 252 396 769 15 889 252 460 321 15 901 252 841 801 16 187 262 018 969 16 189 262 083 721 16 193 262 213 249 16 217 262 991 089 17 093 292 170 649 17 099 292 375 801 17 107 292 649 449 17 117 292 991 689
En combinant toutes les valeurs possibles pour
• (C) tableau 2
• (B) tableau 3
• (b) tableau 4
• (E) tableau 5
On obtient les seules 13 possibilités suivantes :
(C) (B) (b) (E)
1 429 981 696 817 400 375 812 166 237 262 018 969 2 429 981 696 817 400 375 812 166 237 262 083 721 3 429 981 696 817 400 375 812 166 237 262 213 249 4 429 981 696 817 400 375 812 166 237 262 991 089 5 429 981 696 827 936 019 822 656 953 252 079 129 6 429 981 696 827 936 019 822 656 953 252 206 161 7 429 981 696 827 936 019 822 656 953 252 396 769 8 429 981 696 827 936 019 822 656 953 252 460 321 9 429 981 696 827 936 019 822 656 953 252 841 801 10 459 165 024 827 936 019 825 293 672 292 170 649 11 459 165 024 827 936 019 825 293 672 292 375 801 12 459 165 024 827 936 019 825 293 672 292 649 449 13 459 165 024 827 936 019 825 293 672 292 991 689
Il ne reste que trois possibilités qui résistent à (e) : carré d’un nombre premier commençant par 8
(C) (B) (b) (E) (e)
1 429 981 696 827 936 019 822 656 953 252 841 801 838 044 601 2 459 165 024 827 936 019 825 293 672 292 170 649 836 771 329 3 459 165 024 827 936 019 825 293 672 292 375 801 836 771 329
Ce qui donne la valeur de (B)
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 8 2 2 8 4 2 6 3 (B) 8 2 7 9 3 6 0 1 9
(C) 4 9
(D) 5 7
(E) 2 2
(F) 8 6
(G) 1 2
(H) 2 6
(I) 5 4
Qui permet de supprimer la deuxième ligne : (i) est un anagramme de séquence, donc tous ses chiffres sont différents et (C) et (E) ne peuvent se terminer par 3 ou 9 (ou même 0, à cause de 9 la séquence est forcément 123456789).
On examine donc les deux cas restant
(C) (b) (E) (e)
Cas 1 429 981 696 822 656 953 252 841 801 838 044 601 Cas 2 459 165 024 825 293 672 292 375 801 836 771 329
Cas 1 Cas 2
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 8 2 2 8 4 2 6 3 (B) 8 2 7 9 3 6 0 1 9 (C) 4 2 9 9 8 1 6 9 6
(D) 5 6 7 0
(E) 2 5 2 8 4 1 8 0 1
(F) 8 6 6 4
(G) 1 9 2 6
(H) 2 5 6 0
(I) 5 3 4 1
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 8 2 2 8 4 2 6 3 (B) 8 2 7 9 3 6 0 1 9 (C) 4 5 9 1 6 5 0 2 4
(D) 5 2 7 7
(E) 2 9 2 3 7 5 8 0 1
(F) 8 3 6 1
(G) 1 6 2 3
(H) 2 7 6 2
(I) 5 2 4 9
On cherche maintenant les carrés (F) et (f)
Cas 1 Cas 2
(f) 461 218 576 21 476 (f) 461 519 289 21 483 (F) 866 242 624 29 432 (F) 866 949 136 29 444
(f) 465 351 184 21 572 (f) 465 653 241 21 579 (f) 465 955 396 21 586 (F) 836 019 396 28 914 (F) 836 713 476 28 926
Le sixième chiffre étant identique pour (F) et (f), on obtient une possibilité pour chaque cas
Cas 1 Cas 2
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 8 2 2 8 4 2 6 3 (B) 8 2 7 9 3 6 0 1 9 (C) 4 2 9 9 8 1 6 9 6
(D) 5 6 7 0 5
(E) 2 5 2 8 4 1 8 0 1 (F) 8 6 6 9 4 9 1 3 6
(G) 1 9 2 6 2
(H) 2 5 6 0 8
(I) 5 3 4 1 9
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 8 2 2 8 4 2 6 3 (B) 8 2 7 9 3 6 0 1 9 (C) 4 5 9 1 6 5 0 2 4
(D) 5 2 7 7 6
(E) 2 9 2 3 7 5 8 0 1 (F) 8 3 6 7 1 3 4 7 6
(G) 1 6 2 3 2
(H) 2 7 6 2 4
(I) 5 2 4 9 1
On élimine le cas 1, de par la présence de deux fois de chiffre 6 dans la colonne (i).
On cherche maintenant (G1) et (g1) : 40 diviseurs et sdc = multiple de 7. La solution est unique :
(G1) = 162 032 sdc = 14 (g1) = 200 784 sdc = 21
On cherche maintenant (D) et (d) : 28 diviseurs et sdc = nombre premier
(d) (D)
valeur sdc valeur sdc 1 291 537 088 43 1 527 376 704 41 2 527 576 768 53
Les quatrièmes chiffres de (d) et (D) doivent être identiques : ce qui donne une solution unique pour (d) et (D)
Le dernier chiffre de (G2) ne peut être que 2, 5 ou 7 (tous les chiffres de (i) sont différents). (G2) est un carré, donc il s’agit du 5, et, par conséquent, (G2) = 25
Le dernier chiffre de (g2) ne peut être que 3, 6 ou 7 (tous les chiffres de (I) sont différents). (g2) est un carré, donc il s’agit du 6, et, par conséquent, (g2) = 16 ou 36
La définition (H) dit que (G2) < (g2), donc (g2) = 36
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 8 2 2 8 4 2 6 3 (B) 8 2 7 9 3 6 0 1 9 (C) 4 5 9 1 6 5 0 2 4
(D) 5 2 7 7 6 7
(E) 2 9 2 3 7 5 8 0 1 (F) 8 3 6 7 1 3 4 7 6 (G) 1 6 2 0 3 2
(H) 2 7 6 2 4
(I) 5 2 4 9 1
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 8 2 2 8 4 2 6 3 (B) 8 2 7 9 3 6 0 1 9 (C) 4 5 9 1 6 5 0 2 4 (D) 5 2 7 5 7 6 7 6 8 (E) 2 9 2 3 7 5 8 0 1 (F) 8 3 6 7 1 3 4 7 6 (G) 1 6 2 0 3 2
(H) 2 7 6 8 2 4 (I) 5 2 4 8 9 1
Les deux chiffres manquant à (i) pour être un anagramme de séquence sont 2 ou 7. Comme 2 est déjà présent sur la ligne (I), le dernier chiffre de (i) ne peut être que 7, et donc l’avant-dernier est 2.
On en déduit l’avant dernier chiffre de (I), qui est 3.
A ce stade, la sdc de (H) = 34 et doit être inférieure à (g2) = 36. Cela laisse juste une petite marge pour placer le 1 et en faire un multiple de 7. On vérifie en outre que la sdc de (h) = 28 est aussi un multiple de 7.
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 8 2 2 8 4 2 6 3 (B) 8 2 7 9 3 6 0 1 9 (C) 4 5 9 1 6 5 0 2 4 (D) 5 2 7 5 7 6 7 6 8 (E) 2 9 2 3 7 5 8 0 1 (F) 8 3 6 7 1 3 4 7 6
(G) 1 6 2 0 3 2 2 5
(H) 2 7 6 8 2 4 3 (I) 5 2 4 8 9 1 6
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 8 2 2 8 4 2 6 3 (B) 8 2 7 9 3 6 0 1 9 (C) 4 5 9 1 6 5 0 2 4 (D) 5 2 7 5 7 6 7 6 8 (E) 2 9 2 3 7 5 8 0 1 (F) 8 3 6 7 1 3 4 7 6
(G) 1 6 2 0 3 2 2 5
(H) 2 7 6 8 2 4 3 2
(I) 5 2 4 8 9 1 6 3 7
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 8 2 2 8 4 2 6 3 (B) 8 2 7 9 3 6 0 1 9 (C) 4 5 9 1 6 5 0 2 4 (D) 5 2 7 5 7 6 7 6 8 (E) 2 9 2 3 7 5 8 0 1 (F) 8 3 6 7 1 3 4 7 6
(G) 1 6 2 0 3 2 2 5
(H) 2 7 6 8 2 4 3 1 2 (I) 5 2 4 8 9 1 6 3 7
Contrôles
(A) puissance d'une séquence 182 284 263 cube de 543
(B) cube 827 936 019 cube de 939
(C) puissance d'une séquence 459 165 024 545
(D) 28 diviseurs et sdc premier 527 576 768 = 26.107.77041 nbdiv = 7.2.2 sdc = 53 (E) carré d'un premier 292 375 801 carré de 17 099
(F) carré 836 713 476 = 22.34.16072
(G) 40 div et sdc=7k // carré 162 032 = 24.13.19.41 nbdiv = 5.2.2.2 sdc = 14 25 Carré de 5
(H) sdc=7k et G2 < sdc < g2 276 824 312 sdc = 35
(I) anagramme d'une séquence 524 891 637 anagramme de 123456789 (a) puissance d'une séquence 184 528 125 45^5
(b) cube 825 293 672 cube de 938
(c) puissance d'une séquence 279 726 264 cube de 654
(d) 28 diviseurs et sdc premier 291 537 088 = 26.1361.3347 nbdiv = 7.2.2 sdc = 43 (e) carré d'un premier 836 771 329 carré de 28 927
(f) carré 465 653 241 = 32.71932
(g) 40 div et sdc=7k // carré 200 784 =24.3.47.89 nbdiv = 5.2.2.2 sdc = 21 36 carré de 6
(h) sdc=7k et G2 < sdc < g2 612 607 213 sdc = 28
(i) anagramme d'une séquence 394 816 527 anagramme de 123456789
