A301 - Les nombres cycliques Solution
Cas n°1 : on fait passer le dernier chiffre de N en 1ère position Recherche des nombres cycliques de rang 1
Soit un nombre N à n chiffres. On écrit N = 10*A + B où B désigne le dernier chiffre <10 et A est un entier à n-1 chiffres. En faisant passer B en 1ère position, N devient N’ = 10n-1*B + A.
On suppose que N’ = k*N avec k==2,3,4,…,9. D’où la relation 10n-1*B + A = k*(10*A+B)
(10n-1- k)*B = (10*k – 1)*A
k=2 10*k – 1 = 19 qui est un nombre premier. Celui-ci divise donc (10n-1- 2) = 9999….98. On cherche le plus petit n tel que 999..98 soit divisible par 19 et l’on obtient 999 999 999 999 999 998 =19* 5 263 157 894 736 842 . On en déduit 5 263 157 894 736 842*B = A.
En prenant B=2, on obtient le nombre N à 18 chiffres = 10*A + B= 105 263 157 894 736 842 .
Avec B=3, on obtient N = 157 894 736 684 210 526 puis avec B=4, N = 210 526 315 789 473 684, etc….
jusqu’à B=9 qui donne N = 526 315 789 473 684 210.
On constate que toutes ces valeurs de N se déduisent les unes des autres par permutation circulaire
k=3 10*k – 1 = 29 qui est également premier. Selon la même méthode que précédemment, on cherche le plus petit n tel que 9999..997 soit divisible par 29. Il faut encore plus de
patience que pour k=2 et il faut inscrire 26 fois le chiffre 9 dans le dividende avant de pouvoir écrire le chiffre 7 qui donne un reste nul.
Avec B=3, N a 28 chiffres et est égal à 1 034 482 758 620 689 655 172 413 793.
Avec B=4, on obtient N=1 379 310 344 827 586 206 896 551 724 et ainsi de suite pour B=5,6,…,9
k=4 10*k – 1 = 39 = 3*13. On cherche 999….96 divisible par 13 et très vite on parvient au résultat 99 996 = 13*7692. D’où l’équation 7692*B = 3*A A=2564*B. Comme A a cinq chiffres, la plus petite valeur de B est B=4.Il en résulte N = 102 564. On a aussi les solutions B=5 et A=12820 N = 128 205 ; B=6 et A=15384 N = 153 846 ; B=7 et A = 17948 N = 179 487 ; B=8 et A=20512 N = 205 128 ; B=9 et A=23076 N = 230 769
k=5 10k – 1 = 49 = 7*7.On cherche 999….995 divisible par 5 et l’on obtient très vite la relation 99 995 = 7*14285. d’où l’équation 14285*B = 7*A. B divise 7 donc B=7 et A=14285.On en déduit N = 142 857
k=6 10*k – 1 = 59 qui est un nombre premier. On tombe sur le nombre cyclique le plus long car il faut aligner 56 fois le chiffre 9 avant placer le chiffre 4. Le nombre N a 58 chiffres et s’exprime comme suit :
N = 1 016 949 152 542 372 881 355 932 203 389 830 508 474 576 271 186 440 677 966
k=7 10*k – 1 = 69 =3*23. On cherche 9999..993 divisible par 23. On obtient finalement un nombre N à 22 chiffres = 1 014 492 753 623 188 405 797
k=8 10*k – 1 = 79 qui est un nombre premier mais contrairement aux apparences il n’est pas besoin d’aligner 77 fois le chiffre 9.On trouve assez vite que
999 999 999 992 = 79*12 658 227 848.
Il en résulte N avec 13 chiffres « seulement » = 1 012 658 227 848
k=9 10*k – 1 = 89 qui est un nombre premier. Cela donne le deuxième nombre cyclique par la longueur.
N a 44 chiffres et est égal à 10 112 359 550 561 797 752 808 988 764 044 943 820 224 719 Recherche des nombres cycliques de rang 2
On a la relation N = 100*A + B où B est un nombre <100 qui désigne les deux derniers chiffres de N et A est un entier à n-2 chiffres. En faisant passer B en 1ère position, N devient N’ = (10n2k)*B(100*k1)*A. Comme 100*k – 1 est un nombre premier (k=2, 5 et 6) ou est le multiple d’un nombre premier élevé (k=7), les nombres cycliques N que l’on obtient comporte plusieurs centaines de chiffres. Les valeurs de k pour lesquelles N a une longueur
« raisonnable » sont k=3,4 et 8. Elles sont examinées ci-après :
k=3 100*k – 1 = 299 = 13*23. On obtient 9997 = 13*769. D’où la relation 23*A =
769*B et trois solutions possibles : B=46 et A=1538 N = 153 846 ; B=69 et A=2307 N
=230 769 ; B=92 et A=3076 N=307 692
k=4 100*k – 1 = 399 = 3*7*19. On obtient 9999…96 = 526 315 789 473 684*19 526 315 789 473 684*B = 21*A.
Avec B=42, A = 1 052 631 578 947 368 N = 105 263 157 894 736 842. On retrouve logiquement le nombre cyclique de rang 1 et de coefficient 2 obtenu avec B=2.
Avec B=63 et B=84, on retrouve deux autres valeurs de N obtenues par permutation circulaire.
k=8 100*k – 1 = 799 = 17*47. Il y a une valeur possible de N à 16 chiffres qui est égal à 1 176 470 588 235 294.
Cas n°2 : on fait passer le premier chiffre de N en dernière position Recherche des nombres cycliques de rang 1
Soit N à n chiffres tel que N = 10n-1*A + B avec A<10 et B entier à n-1 chiffres. En faisant passer le 1er chiffre de N en dernière position, on obtient N’ = 10*B +A. D’où la relation 10*B + A = k*(10n-1*A + B ) (10 – k)*B = (k*10n-1- 1)*A.
Une seule valeur de k , k=3, donne pour solution N=142 857 et N’ = 428 571 = 3*142 857.
On obtient le nombre bien connu 142 857 = 999 999/7 dont toutes les permutations circulaires se
retrouvent dans les relation suivantes : 142 857 * 2 = 285 714 , 142 857 * 3 = 428 571 , 142 857 * 4 = 571 428, 142 857 * 5 = 714 85, 142 857 * 6 = 857 412, 285 714 * 3 = 857 142 et 428 571 * 2 = 857 142
Quel est le plus petit N qui devient N’=1,5*N quand le dernier chiffre passe en première position ?
La solution est N=285 714 qui devient N’=428 571 = 1,5*285 714. On a également N=571 428 qui devient N’=857 142 puis N=285 714 285 714 qui devient N’=428 571 428 571 etc…
