F136. Nombres croisés - Grille n°36

F136. Nombres croisés - Grille n°36

1. Séquences en base 60

On cherche, et on trouve 101 nombres de 9 chiffres, dont l’écriture en base 60 est une séquence

N (base 10) N (base 60) N (base 10) N (base 60) N (base 10) N (base 60) N (base 10) N (base 60) 105 213 904 4,5,6,7,8 263 816 604 24,23,22,21,20 434 705 429 29,30,31,32,33 593 308 129 49,48,47,46,45 105 660 672 12,11,10,9,8 276 549 497 17,18,19,20,21 435 152 197 37,36,35,34,33 606 041 022 42,43,44,45,46 118 393 565 5,6,7,8,9 276 996 265 25,24,23,22,21 447 885 090 30,31,32,33,34 606 487 790 50,49,48,47,46 118 840 333 13,12,11,10,9 289 729 158 18,19,20,21,22 448 331 858 38,37,36,35,34 619 220 683 43,44,45,46,47 131 573 226 6,7,8,9,10 290 175 926 26,25,24,23,22 461 064 751 31,32,33,34,35 619 667 451 51,50,49,48,47 132 019 994 14,13,12,11,10 302 908 819 19,20,21,22,23 461 511 519 39,38,37,36,35 632 400 344 44,45,46,47,48 144 752 887 7,8,9,10,11 303 355 587 27,26,25,24,23 474 244 412 32,33,34,35,36 632 847 112 52,51,50,49,48 145 199 655 15,14,13,12,11 316 088 480 20,21,22,23,24 474 691 180 40,39,38,37,36 645 580 005 45,46,47,48,49 157 932 548 8,9,10,11,12 316 535 248 28,27,26,25,24 487 424 073 33,34,35,36,37 646 026 773 53,52,51,50,49 158 379 316 16,15,14,13,12 329 268 141 21,22,23,24,25 487 870 841 41,40,39,38,37 658 759 666 46,47,48,49,50 171 112 209 9,10,11,12,13 329 714 909 29,28,27,26,25 500 603 734 34,35,36,37,38 659 206 434 54,53,52,51,50 171 558 977 17,16,15,14,13 342 447 802 22,23,24,25,26 501 050 502 42,41,40,39,38 671 939 327 47,48,49,50,51 184 291 870 10,11,12,13,14 342 894 570 30,29,28,27,26 513 783 395 35,36,37,38,39 672 386 095 55,54,53,52,51 184 738 638 18,17,16,15,14 355 627 463 23,24,25,26,27 514 230 163 43,42,41,40,39 685 118 988 48,49,50,51,52 197 471 531 11,12,13,14,15 356 074 231 31,30,29,28,27 526 963 056 36,37,38,39,40 685 565 756 56,55,54,53,52 197 918 299 19,18,17,16,15 368 807 124 24,25,26,27,28 527 409 824 44,43,42,41,40 698 298 649 49,50,51,52,53 210 651 192 12,13,14,15,16 369 253 892 32,31,30,29,28 540 142 717 37,38,39,40,41 698 745 417 57,56,55,54,53 211 097 960 20,19,18,17,16 381 986 785 25,26,27,28,29 540 589 485 45,44,43,42,41 711 478 310 50,51,52,53,54 223 830 853 13,14,15,16,17 382 433 553 33,32,31,30,29 553 322 378 38,39,40,41,42 711 925 078 58,57,56,55,54 224 277 621 21,20,19,18,17 395 166 446 26,27,28,29,30 553 769 146 46,45,44,43,42 724 657 971 51,52,53,54,55 237 010 514 14,15,16,17,18 395 613 214 34,33,32,31,30 566 502 039 39,40,41,42,43 725 104 739 59,58,57,56,55 237 457 282 22,21,20,19,18 408 346 107 27,28,29,30,31 566 948 807 47,46,45,44,43 737 837 632 52,53,54,55,56 250 190 175 15,16,17,18,19 408 792 875 35,34,33,32,31 579 681 700 40,41,42,43,44 751 017 293 53,54,55,56,57 250 636 943 23,22,21,20,19 421 525 768 28,29,30,31,32 580 128 468 48,47,46,45,44 764 196 954 54,55,56,57,58 263 369 836 16,17,18,19,20 421 972 536 36,35,34,33,32 592 861 361 41,42,43,44,45 777 376 615 55,56,57,58,59

804 182 706 6,5,4,3,2,1

2. Toujours le même chiffre en base 60

On cherche, et on trouve 53 nombres de 9 chiffres, dont l’écriture en base 60 est formée par le même chiffre.

N (base 10) N (base 60) N (base 10) N (base 60) N (base 10) N (base 60) N (base 10) N (base 60) 105 437 288 8,8,8,8,8 276 772 881 21,21,21,21,21 448 108 474 34,34,34,34,34 619 444 067 47,47,47,47,47 118 616 949 9,9,9,9,9 289 952 542 22,22,22,22,22 461 288 135 35,35,35,35,35 632 623 728 48,48,48,48,48 131 796 610 10,10,10,10,10 303 132 203 23,23,23,23,23 474 467 796 36,36,36,36,36 645 803 389 49,49,49,49,49 144 976 271 11,11,11,11,11 316 311 864 24,24,24,24,24 487 647 457 37,37,37,37,37 658 983 050 50,50,50,50,50 158 155 932 12,12,12,12,12 329 491 525 25,25,25,25,25 500 827 118 38,38,38,38,38 672 162 711 51,51,51,51,51 171 335 593 13,13,13,13,13 342 671 186 26,26,26,26,26 514 006 779 39,39,39,39,39 685 342 372 52,52,52,52,52 184 515 254 14,14,14,14,14 355 850 847 27,27,27,27,27 527 186 440 40,40,40,40,40 698 522 033 53,53,53,53,53 197 694 915 15,15,15,15,15 369 030 508 28,28,28,28,28 540 366 101 41,41,41,41,41 711 701 694 54,54,54,54,54 210 874 576 16,16,16,16,16 382 210 169 29,29,29,29,29 553 545 762 42,42,42,42,42 724 881 355 55,55,55,55,55 224 054 237 17,17,17,17,17 395 389 830 30,30,30,30,30 566 725 423 43,43,43,43,43 738 061 016 56,56,56,56,56 237 233 898 18,18,18,18,18 408 569 491 31,31,31,31,31 579 905 084 44,44,44,44,44 751 240 677 57,57,57,57,57 250 413 559 19,19,19,19,19 421 749 152 32,32,32,32,32 593 084 745 45,45,45,45,45 764 420 338 58,58,58,58,58 263 593 220 20,20,20,20,20 434 928813 33,33,33,33,33 606 264 406 46,46,46,46,46 777 599 999 59,59,59,59,59

790 779 661 1,1,1,1,1,1

3. Palindromes en base 60

On les ignore : il en existe beaucoup trop

4. Placement

On demande à la calculatrice de trouver une solution commune pour (A), (B), (E), (F), (G), (a), (b), (e) : (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

(A) 3 5 5 6 2 7 4 6 3 (B) 1 0 5 4 3 7 2 8 8

(C) 6 0 7

(D) 5 8 0

(E) 3 2 9 7 1 4 9 0 9 (F) 5 7 9 9 0 5 0 8 4 (G) 2 1 0 6 5 1 1 9 2

(H) 4 1 1

(I) 8 8 4

5. La suite

4 nombres peuvent convenir pour (c) et 3 pour (d), tous deux palindromes en base 60 (c) (c) en base 60 (d) (d) en base 60 550 899 042 42,30,27,30,42 642 479 689 49,34,26,34,49 552 199 002 42,36,28,36,42 643 779 649 49,40,27,40,49 558 299 083 43,4,43,4,43 645 079 609 49,46,28,46,49 559 599 043 43,10,44,10,43

En combinant :

• Les valeurs possibles de (c) et (d),

• On recherche les valeurs possibles pour (C), (D), (H) et (I) o Qui respectent (i) = anagramme de séquence o 32-9 <= Somme des chiffres de (f) <= 31 o 27-9 <= Somme des chiffres de (g) <= 26 o Le produit des chiffres de (I) est un cube On trouve 2 possibilités :

(c) (d) (C) (D) (H) (f) (g) (I)

550 899 042 645 079 609 600 571 246 588 000 165 414 010 591 771 045 107 422 190 153 882 947 377 550 899 042 645 079 609 600 571 246 588 000 165 414 014 191 771 045 143 422 190 117 882 943 777

Cas 1 Cas 2 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

(A) 3 5 5 6 2 7 4 6 3 (B) 1 0 5 4 3 7 2 8 8 (C) 6 0 0 5 7 1 2 4 6 (D) 5 8 8 0 0 0 1 6 5 (E) 3 2 9 7 1 4 9 0 9 (F) 5 7 9 9 0 5 0 8 4 (G) 2 1 0 6 5 1 1 9 2 (H) 4 1 4 0 1 0 5 9 1 (I) 8 8 2 9 4 7 3 7 7

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 3 5 5 6 2 7 4 6 3 (B) 1 0 5 4 3 7 2 8 8 (C) 6 0 0 5 7 1 2 4 6 (D) 5 8 8 0 0 0 1 6 5 (E) 3 2 9 7 1 4 9 0 9 (F) 5 7 9 9 0 5 0 8 4 (G) 2 1 0 6 5 1 1 9 2 (H) 4 1 4 0 1 4 1 9 1 (I) 8 8 2 9 4 3 7 7 7

6. La fin

(g) = 422 190 153 = 3² x 7 x 11 x 609 221 possède 3 x 2 x 2 x 2 = 24 diviseurs (g) = 422 190 117 = 3³ x 15 636 671 possède 4 x 2 = 8 diviseurs

Ce qui permet d’éliminer le deuxième cas.

Remarque : la définition de (h) : Triple d’un premier, n’a pas été utiliséee

Contrôles

(A) Séquence en base 60 355 627 463 En base 60 : 27,26,25,24,23 (B) TMN en base 60 105 437 288 En base 60 : 8,8,8,8,8 (C) Palindrome en base 60 600 571 246 En base 60 : 46,20,25,20,46 (D) Palindrome en base 60 588 000 165 En base 60 : 45,22,13,22,45 (E) Séquence en base 60 329 714 909 En base 60 : 25,26,27,28,29 (F) TMN en base 60 579 905 084 En base 60 : 44,44,44,44,44 (G) Séquence en base 60 210 651 192 En base 60 : 16,15,14,13,12 (H) Palindrome en base 60 414 010 591 En base 60 : 31,56,42,56,31 (I) Pdc = cube 882 947 377 Pdc = 3³.8³.7³

(a) Séquence en base 60 316 535 248 En base 60 : 24,25,26,27,28 (b) TMN en base 60 500 827 118 En base 60 : 38,38,38,38,38 (c) Palindrome en base 60 550 899 042 En base 60 : 42,30,27,30,42 (d) Palindrome en base 60 645 079 609 En base 60 : 49,46,28,46,49 (e) Séquence en base 60 237 010 514 En base 60 : 18,17,16,15,14 (f) Sdc = puissance de 2 771 045 107 Sdc = 32 = 2⁵

(g) 24 diviseurs et Sdc = cube 422 190 153 Sdc = 27 = 3³ + 24 diviseurs (h) Triple d’un premier 684 608 997 3 x 228 202 999

(i) Anagramme de séquence 386 594 217 Tous les chiffres de 1 à 9