F131. Nombres croisés - Grille n°31
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)
(A) (A) cube d'un palindrome
(B) (B) cube d'un palindrome
(C) (C) carré d'un palindrome
(D) (D) carré
(E) (E) carré
(F) (F) nombre 1er et sdc = nb 1er
(G) (G) 84 diviseurs
(H) (H) sdc = nb 1er
(I) (I) pdc = 20736
(a) palindrome ^4 pas de 7 dans la grille
(b) carré d'un palindrome (c) cube d'un palindrome (d) carré
(e) carré d'un palindrome (f) palindrome
(g) chiffres différents (h) sdc = carré
(i) palindrome
On construit les tables suivantes, des carrés, cubes et puissance 4 de nombres palindromes.
Table des carrés de palindromes ne contenant pas 7 (110 dont 41 sans 0)
10001 100 020 001 12721 161 823 841 15851 251 254 201 20002 400 080 004 24742 612 166 564 30103 906 190 609 10101 102 030 201 12921 166 952 241 15951 254 434 401 20102 404 090 404 24942 622 103 364 30203 912 221 209 10201 104 060 401 13031 169 806 961 16261 264 420 121 20202 408 120 804 25152 632 623 104 30403 924 342 409 10301 106 110 601 13631 185 804 161 16761 280 931 121 20402 416 241 604 25652 658 025 104 30503 930 433 009 10401 108 180 801 13731 188 540 361 16861 284 293 321 20502 420 332 004 25752 663 165 504 30603 936 543 609 10601 112 381 201 13831 191 296 561 17071 291 419 041 20602 424 442 404 25852 668 325 904 30803 948 824 809 10701 114 511 401 14241 202 806 081 17171 294 843 241 20902 436 893 604 26162 684 450 244 30903 954 995 409 10801 116 661 601 14341 205 664 281 17471 305 235 841 21012 441 504 144 26262 689 692 644 31013 961 806 169 10901 118 831 801 14441 208 542 481 17671 312 264 241 21212 449 948 944 26362 694 955 044 31313 980 503 969 11011 121 242 121 14541 211 440 681 17771 315 808 441 21312 454 201 344 28482 811 224 324 31513 993 069 169 11111 123 454 321 14641 214 358 881 17971 322 956 841 22022 484 968 484 28782 828 403 524
11211 125 686 521 14841 220 255 281 18081 326 922 561 22122 489 382 884 28882 834 169 924 11411 130 210 921 14941 223 233 481 18281 334 194 961 22722 516 289 284 28982 839 956 324 11511 132 503 121 15051 226 532 601 18581 345 253 561 22822 520 843 684 29092 846 344 464 11611 134 815 321 15151 229 552 801 18881 356 492 161 22922 525 418 084 29292 858 021 264 12021 144 504 441 15251 232 593 001 19091 364 466 281 23132 535 089 424 29392 863 889 664 12121 146 918 641 15351 235 653 201 19191 368 294 481 23332 544 382 224 29692 881 614 864 12221 149 352 841 15551 241 833 601 19791 391 683 681 23432 549 058 624 29892 893 531 664 12421 154 281 241 15651 244 953 801 19891 395 651 881 24142 582 836 164 29992 899 520 064 12621 159 289 641 15751 248 094 001 19991 399 640 081 24342 592 532 964 30003 900 180 009
Table des cubes de palindromes ne contenant pas 7 (14 dont 3 sans 0)
474 106 496 424 606 222 545 016 666 295 408 296 717 368 601 813 848 609 800 192 565 180 362 125 646 269 586 136 686 322 828 856 727 384 240 583 969 909 853 209 585 200 201 625 656 282 300 416 707 353 393 243 737 400 315 553
Valeurs possibles de (A)
646 269 586 136 686 322 828 856 707 353 393 243
Table des puissances 4èmes de palindromes ne contenant pas 7 (6 dont 3 sans 0) 101 104 060 401 131 294 499 921 151 519 885 601 121 214 358 881 141 395 254 161 171 855 036 081
Valeurs possibles de (a)
121 214 358 881 131 294 499 921 141 395 254 161
En fonction de ces différents tableaux, et des contraintes de positionnement des chiffres de (A), (B), (C), (a), (b), (c) et (e), on obtient les valeurs uniques suivantes :
(A) (B) (C) (a) (b) (c) (e)
322 828 856 909 853 209 525 418 084 395 254 161 202 806 081 295 408 296 251 254 201
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 3 2 2 8 2 8 8 5 6 (B) 9 0 9 8 5 3 2 0 9 (C) 5 2 5 4 1 8 0 8 4
(D) 2 8 4 2
(E) 5 0 0 5
(F) 4 6 8 4
(G) 1 0 2 2
(H) 6 8 9 0
(I) 1 1 6 1
(f) et (i) étant des palindromes, on complète leurs 3 derniers chiffres :
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 3 2 2 8 2 8 8 5 6 (B) 9 0 9 8 5 3 2 0 9 (C) 5 2 5 4 1 8 0 8 4
(D) 2 8 4 2
(E) 5 0 0 5
(F) 4 6 8 4
(G) 1 0 2 2 8 4
(H) 6 8 9 0 3 9
(I) 1 1 6 1 8 6
On cherche (G) qui est un nombre de la forme 102 x28 xx4 et qui admet 84 diviseurs. La solution unique trouvée est 102 228 544 qui ne comporte pas de 7.
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 3 2 2 8 2 8 8 5 6 (B) 9 0 9 8 5 3 2 0 9 (C) 5 2 5 4 1 8 0 8 4
(D) 2 8 4 2
(E) 5 0 0 5
(F) 4 6 8 4
(G) 1 0 2 2 2 8 5 4 4
(H) 6 8 9 0 3 9
(I) 1 1 6 1 8 6
On cherche (d) qui est un carré de la forme 884 xxx 2xx. Il en existe deux (884 051 289 et 884 170 225) dont un seul ne comporte pas le chiffre 7 :
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 3 2 2 8 2 8 8 5 6 (B) 9 0 9 8 5 3 2 0 9 (C) 5 2 5 4 1 8 0 8 4 (D) 2 8 4 0 2
(E) 5 0 0 5 5 (F) 4 6 8 1 4
(G) 1 0 2 2 2 8 5 4 4
(H) 6 8 9 8 0 3 9
(I) 1 1 6 9 1 8 6
Il n’existe qu’un seul carré commençant par 500555.... : C’est 500 551 129 = 12 377².
De même, il n’existe qu’un seul carré commençant par 28402.... : C’est 284 023 609 = 6 857².
Ces deux nombres ne comprenant pas de 7, on obtient les valeurs de (D) et (E)
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 3 2 2 8 2 8 8 5 6 (B) 9 0 9 8 5 3 2 0 9 (C) 5 2 5 4 1 8 0 8 4 (D) 2 8 4 0 2 3 6 0 9 (E) 5 0 0 5 5 1 1 2 9 (F) 4 6 8 1 4
(G) 1 0 2 2 2 8 5 4 4
(H) 6 8 9 8 0 3 9
(I) 1 1 6 9 1 8 6
(f) et (i) étant des palindromes, on complète le 6ème chiffre manquant qui est le même que le 4ème :
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 3 2 2 8 2 8 8 5 6 (B) 9 0 9 8 5 3 2 0 9 (C) 5 2 5 4 1 8 0 8 4 (D) 2 8 4 0 2 3 6 0 9 (E) 5 0 0 5 5 1 1 2 9
(F) 4 6 8 1 4 3 9
(G) 1 0 2 2 2 8 5 4 4
(H) 6 8 9 8 0 3 9
(I) 1 1 6 9 1 8 6
Le produit des chiffres trouvés de (I) est 1 x 1 x 6 x 9 x 1 x 8 x 6 = 2592. Donc le produit des deux derniers est 20736 / 2592 soit 8. Les couples ordonnés possibles dont le produit est 8, sont :
1 x 8 Ne convient pas parce que 1 est déjà présent dans la colonne (g) 2 x 4 Ne convient pas parce que 2 est déjà présent dans la colonne (g) 4 x 2
8 x 1 Ne convient pas parce que 8 est déjà présent dans la colonne (g)
D’ où (I) = 116 918 426
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 3 2 2 8 2 8 8 5 6 (B) 9 0 9 8 5 3 2 0 9 (C) 5 2 5 4 1 8 0 8 4 (D) 2 8 4 0 2 3 6 0 9 (E) 5 0 0 5 5 1 1 2 9
(F) 4 6 8 1 4 3 9
(G) 1 0 2 2 2 8 5 4 4
(H) 6 8 9 8 0 3 9
(I) 1 1 6 9 1 8 4 2 6
nb 1ers 468 143 023 468 143 029 468 143 051 468 143 063 468 143 069 468 143 099 468 143 113 468 143 131 468 143 141 468 143 167 468 143 189 468 143 227 468 143 267 468 143 327 468 143 339 468 143 393 468 143 447 468 143 503 468 143 509 468 143 567 468 143 593 468 143 597 468 143 657 468 143 693 468 143 713 468 143 743 468 143 749 468 143 759 468 143 779 468 143 783 468 143 789 468 143 849 468 143 857 468 143 867 468 143 899 468 143 903 468 143 917 468 143 947 468 143 959 468 143 981 468 143 999
nb 1ers nb div nb div 468 143 023 31 2 468 143 029 37 2 468 143 051 32 6 468 143 063 35 4 468 143 069 41 2 468 143 099 44 6 468 143 113 31 2 468 143 131 31 2 468 143 141 32 6 468 143 189 44 6 468 143 339 41 2 468 143 393 41 2 468 143 503 34 4 468 143 509 40 8 468 143 593 43 2 468 143 693 44 6 468 143 849 47 2 468 143 899 52 6 468 143 903 38 4 468 143 959 49 3 468 143 981 44 6 468 143 999 53 2
nb 1ers 468 143 029 468 143 069 468 143 339 468 143 849 468 143 999
(F) 468 143 339 468 143 999
Dans la liste de nombres premiers de 468 143 000 à 468 143 999, on sélectionne ceux qui ne contiennent pas le chiffre 7, puis ceux qui se terminent par 9 et dont le nombre de diviseurs est un nombre premier, puis ceux dont le 7ème chiffre est 3, 7 ou 9 puisque tous les chiffres de (g) doivent être différents.
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 3 2 2 8 2 8 8 5 6 (B) 9 0 9 8 5 3 2 0 9 (C) 5 2 5 4 1 8 0 8 4 (D) 2 8 4 0 2 3 6 0 9 (E) 5 0 0 5 5 1 1 2 9 (F) 4 6 8 1 4 3 3/9 3/9 9 (G) 1 0 2 2 2 8 5 4 4
(H) 6 8 9 8 0 3 9
(I) 1 1 6 9 1 8 4 2 6
La somme des huit chiffres trouvés de (h) est 24 ou 30, donc le 8ème chiffre de (h) est 1 ou 6 pour atteindre un carré.
Tous les chiffres de (g) sont différents, donc le 8ème est 3 ou 7 ou 9.
D’ où le tableau suivant :
(F) g6 g8 g6 => h8 sdc (h) g8 sdc (H)
468 143 339 3 3 1 25 3 Impossible : chiffres de (g) non tous différents 468 143 339 3 3 1 25 7 51 sdc (H) non premier
468 143 339 3 3 1 25 9 53 Bingo !
468 143 999 9 9 6 36 3 52 sdc (H) non premier 468 143 999 9 9 6 36 7 56 sdc (H) non premier
468 143 999 9 9 6 36 9 Impossible : chiffres de (g) non tous différents
La solution :
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 3 2 2 8 2 8 8 5 6 (B) 9 0 9 8 5 3 2 0 9 (C) 5 2 5 4 1 8 0 8 4 (D) 2 8 4 0 2 3 6 0 9 (E) 5 0 0 5 5 1 1 2 9 (F) 4 6 8 1 4 3 3 3 9 (G) 1 0 2 2 2 8 5 4 4 (H) 6 8 9 8 0 3 9 1 9 (I) 1 1 6 9 1 8 4 2 6
(A) cube d'un palindrome 322 828 856 Cube de 686 (B) cube d'un palindrome 909 853 209 Cube de 969 (C) carré d'un palindrome 525 418 084 Carré de 22 922
(D) carré 284 023 609 Carré de 16 853
(E) carré 500 551 129 Carré de 22 373
(F) nombre 1er et sdc = nb 1er 468 143 339 Nombre premier et sdc = 41 nombre premier (G) 84 diviseurs 102 228 544 2. 11ଶ. 43.307 => nb diviseurs = 7.3.2.2 = 84 (H) sdc = nb 1er 689 803 719 Sdc = 53 nombre premier
(I) pdc = 20736 116 918 426 1.1.6.9.1.8.4.2.6 = 20 736 (a) palindrome ^4 395 254 161 Puissance 4ème de 141 (b) carré d'un palindrome 202 806 081 Carré de 14 241 (c) cube d'un palindrome 295 408 296 Cube de 666
(d) carré 884 051 289 Carré de 29 733
(e) carré d'un palindrome 251 254 201 Carré de 15 851 (f) palindrome 838 313 838 palindrome (g) chiffres différents 820 613 574 chiffres différents (h) sdc = carré 508 023 412 Sdc = 25
(i) palindrome 694 999 496 palindrome
