Nombres libres de carrés.

NOMBRES LIBRES DE CARRES

Problème à traiter de préférence à la suite du problème « Tel-Aviv 1976 ».

On trouvera en effet dans la partie 2 une application de la dernière question complémentaire du sujet « Tel- Aviv 1976 » portant sur un lien entre séries de Dirichlet et fonction zêta de Riemann.

1. Le sujet

Un nombre entier strictement positif est dit libre de carrés, ou « nombre LDC », si et seulement si il n’est divisible par aucun carré d’entier (autre que 1). Par exemple, 6=2×3 ou 330=2×3×5×11sont des nombres LDC, tandis que 12=2²×3 ou 40=2³×5 n’en sont pas.

Partie 1.

0.1. Montrer qu’un entier x strictement supérieur à 1 est un nombre LDC si et seulement il n’est divisible par aucun carré de nombre premier inférieur ou égal à x .

0.2. En déduire qu’un entier autre que 1 est un nombre LDC si et seulement si il est un produit de nombres premiers distincts.

0.3. Soient x et y deux nombres LDC. Montrer que leur produit x×y est un nombre LDC si et seulement si x et y sont premiers entre eux.

L’objectif principal de cette partie est désormais d’étudier, un entier n étant fixé, la répartition des nombres LDC dans l’ensemble des entiers

{

^1;2;...;n2

}

^.

1.1. Déterminer les nombres LDC qui sont inférieurs ou égaux à 25.

1.2. Construire un programme capable, un entier n étant donné, de déterminer quels sont les entiers LDC qui sont inférieurs ou égaux à n² ainsi que leur fréquence dans l’ensemble

{

^1;2;...;n2

}

1.3. Application : n=20. Quelle est la proportion de nombres LDC dans l’ensemble

{

^1;2;...;400

}

^?

Dans la résolution des questions suivantes, on aura à utiliser la fonction de Möbius µ vue dans un autre sujet, dont on rappelle les propriétés :

• µ

( )

¹ =¹

• Si x est un nombre LDC, produit de j nombres premiers distincts, alors µ

( ) ( )

^{x = −1 j}

• Dans tous les autres cas µ

( )

^{x =0}

On note P

( ) {

n = p₁;p₂ ;...; pk

}

l’ensemble des nombres premiers inférieurs ou égaux à n.

Pour tout indice i tel que 1≤i≤k, on note Ui l’ensemble des entiers divisibles par p_i². 2.1. Justifier que :

( )

2014 2

2

gjulia i

i p

E n U

card 









=  où E désigne la fonction partie entière.

2.2. Soit j un entier tel que 1≤ j≤k et i₁;...;i_j j indices tels que : 1≤i₁<i₂ <...<i_j ≤k . Exprimer en fonction des entiers

ij

i p

p ;...;

1 le nombre d’éléments de l’ensemble

ij i

i U U

U ∩ ∩...∩

2

1 .

3.1. Interpréter en termes de nombres LDC l’ensemble

U

k i

i

Ui

=

=1

et son complémentaire.

3.2. À l’aide de la formule du crible, donner une expression du nombre d’éléments de l’ensemble

U

k i

i

Ui

=

=1

. 3.3. Compte tenu (notamment) que la fonction µ prend la valeur 0 pour tous les entiers qui ne sont pas LDC, établir que le cardinal de

U

k i

Ui

=

peut s’exprimer par la formule :

( )

2 2 i

E n x U

card =−

∑

_^ _^





U

µ ^et

que le cardinal de l’ensemble des nombres LDC appartenant à

{

^1;2;...;n2

}

peut s’exprimer quant à lui par

la formule :

( ) ( )

2014 1

2 2

gjulia n

x x

E n x LDC

card

∑

≤

≤ 









= µ  ^.

Partie 2.

Dans cette partie, on s’intéresse à la proportion de nombres entiers qui sont des nombres LDC.

Soit n un entier strictement positif fixé.

D’après la partie 1, la proportion de tels entiers dans l’ensemble

{

^1;2;...;n2

}

^{est :}

( ) ( )

2014 1

2 2 2

2

1

gjulia n

x x

E n n x

n LDC

card

∑

≤

≤ 









= µ  . On se propose de comparer cette proportion avec

∑ ( )

≤

≤x n x x

1 2

µ

1. Etablir que pour chaque entier x de

{

^1;2;...;n

}

^: 2 2 2 2 2 2

1 1

1 1

x x E n n n

x ≤









< 

− .

2. En déduire que

( ) ( )

x n E n n x

x x

n x n

x

1 1

1

2 2 2

1

2 <









−

∑



∑

≤ ≤ ≤

≤ µ µ

3. Déterminer, à l’aide des résultats obtenus dans le problème « Tel-Aviv 1976 » prolongé, la limite quand n tend vers l’infini de

( )

2014 1

2 2 2

1

gjulia n

x x

E n n

∑

x

≤

≤ 









µ  .

2. Eléments de correction

0.1. Si un entier est divisible par le carré d’un nombre premier, alors il n’est pas LDC. Réciproquement, si un entier x n’est pas LDC, il est divisible par le carré d’un entier d autre que 1. Cet entier admet au moins un diviseur premier p. Le carré de ce nombre premier divise d², donc divise x. Les nombres non LDC sont caractérisés par le fait d’être divisibles par le carré d’un nombre premier. Par contraposition, ceux qui sont LDC sont caractérisés par le fait de n’être divisibles par aucun carré d’un nombre premier.

De plus, si d est un nombre (premier ou non d’ailleurs) dont le carré divise x, alors d² ≤x. Donc tous les facteurs carrés d’un nombre non LDC sont plus petits que x . Par contraposition, si aucun nombre premier

≤ x ne divise x, alors x est un nombre LDC.

0.2. Il en résulte que si x=p₁^a1...p_k^ak est la décomposition en produit de facteurs premiers d’un entier, cet entier est non LDC si et seulement l’un des facteurs premiers figure avec un exposant au moins égal à 2. Il est LDC si et seulement si : a₁=a₂ =...=a_k =1

0.3. Soient x et y deux entiers LDC.

S’ils ne sont pas premiers entre eux, alors leur PGCD d est un entier autre que 1 qui divise x et qui divise y.

Le carré de d divise le produit x×y, nombre qui n’est pas LDC.

S’ils sont premiers entre eux, alors les décompositions en produits de facteurs premiers x= p₁...p_k et pk

p

y= '₁... ' de ces entiers n’ont aucun facteur premier commun. Le produit x×y= p₁...p_k ×p'₁...p'_k est un produit de facteurs premiers distincts deux à deux. Il est LDC.

1. Le programme libcar est muni d’un argument n. Il commence par dresser la liste pr des nombres premiers qui sont inférieurs ou égaux à n.

Ensuite, il construit deux listes.

La liste lc contient tous les nombres LDC qui sont inférieurs ou égaux à n².

La liste clc est indicatrice des entiers appartenant à

{

^1;2;...;n2

}

qui sont des nombres LDC. Elle est telle que

[ ]





=

LDC pas est n' 0

LDC est 1

clc ^gjulia2014

k si

k si k

Le programme libcar a été exécuté avec

=20 n .

La liste clc indicatrice de l’ensemble des nombres LDC est rappelée sur cette page

« Tableur et listes ». La liste smlc comptabilise le nombre des entiers LDC trouvés, et la liste frlc en indique la fréquence.

Dans l’ensemble

{

^1;2;...;400

}

, il y a 243 entiers qui sont LDC.

Le nombre 53/88 représente la plus petite fréquence obtenue pour le moment (il y a 106 nombres LDC parmi les 176 premiers entiers).

Une étude graphique amène à la conjecture que la fréquence des nombres LDC semble se stabiliser autour d’une valeur voisine de 0,61

2.1. Soit pi un nombre premier inférieur ou égal à n et : n²=qp_i² +ravec 0≤r< p_i² la division euclidienne de n² par l’entier p . Alors: _i²

2014 2

2 2

2 2

gjulia i i

i p

E n p

r p

q n 









=  +

= . ^{Ui =}

{

^{pi2;2pi2...;qpi2}

}

. En tout état de cause, Ui contient exactement q éléments. Quel que soit l’indice i le cardinal de Ui est 











2 2

pi

E n . 2.2. Un entier appartient à

ij i

i U U

U ∩ ∩...∩

2

1 si et seulement si il est divisible par le carré de chaque nombre premier

ij

i p

p ;...;

1 . Mais ces entiers étant premiers, leurs carrés sont premiers entre eux deux à deux, et leur PPCM est exactement leur produit. Un entier appartient à

ij i

i U U

U ∩ ∩...∩

2

1 si et seulement si

il est divisible par le produit ² ... ²

1 ij

i p

p × × . Le cardinal de cet ensemble est 











×

× ²

2 2

1 ... ij

i p

p

E n .

3.1. L’ensemble

U

k i

i

Ui

=

=1

est l’ensemble des entiers de

{

^1;2;...;n2

}

qui sont divisibles par le carré d’au moins un nombre premier inférieur ou égal à n.. Il s’agit donc de l’ensemble des entiers de

{

^1;2;...;n2

}

^{qui ne}

sont pas libres de carrés. Et son complémentaire est l’ensemble des entiers LDC.

3.2. D’après la formule du crible :

^∑

⁼

^∑ ( ) ( )

= ≤ < < ≤ +











 − ∩ ∩ ∩

=







 ^{j k}

j i i k

i i

i j

i i

j

U j

U U card U

card

1 1 ...

1

1

2

1 ...

U

1

C’est à dire : ^{ i i=}

^∑

^{jj==k}_^≤i<

^∑

^<ij≤k

( )

^{− j+ }_^

(

p^{i × ×}pⁱj

)

^_^_^

E n U

card

1 1 ...

2 2 1

1 1 1 ...

U

^.

3.3. Dans cette expression,

ij

i p

p ×...×

1 parcourt l’ensemble des entiers LDC dont les facteurs premiers sont inférieurs ou égaux à n.

Les contributions non nulles à cette somme sont exactement celles correspondant aux carrés d’entiers LDC qui sont plus petits que n (c’est à dire tels que

(

1 ^...2

)

^{2 0}

>













×

× ij

i p

p

E n ) et dans ces contributions

( )

^{−1 j}

représente le nombre de facteurs premiers, c’est à dire

(

pi ×...× pij

)

µ 1

On obtient

∑ ( )

≤

≤ 









− 

=









n x i

i x

E n x U

card

2

2

µ 2

U

car la sommation peut être étendue à tous les entiers situés entre 2 et n. Les termes figurant dans une somme et pas dans l’autre, ayant une contribution nulle, ne changent rien au résultat.

L’ensemble des entiers LDC est l’ensemble complémentaire de

U

i

Ui. Son cardinal est :

( ) ∑ ( )

∑

≤ ≤ ≤

≤ 









= 









 + 

n x n

x x

E n x x

E n x n

1

2 2

2

2 2

2 µ µ ^puisque

( )

^{2 2}

1 n1 n

E =







 µ 

Partie 2.

Si on compare

∑ ( )

≤

≤ 











n

x x

E n n 1 x

2 2 2

1 µ ^avec

∑ ( )

≤

≤x n x x

1 2

µ :

1. Par définition de la partie entière, pour chaque entier x de

{

^1;2;...;n

}

^: 2 ¹ 2 2

2 2 2

+











< 

≤













x E n x n x

E n et

par suite _{2 2}

2 2 2 2

2 2

1 1

1 1

2014

n x E n n x x

E n n

gjulia

+











< 

 ≤











 .

Il en résulte que pour chaque entier x de

{

^1;2;...;n

}

^: 2 2 2 2 2 2

1 1

1 1

x x E n n n

x ≤









< 

−

Par conséquent, pour chaque entier x : _{2 2}

2 2 2

1 1

0 1

x x E n n

x <









− 

≤

2. En effectuant la différence des deux sommes :

( ) ∑ ( ) ∑ ( )

∑

≤

≤

≤

≤

≤

≤ 





















− 

=











− 

n x n

x n

x x

E n n x x

x E n n x

x x

1

2 2 2 2 1

2 2 2

1 2

1 1

1 µ µ

µ .

Or, pour chaque entier x de

{

^1;2;...;n

}

^:

( )

¹₂ ¹_{2 2}²

( )

¹₂ ¹_{2 2}^{2 1}₂

n x

E n n x x

x E n n

x x <





















− 

 ≤























−  µ

µ ^en

appliquant les majorations précédentes et en prenant en compte que µ

( )

^{x ≤1} pour tout entier x.

Par suite :

( ) ( )

n n x

E n n x x

x E n n x x

n x n

x n

x

gjulia

1 1 1

1 1

1

1 2 1

2 2 2 2 1

2 2 2 2

2014

=

 <























− 

 ≤























− 

∑ ∑

∑

≤ ≤ ≤ ≤ ≤

≤ µ µ

3. On en conclut que :

( ) ( )







= 

























∑

∑

≤ →+∞ ≤≤ +∞ ≤

→ n x n

n

n x x

x x

E n

n x 1

2 1

2 2

2 lim

lim 1 µ µ

Cette limite est

( ) ( )

²

1

1

2 ζ

µ ₌

∑

^+∞

x

x comme il a été vu dans le problème Tel-Aviv.

Le lecteur trouvera facilement en effectuant quelques recherches que :

( )

^{2 62}

1

ζ ⁼π , ce qui est voisin de 0,61.