Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux
Voici un autre problème dans lequel on retrouve la fonction de Möbius ...
1. Le sujet
Dans ce problème, on se propose d’étudier la question suivante :
On choisit deux entiers strictement positifs. Quelle est la probabilité que ces deux entiers soient premiers entre eux ?
Notation : On désignera par G l’évènement « les deux entiers choisis sont premiers entre eux » quel que soit le protocole de choix.
Partie 1. Un protocole simple.
Dans cette partie, les deux entiers sont choisis dans l’ensemble
{
1;2;3;4;5;6}
(par exemple en lançant deux dés équilibrés).1. Déterminer la probabilité que ces deux entiers soient multiples de 2 ; soient multiples de 3. Les évènements « a et b sont multiples de 2 » et « a et b sont multiples de 3 » sont-ils indépendants ?
2. Les évènements « a et b sont multiples de 2 », « a et b sont multiples de 3 » et « a et b sont multiples de 5 » sont-ils indépendants deux à deux ? Mutuellement ?
3. Déterminer la probabilité de G.
Partie 2. L’outil informatique.
Dans toute cette partie, on se donne un entier n≥2. Les deux entiers choisis constituent un couple (a, b) de
{
1;2;...;n} {
× 1;2;...;n}
en supposant l’équiprobabilité des n couples. On note G2 n l’évènement : « a et b sont deux entiers premiers entre eux ».1. Proposer un programme permettant, l’entier n étant donné, de calculer la probabilité de l’évènement Gn
(en pratique, au moins quand l’ordre de grandeur de n est de quelques centaines).
2.1. Contrôler les résultats de la partie 1 pour n=6.
2.2. Effectuez quelques autres applications numériques de votre choix.
3. Je vous propose les deux conjectures suivantes :
CJ1 : « Il y a plus de chances d’obtenir deux entiers premiers entre eux que d’obtenir deux entiers qui ne le sont pas ».
CJ2. « La probabilité de G est égale à 5 3 ».
Qu’en pensez vous ?
Partie 3.
Soit n un entier ≥2. Comme dans la partie précédente, les deux entiers choisis constituent un couple (a, b) de
{
1;2;...;n} {
× 1;2;...;n}
en supposant l’équiprobabilité des n2 couples. On note Gn l’évènement : « a et b sont deux entiers premiers entre eux ».1.1. Justifier que :
( )
1 2
=
i
i p
E n P n
p où E désigne la fonction partie entière.
1.2. Soient j tel que 1≤ j≤k et j indices tels que : 1≤i1<i2<...<ij≤k. Justifier que :
2
1 1
1
=
∏
==
=
= u j
u i j
u
u i
u u
p E n P n
p
I
(c’est à dire :(
...)
1 ... 21
1
×
= ×
∩
∩
j j
i i
i
i p p
E n P n
P
p )
2.1. Interpréter l’évènement :
U
k i
i i
n P
H
=
=
=
1
et son évènement contraire.
2.2. Justifier que :
∑
=( ) ∑
= ≤ < < ≤
= +
=
×
− ×
=
j k
j i i k i i
j k
i
i i
j p pj
E n P n
p
1 1 ...
2 1
2
1 1 1 1 1 ...
U
3. En tenant compte des propriétés de la fonction de Möbius µ, montrer que :
( )
∑
==
=
=
−
=
x n
x k
i
i
i x
E n n x
P p
2
2 2
1
1 µ
U
.En déduire que :
( ) ∑
=( )
=
= x n
x
n x
E n n x
G p
1
2 2
1 µ
4. On veut dans cette question comparer p
( )
Gn avec :∑
=( )
=
n x
x x
x
1 2
µ
4.1. Etablir que pour chaque entier x de
{
1;2;...;n}
: 2 2 22 1 1
1 1
x x E n n n
x ≤
<
− et en déduire que :
2 2
2 2
1 2 1 1
x n x n x
E n
n − < −
4.2. Montrer que
∑ ( ) ∑ ( ) ∑
==
≤
≤
≤
≤ < +
− x n
x n
x n
x x n n x
E n n x
x x
1 1
2 2
1 2
1 2 1
1 µ
µ
5. Déterminer, à l’aide des résultats obtenus dans le problème « Tel-Aviv 1976 » prolongé, la limite quand n tend vers l’infini de
( )
2014 1
2 2 2
1
gjulia n
x x
E n n
∑
x≤
≤
µ . Quelle réponse peut-on donner à la question initiale du
problème ?
6. Que se passerait-il si on cherchait la probabilité que trois entiers choisis au hasard soient premiers dans leur ensemble ?
2. Eléments de correction
Partie 1.
1. Parmi les six entiers de
{
1;2;3;4;5;6}
, 3 sont multiples de 2, 2 sont multiples de 3, et 1 est multiple de 2 et de 3.Les probabilités que a et b soient tous deux multiples de 2, de 3, de 2 et de 3 sont égales respectivement à 9
1 4 1 36
; 1 9
;1 4
1 = × . Du fait que 6 est multiple à la fois de 2 et de 3, les évènements « a et b sont multiples de 2 » et « a et b sont multiples de 3 » sont indépendants.
2. L’évènement « « a et b sont multiples de 5 » a pour probabilité 36
1 et est incompatible avec chacun des deux autres. Il n’est donc pas indépendant des deux autres. Ces trois évènements ne sont pas indépendants deux à deux ni, a fortiori, mutuellement indépendants.
3. Les entiers a et b ne sont pas premiers entre eux si et seulement si ils sont tous deux multiples de 2, ou de 3 ou de 5. La probabilité de l’évènement réunion « a et b sont multiples de 2 ou sont multiples de 3 ou sont multiples de 5 » est égale à
36 13 36
1 36
1 9 1 4
1 − =
+ + . Avec les notations des questions suivantes, il s’agit de
( ) ( ) ( ) (
P2 p P3 p P5 p P2 P3)
p + + − ∩ (toutes les autres contributions éventuelles sont nulles) La probabilité que a et b soient premiers entre eux est égale à
36 23 36 1−13= .
Cet exemple montre au passage que la formule que l’on aurait pu conjecturer :
( ) ∏
≤
−
=
6 2
1 1
pi pi
G
p est
fausse.
Partie 2.
Le programme entreux ci-contre a pour argument l’entier n.
Il comptabilise systématiquement les couples d’entiers de
{
1;2;...;n}
gjulia2014 qui sont premiers entre eux. Il renvoie sous forme de liste de trois nombres le cardinal de Gn, celui de l’évènement contraire et la probabilité de Gn.On peut aussi proposer, pour des valeurs de n plus grandes, une simulation de l’expérience.
Le programme simul est muni de deux arguments : l’entier n et le nombre e d’essais voulus.
La liste l enregistre le résultat de chaque essai : 1 si l’essai a abouti à deux entiers premiers entre eux, 0 sinon.
Provisoirement, on fait afficher les résultats de chaque essai et en fin de programme la liste l. Ces affichages seront désormais effacés, puis on va lancer
le programme avec 1000000 ; 2500
2014 =
= e
n
gjulia .
Sur 2500 essais, le résultat de cette simulation a donné 1507 fois deux entiers premiers entre eux.
Ce qui donne, en ce qui concerne les fréquences d’obtention de deux entiers premiers entre eux, le graphique ci-contre.
On peut proposer, comme intervalle de confiance de la probabilité de G2500 au seuil 95 %, l’intervalle
=
− +
2500
;1557 2500 1457 2500
1 2500
; 1507 2500
1 2500 1507
2014 ia gilbertjul
.
La conjecture CJ1 peut être retenue. Au seuil de confiance 95 %, on peut considérer qu’il est exact que
(
G2500)
>0,5p .
Quant à la conjecture CJ2, elle est plausible puisque 0,6 est dans l’intervalle de confiance obtenu. (Mais
« plausible » ne signifie pas « exacte » ...)
Partie 3.
1.1. Soit pi un nombre premier plus petit que n et : n=qi pi+ri avec 0≤ri <pi la division euclidienne de n par pi. Alors :
i i i
i p
r p
q = n + et
2014 gjulia
i
i p
E n
q
= puisque ≤ < i+1
i
i q
p
q n .
Il y a qi entiers de
{
1;2;...; n}
qui sont divisibles par pi, les entiers pi,2pi,...,qipi. La probabilité qu’un entier de{
1;2;...; n}
soit divisible par pi est égale àn qi
.
Puisque les entiers a et b sont choisis indépendamment l’un de l’autre, la probabilité qu’ils soient tous les deux divisibles par pi est égale à
2
n qi
, c’est à dire que :
( )
1 2
=
i
i p
E n P n
p
(Ce résultat ne dépend d’ailleurs pas du fait que pi soit on non un nombre premier).
1.2. Un couple
( )
a,b appartient à l’évènementI
j u
u iu
P
=
=1
si et seulement si a et b sont tous deux divisibles par chaque nombre premier piu , c’est à dire si et seulement si ils sont tous deux divisibles par le PPCM de ces nombres. Puisque ces nombres sont des nombres premiers, leur PPCM est égal à leur produit
∏
== j u
u iu
p
1
.
D’après la remarque faite en fin de question 1.1 :
2
1 1
1
2014
=
∏
==
=
= u j
u i j
u
u i
gjulia u u
p E n P n
p
I
.2.1. Si un couple
( )
a,b appartient àU
i ki i
n P
H
=
=
=
1
alors a et b sont tous deux divisibles par l’un au moins des nombres premiers pi qui sont inférieurs ou égaux à n. Ils ne sont pas premiers entre eux.
Réciproquement, si a et b ne sont pas premiers entre eux, ils ont au moins un diviseur commun d autre que 1, diviseur qui a lui-même au moins un diviseur premier pi. Le couple
( )
a,b appartient à au moins un des Pidonc à leur réunion. Ainsi, un couple
( )
a,b appartient àU
k i
i i
n P
H
=
=
=
1
si et seulement si a et b ne sont pas premiers entre eux. Hn et Gn sont deux évènements contraires.
2.2. D’après la formule du crible :
∑
=( ) ∑
= ≤< < ≤
=
=
= +
=
−
=
j k
j i i k
j u
u i j
k i
i i
j
gjulia p Pu
P p
1 1 ... 1
1
1 2014 1
1
I
U
. Ce qui donne :∑
=( ) ∑
= ≤ < < ≤
= +
=
×
− ×
=
j k
j i i k i i
j k
i
i i
j
gjulia
pj
p E n P n
p
1 1 ...
2 1
2
1 1
2014
1 ...
1 1
U
3. Lorsqu’on fait varier les indices i ,...,1 ij,
ij
i p
p ×...×
1 décrit l’ensemble des produits de nombres premiers
Dans la somme précédente :
Ou bien p p n
ij i ×...× >
1 et dans ce cas 0
1 ...
=
×
× ij
i p
p
E n , ces entiers n’apportent aucune contribution à la somme.
Ou bien p p n
ij
i × × ≤
≤ ...
2 1 et dans ce cas :
( ) ( )
×
× ×
×
−
=
×
− + ×
j j
j i i
i i
i i
j
p p
E n p p p
p E n
... ...
1 ...
1 1
1
1 µ .
On peut d’autre part ajouter à la somme tous les termes
( )
2
x E n
µ x pour lesquels x∈
{
2;...;n}
n’est pas libre de carrés car pour ceux-là, µ( )
x =0On obtient :
∑ ( )
≤
≤
=
=
−
=
n x k
i
i
i x
E n n x
P p
2
2 2
1
1 µ
U
, les termes figurant dans une somme et pas dans l’autre ayant une contribution nulle.( ) ∑
=( )
=
=
=
+
=
−
= x n
x k
i
i i
n x
E n n x
P p G
p
gjulia
2
2 2
1
1 1 1
2014
U
µ , et comme( )
11 1
1 2
2 =
n
n µ E , finalement :
( ) ∑
=( )
=
= x n
x
n x
E n n x
G p
1
2 2
1 µ .
4. Pour comparer p
( )
Gn avec :∑
=( )
=
n x
x x
x
1 2
µ :
4.1. Soit x un entier x de
{
1;2;...;n}
. Par définition de la partie entière : +1
<
≤
x E n x n x
E n ce qui
implique, en tenant compte aussi que 1≤x≤n :
x n x E n x
n ≤
<
−
≤ 1
0 puis
x x E n n n x
1 1
1
0 1 ≤
<
−
≤ et en
élevant au carré : 2
2 2
2 1 1
1 1
x x E n n n
x ≤
<
− .
On obtient : 2 1 1 1 0
2 2 2
2 − ≤
< +
− x x
E n n n x
n puis 2 2
2 2
1 2 1 1
n x n x x E n
n − < −
4.2.
∑ ( ) ∑ ( ) ∑ ( )
≤
≤
≤
≤
≤
≤
−
=
−
n x n
x n
x x
E n n x x
x E n n x
x x
gjulia
1
2 2
2 1
2 2
1 2
1 1 1
2014 µ
µ µ
( ) ∑ ( ) ∑ ( ) ∑
∑
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
−
≤
−
≤
−
n x n
x n
x n
x x
E n n x x
E n n x x
x E n n x
x x
1
2 2
2 1
2 2
2 1
2 2
1 2
1 . 1 1
. 1
1 µ µ
µ
( ) ( )
n x n n
x n x
E n n x
x x
n x n
x n
x n
x
1 1 2 1 2 1
1 1
2 1
2 2
1
2 −
=
−
≤
−
∑
∑ ∑
∑
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
µ µ .
Compte tenu de la majoration classique
( )
nn x
x
ln 1 1
1
+
∑
≤≤
≤
:
( ) ( ) ( ( ) ) ( )
n n n n
n x
E n n x
x x
n x n
x
ln 2 1 ln 1
2 1 1
1
2 2
1 2
= +
− +
≤
−
∑
∑
≤ ≤≤≤
µ µ
.
La différence est majorée en valeur absolue par une suite qui converge vers zéro.
( ) ( )
( )
2lim 1
1
2 ζ
µ =
=
∑
∞∞
→ x
G x p n
n
5. Ce résultat donne un sens à la question initiale : « On choisit deux entiers strictement positifs. Quelle est la probabilité que ces deux entiers soient premiers entre eux ? ».
Il n’y a en effet aucun protocole réalisable permettant de « choisir deux entiers », il n’est pas possible de munir N* d’une probabilité. Telle qu’elle était posée, la question n’avait pas de sens1.
Le protocole appliqué est de choisir le couple d’entiers dans l’ensemble
{
1;2;...;n}
2qui peut, quant à lui, être muni de l’équiprobabilité, puis de regarder ce qu’il se passe lorsqu’on fait tendre n vers l’infini.En conclusion, la limite de p
( )
Gn , lorsqu’on fait tendre n vers l’infini, est égale à( )
21
ζ . C’est en ce sens seulement que l’on peut dire que la probabilité que deux entiers choisis de « façon quelconque » soient premiers entre eux est égale à
( )
2 621 ζ =π
6. On peut considérer un triplet
(
a,b, c)
choisi dans l’ensemble{
1;2;...;n muni de l’équiprobabilité.}
3Dire que ces entiers sont premiers dans leur ensemble, c'est dire que ces trois entiers n’ont en commun aucun autre diviseur que l’unité.
Dans ce cas, l’évènement contraire de Gn est l’évènement « il existe au moins un nombre premier inférieur ou égal à n qui divise à la fois a, b et c ».
Dans ce cas, on note Pi l’évènement « les trois entiers a, b, c sont tous divisibles par pi » et la probabilité de cet évènement est :
( )
1 3
=
i
i p
E n P n
p . On reprend donc la démarche précédente avec des « cubes à la
place des carrés ». On aboutit à :
( ) ∑
=( )
=
= x n
x
n x
E n n x
G p
1
3 3
1 µ .
Pour chaque entier x de
{
1;2;...;n}
, de l’inégalitéx x E n n n x
1 1
1
0 1 ≤
<
−
≤ on peut déduire que
3 3 3
3 1 1
1 1
x x E n n n
x ≤
<
− puis 3 3 1 1 1 0
3 2 3
3 2
2 − ≤
<
− +
− x x
E n n n x n x
n puis
3 2 2 3 3 3
1 3 3 1 1
n x n x n x x E n
n − < − +
.
En comparant la probabilité de Gn avec
∑ ( )
≤
≤x n x x
1 3
µ :
( ) ∑ ( ) ∑
∑
−
≤
− n
n E E
x x 3 1 1 3
1 µ .
µ
( ) ( )
− +
≤
− +
≤
−
∑
∑ ∑ ∑
∑
∞=
∞
=
≤
≤
≤
≤
≤
≤ 1
2 1
2 1
3 2 2 1
3 3
1 3
1 1 3 3 1
1 1 3 . 3
1
2014
x x
n x n
x n
x x nx n x n n x n x n
E n n x
x x
gjulia
µ µ
La différence est majorée par une suite convergeant vers zéro.
( ) ( ) ( )
3lim 1
1
2014 =
∑
∞ µ 3 =ζ∞
→ x
G x p
gjulia
n n .
6. Point de vue informatique.
Le programme trointreux est muni d’un argument n (cet entier étant, en pratique, de l’ordre de quelques dizaines d’unités). Ce programme comptabilise tous les triplets de
{
1;2;...;n}
3 qui sont constitués de trois entiers premiers entre eux dans leur ensemble (compteur u). Il renvoie une ligne de résultats donnant le nombre de triplets premiers entre eux et leur proportion dans{
1;2;...;n}
3 pour de petites valeurs de n.Pour les valeurs de n testées, la proportion de triplets premiers entre eux est voisine de 0,83.
Une autre approche est de construire une simulation.
Le programme simtrois est muni de deux arguments, l’entier n qui n’est plus soumis à la contrainte d’ordre de grandeur de quelques dizaines d’unités, et le nombre e de triplets choisis aléatoirement. Ce programme renvoie la fréquence de triplets premiers entre eux observés et un intervalle de confiance contenant, au seuil 0,95, la probabilité qu’un triplet soit constitué de nombres premiers entre eux dans leur ensemble.
On pourra comparer avec la valeur théorique obtenue ζ1
