1/19 - TS Spé Math : Chap.7 : Entiers premiers entre eux – Théorème de Bezout – Théorème de Gauss
Chapitre n°7 : Entiers premiers entre eux.
Problématique :
Les mathématiciens, dés l'antiquité grecque, se sont intéressés aux solutions entières des équations du type ax+by=c, où toutes les lettres sont des nombres entiers. On appelle ces équations des équations diophantiennes, du nom du premier mathématicien (Diophante d'Alexandrie – III
emesiècle avant notre aire) dont on a encore trace des recherches concernant ces équations.
Objectifs :
m4. PGCD de deux entiers
m5. Entiers premiers entre eux. (def).
m6. Théorème de Bezout.
m7. Théorème de Gauss.
Activité d'approche n°1
Un panneau publicitaire a la forme d’un rectangle de dimensions 4,50 mètres et 1,80 m. On veut le recouvrir d’encarts publicitaires carrés de même côté de façon optimale, c’est-à-dire que la régie publicitaire ne veut perdre aucun espace sur ce panneau. Quelle doit être la taille maximale des encarts publicitaires que la régie peut vendre à ses clients ?
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Cours n°1
Chapitre n°7 : Entiers premiers entre eux.
I) PGCD de deux entiers.
On rappelle l'
Axiome n°1 :
Toute partie non vide de N possède un plus petit élément.
Définition n°1 : PGCD
Soient a et b deux nombres entiers relatifs non nuls. On nomme D(a) et D(b) les ensembles de diviseurs respectifs de a et b. On appelle Plus Grand Commun Diviseur l'élément le plus grand de …... .
On le note PGCD(a,b).
Remarque :
Dans la suite, on considérera essentiellement les nombres entiers naturels. En effet, le plus grand diviseur commun à deux nombres négatifs est un nombre positif (exemple : le pgcd de -8 et -4 est 4).
Propriété n°1
1. Si a=0 et b≠0, PGCD(a,b)=...
2. Si a=1 et b≠0, PGCD(a,b)=...
3. Si b divise a, alors PGCD(a,b)=...
4. PGCD(ka,kb) = k PGCD(...) Démonstration
1. b divise 0 , donc …...
2. 1 n'est divisible que par …...
3. ...
...
4. Soit d=PGCD(a,b) et d'=PGCD(ka,kb).
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kd divise d' :
...
Donc il existe k' tel que d'=...
d' divise aussi …..., donc k'... divise …..., donc k'd divise
… et … , donc k'd divise aussi … Donc k'=...
Donc d'=...
Exemple n°1
Calculer le PGCD de 68 et 51.
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...
...
...
...
Propriété n°2 (Algorithme d'Euclide)
Soient a et b deux nombres entiers naturels non nuls tels que b ne divise pas a.
Alors :
1) La suite des divisions euclidiennes de a par b, puis de b par le reste de la di- vision précédente noté r
0, puis de r
0par le reste de la division précédente noté r
1, etc. finit par …...
2) Le dernier reste non nul est le …...
Démonstration a = bq
0+ r
0avec b>...≥....
b=r
0q
1+ r
1avec …...
La suite r
0, r
1,...est constituée d'..., et strictement
…... donc …...
Soit n
0le rang pour lequel …...
On a r
n0+1
=... et donc r
n0
divise …...
D = PGCD(a,b) et d = PGCD(b,r
0)
→ D ≤ d :
D divise …. et …. . Or r
0=...donc D …...
Donc D divise le …...
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Donc …...
→ d ≤ D :
d divise …. et …. . Or a = …... donc d …...
Donc d divise le …...
Donc …...
Donc d … ....
De proche en proche, on a donc : PGCD (…...) =PGCD (…...) Or r
n0
divise r
n0-1
, donc PGCD(r
n 0-1,r
n0