Chapitre n°7 : Entiers premiers entre eux.
Objectifs :
m4. PGCD de deux entiers
m5. Entiers premiers entre eux. (def).
m6. Théorème de Bezout.
Activité d'approche n°1
Un panneau publicitaire a la forme d’un rectangle de dimensions 4,50 mètres et 1,80 m. On veut le recouvrir d’encarts publicitaires carrés de même côté de façon optimale, c’est-à-dire que la régie publicitaire ne veut perdre aucun espace sur ce panneau. Quelle doit être la taille maximale des encarts publicitaires que la régie peut vendre à ses clients ?
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Cours n°1
Chapitre n°7 : Entiers premiers entre eux.
I) PGCD de deux entiers.
Définition n°1
Soient a et b deux nombres entiers relatifs non nuls. On nomme D(a) et D(b) les ensembles de diviseurs respectifs de a et b. On appelle Plus Grand Commun Diviseur l'élément le plus grand de …...
On le note PGCD(a;b).
Propriété n°1
1. Si a=0 et b≠0, PGCD(a;b)=...
2. Si a=1 et b≠0, PGCD(a;b)=...
3. PGCD(a;b)=PGCD(–a;b)=PGCD(...).
Démonstration
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Exemple n°1
Calculer le PGCD de 68 et 51.
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Propriété n°2 (algorithme d'Euclide 1/2)
Soient a, b et k trois nombres entiers relatifs non nuls. On nomme D(a) et D(b) les ensembles de diviseurs respectifs de a et b. Alors on a :
D(a) ∩ D(b) = D(b) ∩ D(... –…...) Démonstration
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Propriété n°3 (algorithme d'Euclide 2/2)
Soient a et b deux nombres entiers relatifs non nuls, et r le reste de la division euclidienne de a par b. Alors PGCD(a;b) = PGCD(...).
Démonstration :
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Exemple n°2
Calculer le PGCD de 1368 et 1351.
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Définition n°2
Deux entiers sont dits premiers entre eux si …...
Exemple n°3
1368 et 1351 sont-ils premiers entre eux ?
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Propriété n°4
Soient a et b deux nombres entiers relatifs non nuls, et d leur PGCD.
Soient a' = a
d et b' = b
d . Alors a' et b' …...
Réciproquement, s'il existe d tel que a' = a
d et b' = b
d soient …...
…..., alors d est …...
Démonstration :
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Exercice n°1 Exercice n°2 Exercice n°3 Exercice n°4
Cours n°2
II) Théorème de Bezout
Propriété n°5 (théorème de Bezout)
Soient a et b deux nombres entiers relatifs non nuls.
a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers …...
…... tels que …...
Démonstration
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Exemple n°4
