Chapitre n°6 : Entiers premiers entre eux.
Problématique :
Les mathématiciens, dés l'antiquité grecque, se sont intéressés aux solutions entières des équations du type ax+by=c, où toutes les lettres désignent des nombres entiers. On appelle ces équations des équations
diophantiennes, du nom du premier mathématicien (Diophante d'Alexandrie – III
emesiècle avant notre aire) dont on a encore trace des recherches concernant ces équations.
Objectifs :
Niveau a eca n
C6.a 1 Savoir calculer le PGCD et le PPCM de deux nombres,
savoir si deux nombres sont premiers entre eux.
C6.b 1 Savoir déterminer, pour deux entier x et y premiers
entre eux, u et v tels que ux + vy = 1. Savoir déterminer si deux polynômes sont premiers entre eux.
C6.c 1 Savoir résoudre des équations diophantienne du type
ux + vy = c.
C6.d 1 Savoir utiliser le petit théorème de Fermat.
Activité d'approche n°1
Un panneau publicitaire a la forme d’un rectangle de dimensions 4,50 mètres et 1,80 m. On veut le recouvrir d’encarts publicitaires carrés de même côté de façon
optimale, c’est-à-dire que la régie publicitaire ne veut perdre aucun espace sur ce panneau. Quelle doit être la taille maximale des encarts publicitaires que la régie peut vendre à ses clients ?
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
Cours n°1
Chapitre n°6 : Entiers premiers entre eux.
I) PGCD de deux entiers.
On rappelle l'
Axiome n°1 :
Toute partie non vide de N possède un plus petit élément.
Définition n°1 : PGCD
Soient a
etb
deux nombres entiers relatifs non nuls. On nommeD(a)
etD(b)
lesensembles de diviseurs respectifs de
a et b.
On appelle Plus Grand Commun Diviseur l'élément le plus grand de…...
.On le note
PGCD(a,b)
.Remarque :
Dans la suite, on considérera essentiellement les nombres entiers naturels. En effet, le plus grand diviseur commun à deux nombres négatifs est un nombre positif (exemple : le pgcd de -8 et -4 est 4).
Propriété n°1
1. Si a=0
etb≠0
,PGCD(a,b)=...
2.
Si a=1
etb≠0
,PGCD(a,b)=...…
3. Si
c
divisea
etb
, alorsc
d………………...
4. Si
b
divisea
, alorsPGCD(a,b)=...
5.
PGCD(ka,kb) = k PGCD(...)
Démonstration
1.b
divise0
, donc…...
2.
1
n'est divisible que par …...…3.
c
|a
, doncc
appartient àD(a).
4. ...
...
...
…
5. Soit
d=PGCD(a,b)
etd'=PGCD(ka,kb).
kd
divised' :
...
... Donc il existe
k'
tel qued'=...
d'
divise aussi …..., donck'...
divise…...
, donck'd
divise…
et … , donck'd
divise aussi … Donck'=...
Donc
d'=...
Exemple n°1
Calculer le PGCD de
68
et51
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Propriété n°2 (Algorithme d'Euclide)
Soient a
etb
deux nombres entiers naturels non nuls tels queb
ne divise pasa
.Alors :
1) La suite des divisions euclidiennes de
a
parb
, puis deb
par le reste de la division précédente notér
0, puis der
0 par le reste de la division précédente notér
1, etc. finit par …...2) Le dernier reste non nul est le
…...
Démonstration a = bq r
0 avecb>...≥
....b=r
0q
1+ r
1 avec …...La suite
r
0,r
1,...
est constituée d'..., et strictement…...………...
donc ...
Soit
n
0 le rang pour lequel …...………..
On a
r
n0+1=...
et doncr
n0 divise …...D = PGCD(a,b)
etd = PGCD(b,r
0)
→ D ≤ d :
D
divise …. et …. . Orr
0=...
doncD …...
Donc
D
divise le …...Donc
…...
→ d ≤ D :
d
divise …. et …. . Ora = …...
doncd
…...
Donc
d
divise le …...Donc
…...
Donc
d
… ....De proche en proche, on a donc :
PGCD (
…...) =PGCD (…...)
Or
r
n0 divise
r
n0-1, donc
PGCD(r
n 0-1,r
n0
)=...
Donc ...
...
Exemple n°2
Calculer le PGCD de -
1368
et1351
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Définition n°2 : premiers entre eux
Deux entiers sont dits premiers entre eux si …...
Exemple n°3
1368
et1351
sont-ils premiers entre eux ?...
...
...
...
...
...
Définition n°3 : PPCM
Soit
a
etb
deux entiers naturels non nuls.L'ensemble des multiples strictement positifs communs à
a
et àb
admet un plus petit élémentm
, appelé plus petit commun multiple. On le notem=PPCM(a,b)
.Exemple n°4
Calculer
PPCM(18;12).
...
...
...
...
...
...
Calculer
PPCM(24;40)
...
...
...
...
...
...
Propriété n°3
Soit
a
etb
deux entiers naturels non nuls.Si
b
divisea
, alorsPPCM(a,b)=....
Démonstration
Si
b
divisea
,a
est un …...Et
a
est le plus petit multiple de ...Donc
PPCM(a,b)=...
Se tester n°1 - C6_1 (/7) Objectifs :
Niveau a eca n
C6.a 1 Savoir calculer le PGCD et le PPCM de deux nombres,
savoir si deux nombres sont premiers entre eux.
Ex.1
[2]Calculer le PGCD de
39 et 52
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Ex.2
[2]Calculer le PGCD de
247 et 285
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Ex.3
[2]238 et 285.
sont-ils premiers entre eux ? Justifier....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Ex.4
[1]Calculer
PPCM(15;20).
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
…
Indices et résultats
Voir exemples du cours.
Interrogation n°1 Objectifs :
C6.a_Niv1 :
Savoir calculer le PGCD et le PPCM de deux nombres, savoir si deux nombres sont premiers entre eux.Exercice n°1 Ex.23 et 24 p.62 Exercice n°2
Ex.11 p.62 Exercice n°3
Ex.32 p.63 Exercice n°4
Ex.97 p.67
Activité d'approche n°2
1. En utilisant l'algorithme d'Euclide, calculer le PGCD de
a = 3456
etb = 5000
, en écrivant les égalités successives....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
2. En utilisant ces égalités, démontrer qu'il existe deux nombres
u
etv
relatifs tels queau + bv = PGCD(a,b).
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
3. Déduire de ce qui précède une solution relative de l'équation
ax + by = 24
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Cours n°2 II) Théorème de Bezout
Propriété n°4 (égalité de Bezout)
Soient a et b deux nombres entiers relatifs non nuls .
Alors il existe un couple(u,v)
d'entiers relatifs tel queau + bv = PGCD(a,b)
.Démonstration
Soit
G
l'ensemble formé par les entiers naturels strictement positifs de la formema + nb
.G
est une partie deN
non vide : …...G
admet donc un plus petit élémentd = au+bv
. (cf axiome n°1)→ PGCD(a,b) ≤ d
:...
...
...
...
...
...
→ d ≤ PGCD(a,b)
:a = dq +r
avec0 ≤ r < d
.Donc
r = ... = …...= a(...) +b(...)
Donc
r
appartient à….
Or
r < d
.Donc
r =
... Doncd
…...a
.De même,
d
…... …. (même raisonnement) Doncd
…..PGCD(a,b)
.→Donc
d
…..PGCD(a,b)
.Exercice n°5 Résoudre dans N
235x + 145y = PGCD(235;145)
Exercice n°6 Résoudre dans N
2353x + 1451y = PGCD(2353;1451)
Exercice n°7 Résoudre dans N
3153x + 4651y = PGCD(3153;4651)
Exercice n°8 Résoudre dans N
2364x + 1448y = 4×PGCD(2364;1448)
Cours n°3
Propriété n°5 (théorème de Bezout)
Deux entiers relatifs
a
etb
sont premiers entre eux si et seulement s'il existe deux entiers relatifsu
etv
tels queau + bv = 1.
Démonstration (ROC)
→
Si deux entiers naturelsa
etb
sont premiers entre eux,D=PGCD(a,b)=...
D'après l'égalité de Bezout ...
→
Si deux entiers naturelsa
etb
sont tels qu'il existe un couple(u,v)
d'entiers relatifs tel queau + bv = 1
.PGCD(a,b)
divise…..
et divise…..
, doncPGCD(a,b)
divise …...Donc
PGCD(a,b)
vaut …Exemple n°5
Montrer que
59
et27
sont premiers entre eux, puis déterminer un couple d'entiers relatifs(x,y)
tels que59x + 27y = 1.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Corollaire n°1 de la propriété n°5
L'équation
ax + by = k
admet des solutions entières si, et seulement si,k
est un…...
Démonstration
→Si
k
est un multiple dePGCD(a,b) :
il existek'
tel que …...D'après la propriété n°4, il existe .…...
…...
Choisissons
x=
…... ety = …... :
ce sont alors des solutions de...
...
→S i
k
n'est pas un multiple dePGCD(a,b) :
PGCD(a,b)
divisea
etb
, donc divise…...
. Ce qui est contradictoire.Exemple n°6
L'équation
4x + 7y = 2
admet-elle une solution dans Z ?...
...
L'équation
4x + 8y = 2
admet-elle une solution dans Z ?...
...
Corollaire n°2 de la propriété n°5
Soient a et b deux nombres entiers relatifs non nuls, et d
leurPGCD
.1) Soient
a' = a
d
etb' = b
d
. Alorsa'
etb'
…...2) Réciproquement, s'il existe
d
tel quea' = a
d
etb' = b
d
soient …...…..., alors
d
est…...
Démonstration :
1) Soient a et b deux nombres entiers relatifs non nuls, et d
leurPGCD
.La propriété n°4 donne : il existe
u
etv
tels que :...En divisant chaque membre par
d
:...
Donc, d'après la propriété
n°5 : ...
...
...2) Supposons que
a'
etb'
soient premiers entre eux.→ d ≤
PGCD (a,b) :
d
…...a
et …..., donc…...
→
PGCD (a,b) ≤ d :
a'
etb'
soient premiers entre eux, donc il existe …...donc
d = au+...
Mais
PGCD(a,b)
divisea
et …..., donc…...
...
...
→
Doncd = …...
Exemple n°7
Soit
n
un entier naturel. Montrer que les nombres3n + 5 et 5n + 8
seront toujours premiers entre eux, quelque soit la valeur den
choisie....
...
...
...
Exemple n°8
Soit
n
un entier naturel. Montrer que la fraction6 n – 3
3 n – 2
est irréductible....
...
...
...
...
...
Se tester n°3 - C6.3 (/10) Objectifs :
Niveau a eca n
C6.b 1 Savoir utiliser le théorème de Bezout
Exercice n°1
[3 pts : pg:1 – u et v : 2]Montrer que
255 et 117
sont premiers entre eux, puis déterminer un couple d'entiers relatifs(x,y)
telsque 255x + 117y = 1.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
Exercice n°2
[2 pts: pg:1 – j:1]
L'équation
102x + 26y = 2
admet-elle une solution dans Z ? Justifier....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
Exercice n°3
[2 pts : B:1 – concl:1]Soit
n
un entier naturel. Montrer que les nombres 5n+6 et 4n+5 seront toujours premiers entre eux, quelque soit la valeur den
choisie....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exercice n°4
[3 pts: B:1 – just:2]
Soit
n
un entier naturel. Montrer que la fraction5 n+6
4 n+5
est irréductible....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
Indices et résultats Voir exemples du cours.
Interrogation n°3 Objectifs :
C6.b_Niv1 :
Savoir déterminer, pour deux entier x et y premiers entre eux, u et v tels que ux + vy = 1. Savoir déterminer si deux polynômes sont premiers entre eux.Exercice n°9 Ex.33 et 34 p.63 Exercice n°10
Démontrer que, pour tout entier relatif k, 7k+3 et 2k+1 sont premiers entre eux.
Exercice n°11
Prouver que la fraction n
2 n+1 est irréductible pour tout entier naturel n.
Exercice n°12*
Prouver que la fraction 2 n +1
n ( n +1 ) est irréductible pour tout entier naturel n.
Exercice n°13
Déterminer un couple d'entiers relatifs (x,y) tel que : 221x – 331y = 1
Cours n°4 III) Théorème de Gauss.
Propriété n°6 (Théorème de Gauss)
Soient
a
etb
deux entiers relatifs non nuls, etc
un entier relatif.Si
a
divisebc
et sia
est premier avecb
, alors …...Démonstration (ROC) a
etb
sont premiers entre eux, donc…...
Donc,
acu + …... = … a
diviseacu
.a
divise …...., donca
divise …...Donc
a
divise ….Corollaire n°1 de la propriété n°6
Soient
a
etb
deux entiers relatifs non nuls, etp
un nombre premier.Si
p
diviseab
, alorsp
divise….
ou …...Démonstration
Si
p
ne divise pasa
,a
etp
sont premiers entre eux. Donc …...…...
...
...
...
Remarque :
Si
p
n'est pas premier, il y a des cas oùp
divise le produit tout en ne divisant pas chaque facteur :p=21, a=9
etb=49.
Corollaire n°2 de la propriété n°6
Soient
a
etb
deux entiers relatifs non nuls premiers entre eux, etc
un entier relatif.Si
c
est divisible para
etb
, alorsc
est …...ab
.Démonstration
a
etb
sont premiers entre eux, donc…...
Donc,
acu + …... = …
a
divisec
, donc il existek
tel que …...b
…...Donc
acu + …...
peut s'écrire : …...Comme
ab
divise …... et …...,ab
divisec
.Corollaire n°3 de la propriété n°6
Soient
a,b,c
etd
quatre entiers relatifs non nuls.On suppose que
ab=cd
.Si
a
etc
sont premiers entre eux, alorsa
divise...
etc
divise….
.Démonstration
Puisque
ab=cd
,a
divisecd
(le résultat donneb
) Commea
est premier avecc
,a
divise
d
(théorème de Gauss)Exemple n°9
Soit
A=(n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2)
. Montrer queA
est divisible par10.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°10
Résoudre l'équation
17x – 33y = 1
.1. On cherche une solution particulière (soit intuitivement, soit avec la technique abordée à l'exemple n°5) :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
2. On soustrait l'égalité de la solution particulière à l'équation, membre à membre : ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
3. On en déduit une égalité du type
ab=cd
, et on applique le corollaire n°3 : ......
...
...
...
...
...
...
...
...
4. On traduit cette divisibilité par une relation du type
x=αk
+β
ety=α'k
+β', k ∈
Z : ......
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°11
Résoudre l'équation
15x + 8y = 5
.1. On cherche une solution particulière à l'équation
15x + 8y = 1
(soit intuitivement, soit avec la technique abordée à l'exemple n°5), et on multiplie cette solution pour trouver une solution particulière de départ :...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
2. On soustrait l'égalité de la solution particulière à l'équation, membre à membre : ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
3. On en déduit une égalité du type
ab=cd
, et on applique le corollaire n°3 : ......
...
...
...
...
...
...
...
...
4. On traduit cette divisibilité par une relation du type
x=αk
+β
ety=α'k
+β', k ∈
Z : ......
...
...
...
...
...
...
...
...
Se tester n°4 - C6.4 (/9) Objectifs :
Niveau a eca n
C6.c 1 Savoir résoudre des équations diophantienne du type
ux + vy = c.
Ex.1
[3 pts]Soit
A=(n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2)
. Montrer queA
est divisible par10.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Ex.2
[3 pts : s.p:1 – soust:0.5 – g:0.5 – sol:1]Résoudre l'équation
17x – 33y = 1
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
... ...
... ...
... ...
... ...
...
...
...
...
... ...
... ...
... ...
... ...
...
...
...
...
...
...
...
...
Ex.3
[3 pts]Résoudre l'équation
17x + 4y = 5
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
... ...
... ...
... ...
...
... ...
... ...
... ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
Interrogation n°4 Objectifs :
C6.c_Niv1 :
Savoir résoudre des équations diophantienne du type ux + vy = c.Exercice n°14
En utilisant le théorème de Gauss, déterminer les couples d'entiers relatifs
(a,b)
qui vérifient :33a –45b = 0.
Exercice n°15 Ex.36 p.63 Exercice n°16
Ex.37 p.63 Exercice n°17*
Ex.93 p.66 Exercice n°18*
Ex.89 p.66 Exercice n°19**
Sujet A p.73 Exercice n°20**
Sujet C p.73
Cours n°5
IV) Conséquences du théorème de Gauss
Propriété n°7 (Relations entre PPCM et PGCD) ( admis )
Soient
a
etb
deux entiers naturels.1) On a :
ab = …... × …...
2) Si
a
etb
sont premiers entre eux, alorsPPCM(a,b)=...
Exemple n°12
Déterminer tous les couples d'entiers naturels
a
etb
tels queab=6480
etPPCM(a,b)=540
.1. On calcule le pgcd de
a
etb
:...
...
...
...
2. On en déduit le produit
a'b'
des quotients dea
etb
par leur pgcd :...
...
...
...
3. On regarde toutes les possibilités d'entiers pour
a'
etb'
et on en déduit toutes les possibilités poura
etb
:...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Propriété n°8 (Petit théorème de Fermat) ( admis )
Si
p
est un nombre premier eta
un entier naturel non divisible parp
, alorsa
p-1– 1
est divisible parp.
Corollaire de la propriété n°8
Si
p
est un nombre premier eta
un entier naturel, alorsa
pa (p) Démonstration
Si
a=0, …...
……….
Sinon :
a
p– a = a ( …...)
. Donc …... divisea
p– a
.→
Sia
n'est pas un multiple dep
: on applique le petit théorème de Fermat :…...……….
Par transitivité,
p
divise …... et donca
p ….(p).
→
Sia
est un multiple dep
:p
divise …. eta
divise …...Par transitivité,
p
divise …... et donca
p ….(p).
Exemple n°13
Montrer que
n
13– n
est divisible par39
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Se tester n°5 - C6.5 Objectifs :
Niveau a eca n
C6.d 1 Savoir utiliser le petit théorème de Fermat.
Ex.1
Déterminer tous les couples d'entiers naturels
a
etb
tels queab=6480
etPPCM(a,b)=540
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Ex.2
Montrer que
n
7– n
est divisible par49
.... ...
... ...
... ...
... ...
...
...
... ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
Indices et résultats Voir exemples du cours.
Interrogation n°5 Objectifs :
C6.d_Niv1 :
Savoir utiliser le petit théorème de Fermat.Exercice n°21
Ex.47 p.63Exercice n°22
Ex.50 et Ex.51 p.63
Exercice n°23
Ex.107 p.68
Exercice n°24
Ex.112 p.68
Dans les exercices suivants, à chaque lettre de l'alphabet, on associe son ordre dans l'alphabet, en commençant par
0 : A → 0, B → 1, etc.
Exercice n°25*** : Cryptographie n°1 : le chiffrement affine
On associe au n° d'ordrex
un nombrey
tel quey
ax + b (26).
Partie A
On choisit
a = 2
etb=7
.1. Montrer que le chiffrement de MATH donne FHTV.
2. Chiffrer le mot BOLIDE.
3. On veut trouver une méthode pour déchiffrer. Montrer qu'il y a un problème.
Partie B
1. Montrer que, avoir un chiffrement affine fonctionnel ou non revient à étudier la divisibilité du produit
a(x – x')
par26
,x
etx'
étant les n° d'ordre de deux lettres distinctes.2. Quelle condition faut-il sur
a
pour quex – x'
soit divisible par26
? Justifier.3. Proposer un chiffrement efficace et un exemple de déchiffrement.
Exercice n°26*** : Cryptographie n°2 : le chiffrement à clé publique.
Problème n°6 p.51
Indices et résultats
Ex.n°1 (Ex.23 et 24 p.62) : ex23 : a. Non, b. Non, c. Oui, d. Non
–
ex24 : a. Non, b.Non, c. Oui, d. Oui.
Ex.n°2 (Ex.11 p.62) :
246
;6617 2839
Ex.n°3 (Ex.32 p.63) : a.
(3;24),(6;21),(9;18),(12;15),(15;12),(18;9),(21;6)
et(24;3)
b.(5;10),(10,5)
c.(16;12)
Ex.n°4 (Ex.97 p.67) :
(6;120), (24;30), (30;24)
et(120;6)
Ex.n°5 (Ex.33 et 34 p.63) : Par tâtonnement...
Ex.n°6 :
-2×...+7×...
Ex.n°7 :
-2×.... +1×...
Ex.n°8* : Prouver que
2n+1
est premier avecn
, puis que2n+1
est premier avec ….Ex.n°9 :
(3 ;-1)
Ex.n°10 :
11a=15b et th. de Gausss.
Ex.n°11 (Ex.36 p.63) :
(5 ;-8),
et(5+13k,-8-21k)
Ex.n°12 (Ex.37 p.63) :
(9 ;-3),
et(9+5k,-3-2k)
Ex.n°13* (Ex.93 p.66) : 1.
n
doit être un multiple de5
2.x=1+4k
ety=8-k
Ex.n°14* (Ex.89 p.66) : 1.
(1;2)
et(5;9) ; (1;0) et (4;6)
2.(1+4k;2+7k)
3.(4+k';6+2k')
4.(2;5)
5.(9;16)
Ex.n°15** (Sujet A p.73) : P.A.1.
11×
(-7)-26×(-3)=1 2.(19;8)
P.B.1.W
devientQ
2.a.
x=19
2.b.y=11x+8(26) et 19y=x+22(26) … W devient G.
Ex.n°16** (Sujet C p.73) : P.B. 1.a.
(-2;1)
1.b.x = -2 + 47k
ety = 1 – 23k
aveck
entier. 1.c.
23x = 1 – 47y
,23x ≡ 1 [47], 1 ≤ x ≤ 46
,1 ≤ -2 + 47k ≤ 46,
donck=1
etx=45
. 3.b.p=1
etp=46
.Ex.n°17 (Ex.47 p.63) :
PGCD(x;y)=5
;(5;130),(10;65),(130,5)
et(65;10)
Ex.n°18 (Ex.50 et Ex.51 p.63) : Ex50 : 2.
n
ne doit pas être divisible par307
. Ex51 : 1.n
non divisible par11
. 2. non divisible par7
3. non divisible par11
et non divisible par7
.Ex.n°19 (Ex.107 p.68) : Utiliser le corollaire de la propriété n°8
Ex.n°20 (Ex.112 p.68) : Z (Soit
A=x
5– x
.2
est premier, doncx
2≡x[2] … x
5≡x[2]
, doncA
est... De même, prouver queA
est divisible par3
et5
et en déduire queA
est divisible par...)Ex.n°21*** : 2. JJDXNP Partie B.2.
a
doit être premier avec26.
Ex.n°22*** : 3.a. clef publique :
(369;58) –
clef privé :70
. 3.d.116-0-111-116
et 3.e.OK
.Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations :
C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations :
C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations :
C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations :
C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations :
C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations :
C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations :
C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations :
C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Chapitre n°6 : Entiers premiers entre eux.
Problématique :
Les mathématiciens, dés l'antiquité grecque, se sont intéressés aux solutions entières des équations du type ax+by=c, où toutes les lettres désignent des nombres entiers. On appelle ces équations des équations
diophantiennes, du nom du premier mathématicien (Diophante d'Alexandrie – III
emesiècle avant notre aire) dont on a encore trace des recherches concernant ces équations.
Objectifs :
Niveau a eca n
C6.a 1 Savoir calculer le PGCD et le PPCM de deux nombres,
savoir si deux nombres sont premiers entre eux.
C6.b 1 Savoir déterminer, pour deux entier x et y premiers
entre eux, u et v tels que ux + vy = 1. Savoir déterminer si deux polynômes sont premiers entre eux.
C6.c 1 Savoir résoudre des équations diophantienne du type
ux + vy = c.
C6.d 1 Savoir utiliser le petit théorème de Fermat.
Activité d'approche n°1
Un panneau publicitaire a la forme d’un rectangle de dimensions 4,50 mètres et 1,80 m. On veut le recouvrir d’encarts publicitaires carrés de même côté de façon
optimale, c’est-à-dire que la régie publicitaire ne veut perdre aucun espace sur ce panneau. Quelle doit être la taille maximale des encarts publicitaires que la régie peut vendre à ses clients ?
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
Cours n°1
Chapitre n°6 : Entiers premiers entre eux.
I) PGCD de deux entiers.
On rappelle l'
Axiome n°1 :
Toute partie non vide de N possède un plus petit élément.
Définition n°1 : PGCD
Soient a
etb
deux nombres entiers relatifs non nuls. On nommeD(a)
etD(b)
lesensembles de diviseurs respectifs de
a et b.
On appelle Plus Grand Commun Diviseur l'élément le plus grand de…...
.On le note
PGCD(a,b)
.Remarque :
Dans la suite, on considérera essentiellement les nombres entiers naturels. En effet, le plus grand diviseur commun à deux nombres négatifs est un nombre positif (exemple : le pgcd de -8 et -4 est 4).
Propriété n°1
1. Si a=0
etb≠0
,PGCD(a,b)=...
2.
Si a=1
etb≠0
,PGCD(a,b)=...…
3. Si
c
divisea
etb
, alorsc
d………………...
4. Si
b
divisea
, alorsPGCD(a,b)=...
5.
PGCD(ka,kb) = k PGCD(...)
Démonstration
1.b
divise0
, donc…...
2.
1
n'est divisible que par …...…3.
c
|a
, doncc
appartient àD(a).
4. ...
...
...
…
5. Soit
d=PGCD(a,b)
etd'=PGCD(ka,kb).
kd
divised' :
...
... Donc il existe
k'
tel qued'=...
d'
divise aussi …..., donck'...
divise…...
, donck'd
divise…
et … , donck'd
divise aussi … Donck'=...
Donc
d'=...
Exemple n°1
Calculer le PGCD de
68
et51
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Propriété n°2 (Algorithme d'Euclide)
Soient a
etb
deux nombres entiers naturels non nuls tels queb
ne divise pasa
.Alors :
1) La suite des divisions euclidiennes de
a
parb
, puis deb
par le reste de la division précédente notér
0, puis der
0 par le reste de la division précédente notér
1, etc. finit par …...2) Le dernier reste non nul est le
…...
Démonstration a = bq r
0 avecb>...≥
....b=r
0q
1+ r
1 avec …...La suite
r
0,r
1,...
est constituée d'..., et strictement…...………...
donc ...
Soit
n
0 le rang pour lequel …...………..
On a
r
n0+1=...
et doncr
n0 divise …...D = PGCD(a,b)
etd = PGCD(b,r
0)
→ D ≤ d :
D
divise …. et …. . Orr
0=...
doncD …...
Donc
D
divise le …...Donc
…...
→ d ≤ D :
d
divise …. et …. . Ora = …...
doncd
…...
Donc
d
divise le …...Donc
…...
Donc
d
… ....De proche en proche, on a donc :
PGCD (
…...) =PGCD (…...)
Or
r
n0 divise
r
n0-1, donc
PGCD(r
n 0-1,r
n0
)=...
Donc ...
...
Exemple n°2
Calculer le PGCD de -
1368
et1351
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Définition n°2 : premiers entre eux
Deux entiers sont dits premiers entre eux si …...
Exemple n°3
1368
et1351
sont-ils premiers entre eux ?...
...
...
...
...
...
Définition n°3 : PPCM
Soit
a
etb
deux entiers naturels non nuls.L'ensemble des multiples strictement positifs communs à
a
et àb
admet un plus petit élémentm
, appelé plus petit commun multiple. On le notem=PPCM(a,b)
.Exemple n°4
Calculer
PPCM(18;12).
...
...
...
...
...
...
Calculer
PPCM(24;40)
...
...
...
...
...
...
Propriété n°3
Soit
a
etb
deux entiers naturels non nuls.Si
b
divisea
, alorsPPCM(a,b)=....
Démonstration
Si
b
divisea
,a
est un …...Et
a
est le plus petit multiple de ...Donc
PPCM(a,b)=...
Se tester n°1 - C6_1 (/7) Objectifs :
Niveau a eca n
C6.a 1 Savoir calculer le PGCD et le PPCM de deux nombres,
savoir si deux nombres sont premiers entre eux.
Ex.1
[2]Calculer le PGCD de
95 et 95
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Ex.2
[2]Calculer le PGCD de
195 et 182
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Ex.3
[2]255 et 169 .
sont-ils premiers entre eux ? Justifier....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Ex.4
[1]Calculer
PPCM(18;9).
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
…
Indices et résultats
Voir exemples du cours.
Interrogation n°1 Objectifs :
C6.a_Niv1 :
Savoir calculer le PGCD et le PPCM de deux nombres, savoir si deux nombres sont premiers entre eux.Exercice n°1 Ex.23 et 24 p.62 Exercice n°2
Ex.11 p.62 Exercice n°3
Ex.32 p.63 Exercice n°4
Ex.97 p.67
Activité d'approche n°2
1. En utilisant l'algorithme d'Euclide, calculer le PGCD de
a = 3456
etb = 5000
, en écrivant les égalités successives....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
2. En utilisant ces égalités, démontrer qu'il existe deux nombres
u
etv
relatifs tels queau + bv = PGCD(a,b).
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
3. Déduire de ce qui précède une solution relative de l'équation
ax + by = 24
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Cours n°2 II) Théorème de Bezout
Propriété n°4 (égalité de Bezout)
Soient a et b deux nombres entiers relatifs non nuls .
Alors il existe un couple(u,v)
d'entiers relatifs tel queau + bv = PGCD(a,b)
.Démonstration
Soit
G
l'ensemble formé par les entiers naturels strictement positifs de la formema + nb
.G
est une partie deN
non vide : …...G
admet donc un plus petit élémentd = au+bv
. (cf axiome n°1)→ PGCD(a,b) ≤ d
:...
...
...
...
...
...
→ d ≤ PGCD(a,b)
:a = dq +r
avec0 ≤ r < d
.Donc
r = ... = …...= a(...) +b(...)
Donc
r
appartient à….
Or
r < d
.Donc
r =
... Doncd
…...a
.De même,
d
…... …. (même raisonnement) Doncd
…..PGCD(a,b)
.→Donc
d
…..PGCD(a,b)
.Exercice n°5 Résoudre dans N
235x + 145y = PGCD(235;145)
Exercice n°6 Résoudre dans N
2353x + 1451y = PGCD(2353;1451)
Exercice n°7 Résoudre dans N
3153x + 4651y = PGCD(3153;4651)
Exercice n°8 Résoudre dans N
2364x + 1448y = 4×PGCD(2364;1448)
Cours n°3
Propriété n°5 (théorème de Bezout)
Deux entiers relatifs
a
etb
sont premiers entre eux si et seulement s'il existe deux entiers relatifsu
etv
tels queau + bv = 1.
Démonstration (ROC)
→
Si deux entiers naturelsa
etb
sont premiers entre eux,D=PGCD(a,b)=...
D'après l'égalité de Bezout ...
→
Si deux entiers naturelsa
etb
sont tels qu'il existe un couple(u,v)
d'entiers relatifs tel queau + bv = 1
.PGCD(a,b)
divise…..
et divise…..
, doncPGCD(a,b)
divise …...Donc
PGCD(a,b)
vaut …Exemple n°5
Montrer que
59
et27
sont premiers entre eux, puis déterminer un couple d'entiers relatifs(x,y)
tels que59x + 27y = 1.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Corollaire n°1 de la propriété n°5
L'équation
ax + by = k
admet des solutions entières si, et seulement si,k
est un…...
Démonstration
→Si
k
est un multiple dePGCD(a,b) :
il existek'
tel que …...D'après la propriété n°4, il existe .…...
…...
Choisissons
x=
…... ety = …... :
ce sont alors des solutions de...
...
→S i
k
n'est pas un multiple dePGCD(a,b) :
PGCD(a,b)
divisea
etb
, donc divise…...
. Ce qui est contradictoire.Exemple n°6
L'équation
4x + 7y = 2
admet-elle une solution dans Z ?...
...
L'équation
4x + 8y = 2
admet-elle une solution dans Z ?...
...
Corollaire n°2 de la propriété n°5
Soient a et b deux nombres entiers relatifs non nuls, et d
leurPGCD
.1) Soient
a' = a
d
etb' = b
d
. Alorsa'
etb'
…...2) Réciproquement, s'il existe
d
tel quea' = a
d
etb' = b
d
soient …...…..., alors
d
est…...
Démonstration :
1) Soient a et b deux nombres entiers relatifs non nuls, et d
leurPGCD
.La propriété n°4 donne : il existe
u
etv
tels que :...En divisant chaque membre par
d
:...
Donc, d'après la propriété
n°5 : ...
...
...2) Supposons que
a'
etb'
soient premiers entre eux.→ d ≤
PGCD (a,b) :
d
…...a
et …..., donc…...
→
PGCD (a,b) ≤ d :
a'
etb'
soient premiers entre eux, donc il existe …...donc
d = au+...
Mais
PGCD(a,b)
divisea
et …..., donc…...
...
...
→
Doncd = …...
Exemple n°7
Soit
n
un entier naturel. Montrer que les nombres3n + 5 et 5n + 8
seront toujours premiers entre eux, quelque soit la valeur den
choisie....
...
...
...
Exemple n°8
Soit
n
un entier naturel. Montrer que la fraction6 n – 3
3 n – 2
est irréductible....
...
...
...
...
...
Se tester n°3 - C6.3 (/10) Objectifs :
Niveau a eca n
C6.b 1 Savoir utiliser le théorème de Bezout
Exercice n°1
[3 pts : pg:1 – u et v : 2]Montrer que
238 et 169
sont premiers entre eux, puis déterminer un couple d'entiers relatifs(x,y)
telsque 238x + 169y = 1.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
Exercice n°2
[2 pts: pg:1 – j:1]
L'équation
102x + 26y = 2
admet-elle une solution dans Z ? Justifier....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
Exercice n°3
[2 pts : B:1 – concl:1]Soit
n
un entier naturel. Montrer que les nombres 6n+7seront toujours premiers entre eux, quelque soit la valeur den
choisie....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exercice n°4
[3 pts: B:1 – just:2]
Soit
n
un entier naturel. Montrer que la fraction4 n+5
3 n+ 4
est irréductible....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
Indices et résultats Voir exemples du cours.
Interrogation n°3 Objectifs :
C6.b_Niv1 :
Savoir déterminer, pour deux entier x et y premiers entre eux, u et v tels que ux + vy = 1. Savoir déterminer si deux polynômes sont premiers entre eux.Exercice n°9 Ex.33 et 34 p.63 Exercice n°10
Démontrer que, pour tout entier relatif k, 7k+3 et 2k+1 sont premiers entre eux.
Exercice n°11
Prouver que la fraction n
2 n+1 est irréductible pour tout entier naturel n.
Exercice n°12*
Prouver que la fraction 2 n +1
n ( n +1 ) est irréductible pour tout entier naturel n.
Exercice n°13
Déterminer un couple d'entiers relatifs (x,y) tel que : 221x – 331y = 1
Cours n°4 III) Théorème de Gauss.
Propriété n°6 (Théorème de Gauss)
Soient
a
etb
deux entiers relatifs non nuls, etc
un entier relatif.Si
a
divisebc
et sia
est premier avecb
, alors …...Démonstration (ROC) a
etb
sont premiers entre eux, donc…...
Donc,
acu + …... = … a
diviseacu
.a
divise …...., donca
divise …...Donc
a
divise ….Corollaire n°1 de la propriété n°6
Soient
a
etb
deux entiers relatifs non nuls, etp
un nombre premier.Si
p
diviseab
, alorsp
divise….
ou …...Démonstration
Si
p
ne divise pasa
,a
etp
sont premiers entre eux. Donc …...…...
...
...
...
Remarque :
Si
p
n'est pas premier, il y a des cas oùp
divise le produit tout en ne divisant pas chaque facteur :p=21, a=9
etb=49.
Corollaire n°2 de la propriété n°6
Soient
a
etb
deux entiers relatifs non nuls premiers entre eux, etc
un entier relatif.Si
c
est divisible para
etb
, alorsc
est …...ab
.Démonstration
a
etb
sont premiers entre eux, donc…...
Donc,
acu + …... = …
a
divisec
, donc il existek
tel que …...b
…...Donc
acu + …...
peut s'écrire : …...Comme
ab
divise …... et …...,ab
divisec
.Corollaire n°3 de la propriété n°6
Soient
a,b,c
etd
quatre entiers relatifs non nuls.On suppose que
ab=cd
.Si
a
etc
sont premiers entre eux, alorsa
divise...
etc
divise….
.Démonstration
Puisque
ab=cd
,a
divisecd
(le résultat donneb
) Commea
est premier avecc
,a
divise
d
(théorème de Gauss)Exemple n°9
Soit
A=(n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2)
. Montrer queA
est divisible par10.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°10
Résoudre l'équation
17x – 33y = 1
.1. On cherche une solution particulière (soit intuitivement, soit avec la technique abordée à l'exemple n°5) :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
2. On soustrait l'égalité de la solution particulière à l'équation, membre à membre : ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
3. On en déduit une égalité du type
ab=cd
, et on applique le corollaire n°3 : ......
...
...
...
...
...
...
...
...
4. On traduit cette divisibilité par une relation du type
x=αk
+β
ety=α'k
+β', k ∈
Z : ......
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°11
Résoudre l'équation
15x + 8y = 5
.1. On cherche une solution particulière à l'équation
15x + 8y = 1
(soit intuitivement, soit avec la technique abordée à l'exemple n°5), et on multiplie cette solution pour trouver une solution particulière de départ :...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
2. On soustrait l'égalité de la solution particulière à l'équation, membre à membre : ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
3. On en déduit une égalité du type
ab=cd
, et on applique le corollaire n°3 : ......
...
...
...
...
...
...
...
...
4. On traduit cette divisibilité par une relation du type
x=αk
+β
ety=α'k
+β', k ∈
Z : ......
...
...
...
...
...
...
...
...
Se tester n°4 - C6.4 (/9) Objectifs :
Niveau a eca n
C6.c 1 Savoir résoudre des équations diophantienne du type
ux + vy = c.
Ex.1
[3 pts]Soit
