Chapitre n°6 : Entiers premiers entre eux. Problématique :

(1)

Chapitre n°6 : Entiers premiers entre eux.

Problématique :

Les mathématiciens, dés l'antiquité grecque, se sont intéressés aux solutions entières des équations du type ax+by=c, où toutes les lettres désignent des nombres entiers. On appelle ces équations des équations

diophantiennes, du nom du premier mathématicien (Diophante d'Alexandrie – III^eme siècle avant notre aire) dont on a encore trace des recherches concernant ces équations.

Objectifs :

Niveau a eca n

C6.a ¹ Savoir calculer le PGCD et le PPCM de deux nombres, savoir si deux nombres sont premiers entre eux.

C6.b ¹ Savoir déterminer, pour deux entier x et y premiers entre eux, u et v tels que ux + vy = 1. Savoir déterminer si deux polynômes sont premiers entre eux.

C6.c ¹ Savoir résoudre des équations diophantienne du type

ux + vy = c.

C6.d 1 Savoir utiliser le petit théorème de Fermat.

Activité d'approche n°1

Un panneau publicitaire a la forme d’un rectangle de dimensions 4,50 mètres et 1,80 m. On veut le recouvrir d’encarts publicitaires carrés de même côté de façon

optimale, c’est-à-dire que la régie publicitaire ne veut perdre aucun espace sur ce panneau. Quelle doit être la taille maximale des encarts publicitaires que la régie peut vendre à ses clients ?

...

...…

(2)

Cours n°1

Chapitre n°6 : Entiers premiers entre eux.

I) PGCD de deux entiers.

On rappelle l'

Axiome n°1 :

Toute partie non vide de N possède un plus petit élément.

Définition n°1 : PGCD

Soient aet b deux nombres entiers relatifs non nuls. On nomme D(a) et D(b) les

ensembles de diviseurs respectifs de a et b. On appelle Plus Grand Commun Diviseur l'élément le plus grand de …....

On le note PGCD(a,b).

Remarque :

Dans la suite, on considérera essentiellement les nombres entiers naturels. En effet, le plus grand diviseur commun à deux nombres négatifs est un nombre positif (exemple : le pgcd de -8 et -4 est 4).

Propriété n°1

1. Si a=0 et b≠0, PGCD(a,b)=...

2. Si a=1 et b≠0, PGCD(a,b)=...…

3. Si c divise a et b, alors c d……… ………...

4. Si b divise a, alors PGCD(a,b)=...

5. PGCD(ka,kb) = k PGCD(...)

Démonstration 1. b divise 0, donc

…...

2. 1 n'est divisible que par …...…

3. c | a, donc c appartient à D(a).

4. ...

...

...…

5. Soit d=PGCD(a,b) et d'=PGCD(ka,kb).

kd divise d' :

...

... Donc il existe k' tel que d'=...

d' divise aussi …..., donc k'... divise …..., donc k'd divise

… et … , donc k'd divise aussi … Donc k'=...

Donc d'=...

(3)

Exemple n°1

Calculer le PGCD de 68 et 51.

...

Propriété n°2 (Algorithme d'Euclide)

Soient a et b deux nombres entiers naturels non nuls tels que b ne divise pas a.

Alors :

1) La suite des divisions euclidiennes de a par b, puis de b par le reste de la division précédente noté r0, puis de r0 par le reste de la division précédente noté r1, etc. finit par …...

2) Le dernier reste non nul est le …...

Démonstration a = bq0 + r0 avec b>...≥....

b=r0 q1 + r1 avec …...

La suite r0, r1,...est constituée d'..., et strictement

…...………...

donc ...

Soit n0 le rang pour lequel …...

………..

On a rn0+1=... et donc rn0 divise …...

D = PGCD(a,b) et d = PGCD(b,r0)

→ D≤d :

D divise …. et …. . Or r0=...donc D …...

Donc D divise le …...

Donc …...

→ d ≤ D :

d divise …. et …. . Or a = …... donc d …...

Donc d divise le …...

Donc …...

Donc d … ....

De proche en proche, on a donc : PGCD (…...) =PGCD (…...)

Or rn0 divise rn0-1, donc PGCD(rn0-1,rn0)=...

Donc ...

...

Exemple n°2

(4)

Calculer le PGCD de -1368 et 1351. /.

/.

Définition n°2 : premiers entre eux

Deux entiers sont dits premiers entre eux si …...

Exemple n°3

1368 et 1351 sont-ils premiers entre eux ? /.

/.

Définition n°3 : PPCM

Soit a et b deux entiers naturels non nuls.

L'ensemble des multiples strictement positifs communs à a et à b admet un plus petit élément m, appelé plus petit commun multiple. On le note m=PPCM(a,b).

Exemple n°4

Calculer PPCM(18;12).

/.

(5)

Calculer PPCM(24;40)

/.

Propriété n°3

Soit a et b deux entiers naturels non nuls.

Si b divise a, alors PPCM(a,b)=....

Démonstration

Si b divise a, a est un …...

Et a est le plus petit multiple de ...

Donc PPCM(a,b)=...

/i{E:\Docus\newdocs\TSSpM\TSSpM_2017_CHAP6_Setester_1_NG.odt}

Interrogation n°1 Objectifs :

C6.a_Niv1 : Savoir calculer le PGCD et le PPCM de deux nombres, savoir si deux nombres sont premiers entre eux.

Exercice n°1 Ex.23 et 24 p.62 Exercice n°2

Ex.11 p.62 Exercice n°3

Ex.97 p.67

Activité d'approche n°2

1. En utilisant l'algorithme d'Euclide, calculer le PGCD de a = 3456 et b = 5000, en écrivant les égalités successives.

/.

(6)

/.

2. En utilisant ces égalités, démontrer qu'il existe deux nombres u et v relatifs tels que au + bv = PGCD(a,b).

/.

3. Déduire de ce qui précède une solution relative de l'équation ax + by = 24

/.

Cours n°2 II) Théorème de Bezout

Propriété n°4 (égalité de Bezout)

Soient a et b deux nombres entiers relatifs non nuls . Alors il existe un couple

(u,v) d'entiers relatifs tel que au + bv = PGCD(a,b). Démonstration

Soit G l'ensemble formé par les entiers naturels strictement positifs de la forme ma + nb.

(7)

G est une partie de N non vide : …...

G admet donc un plus petit élément d = au+bv. (cf axiome n°1)

→ PGCD(a,b) ≤ d :

...

...→ d ≤ PGCD(a,b) :

a = dq +r avec 0 ≤ r < d.

Donc r = ... = …...= a(...)+b(...)

Donc r appartient à ….

Or r < d.

Donc r = ... Donc d …... a.

De même, d …... …. (même raisonnement) Donc d ….. PGCD(a,b).

→Donc d ….. PGCD(a,b).

Exercice n°5 Résoudre dans N

235x + 145y = PGCD(235;145)

2353x + 1451y = PGCD(2353;1451)

3153x + 4651y = PGCD(3153;4651)

2364x + 1448y = 4×PGCD(2364;1448)

Cours n°3

Propriété n°5 (théorème de Bezout)

Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement s'il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1.

Démonstration (ROC)

→ Si deux entiers naturels a et b sont premiers entre eux, D=PGCD(a,b)=...

D'après l'égalité de Bezout ...

→ Si deux entiers naturels a et b sont tels qu'il existe un couple (u,v) d'entiers relatifs tel que au + bv = 1.

PGCD(a,b) divise ….. et divise ….., donc PGCD(a,b) divise …...

Donc PGCD(a,b) vaut …

(8)

Exemple n°5

Montrer que 59 et 27 sont premiers entre eux, puis déterminer un couple d'entiers relatifs (x,y) tels que 59x + 27y = 1.

/.

Corollaire n°1 de la propriété n°5

L'équation ax + by = k admet des solutions entières si, et seulement si, k est un

…...

Démonstration

→Si k est un multiple de PGCD(a,b) : il existe k' tel que …...

D'après la propriété n°4, il existe .…...

…...

Choisissons x=…... et y = …... : ce sont alors des solutions de

...

→S ik n'est pas un multiple de PGCD(a,b) :

PGCD(a,b) divise a et b, donc divise ….... Ce qui est contradictoire.

Exemple n°6

L'équation 4x + 7y = 2 admet-elle une solution dans Z ?

...

L'équation 4x + 8y = 2 admet-elle une solution dans Z ?

...

Soient a et b deux nombres entiers relatifs non nuls, et d^leurPGCD.

1) Soient a' = ^a

d ^etb' = ^b

d ^{. Alors}a' et b' …...

2) Réciproquement, s'il existe d tel que a' = ^a

d ^etb' = ^b

d soient …...

…..., alors d est

(9)

…...

Démonstration :

1) Soient a et b deux nombres entiers relatifs non nuls, et d^leurPGCD.

La propriété n°4 donne : il existe u et v tels que :...

En divisant chaque membre par d

:...

Donc, d'après la propriété

n°5 : ...

...

...2) Supposons que a' et b' soient premiers entre eux.

→ d ≤ PGCD (a,b) :

d …... a et …..., donc

…...

→ PGCD (a,b) ≤ d :

a' et b' soient premiers entre eux, donc il existe …...

donc d = au+...

Mais PGCD(a,b) divise a et …..., donc

…...

...

→ Donc d = …...

Exemple n°7

Soit n un entier naturel. Montrer que les nombres 3n + 5 et 5n + 8 seront toujours premiers entre eux, quelque soit la valeur de n choisie.

...

Exemple n°8

Soit n un entier naturel. Montrer que la fraction 6n –3

3n –2 est irréductible.

...

C6.b_Niv1 : Savoir déterminer, pour deux entier x et y premiers entre eux, u et v tels que ux + vy = 1. Savoir déterminer si deux polynômes sont premiers entre eux.

(10)

Exercice n°9 Ex.33 et 34 p.63 Exercice n°10

Démontrer que, pour tout entier relatif k, 7k+3 et 2k+1 sont premiers entre eux.

Exercice n°11

Prouver que la fraction n

2n+1 est irréductible pour tout entier naturel n.

Exercice n°12*

Prouver que la fraction 2n+1

n(n+1) est irréductible pour tout entier naturel n.

Exercice n°13

Déterminer un couple d'entiers relatifs (x,y) tel que : 221x – 331y = 1

Cours n°4 III) Théorème de Gauss.

Propriété n°6 (Théorème de Gauss)

Soient a et b deux entiers relatifs non nuls, et c un entier relatif.

Si a divise bc et si a est premier avec b , alors …...

Démonstration (ROC)

a et b sont premiers entre eux, donc …...

Donc, acu + …... = … a divise acu.

a divise …...., donc a divise …...

Donc a divise ….

Soient a et b deux entiers relatifs non nuls, et p un nombre premier.

Si p divise ab, alors p divise …. ou …...

Démonstration

Si p ne divise pas a, a et p sont premiers entre eux. Donc …...

…...

...

Remarque :

Si p n'est pas premier, il y a des cas où p divise le produit tout en ne divisant pas chaque facteur : p=21, a=9 et b=49.

Soient a et b deux entiers relatifs non nuls premiers entre eux, et c un entier relatif.

Si c est divisible par a et b, alors c est …... ab.

(11)

Démonstration

a et b sont premiers entre eux, donc …...

Donc, acu + …... = …

a divise c, donc il existe k tel que …...

b …...

Donc acu + …... peut s'écrire : …...

Comme ab divise …... et …..., ab divise c.

Soient a,b,c et d quatre entiers relatifs non nuls.

On suppose que ab=cd.

Si a et c sont premiers entre eux, alors a divise ... et c divise ….. Démonstration

Puisque ab=cd, a divise cd (le résultat donne b) Comme a est premier avec c, a divise

d (théorème de Gauss)

Exemple n°9

Soit A=(n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2). Montrer que A est divisible par 10.

/.

(12)

Exemple n°10

Résoudre l'équation 17x – 33y = 1.

1. On cherche une solution particulière (soit intuitivement, soit avec la technique abordée à l'exemple n°5) :

/.

2. On soustrait l'égalité de la solution particulière à l'équation, membre à membre : /.

/.

3. On en déduit une égalité du type ab=cd, et on applique le corollaire n°3 : /.

/.

4. On traduit cette divisibilité par une relation du type x=αk + β et y=α'k + β', k ∈ Z : /.

/.

(13)

Exemple n°11

Résoudre l'équation 15x + 8y = 5.

1. On cherche une solution particulière à l'équation 15x + 8y = 1 (soit intuitivement, soit avec la technique abordée à l'exemple n°5), et on multiplie cette solution pour trouver une solution particulière de départ :

/.

2. On soustrait l'égalité de la solution particulière à l'équation, membre à membre : /.

/.

3. On en déduit une égalité du type ab=cd, et on applique le corollaire n°3 : /.

/.

4. On traduit cette divisibilité par une relation du type x=αk + β et y=α'k + β', k ∈ Z : /.

/.

(14)

C6.c_Niv1 : Savoir résoudre des équations diophantienne du type ux + vy = c.

Exercice n°14

En utilisant le théorème de Gauss, déterminer les couples d'entiers relatifs (a,b) qui vérifient : 33a –45b = 0.

Exercice n°15 Ex.36 p.63 Exercice n°16

Ex.37 p.63 Exercice n°17*

Ex.93 p.66 Exercice n°18*

Ex.89 p.66 Exercice n°19**

Sujet A p.73 Exercice n°20**

Sujet C p.73

Cours n°5

IV) Conséquences du théorème de Gauss

Propriété n°7 (Relations entre PPCM et PGCD) ( admis )

Soient a et b deux entiers naturels.

1) On a : ab = …... × …...

2) Si a et b sont premiers entre eux, alors PPCM(a,b)=...

Exemple n°12

Déterminer tous les couples d'entiers naturels a et b tels que ab=6480 et

PPCM(a,b)=540.

1. On calcule le pgcd de a et b :

...

2. On en déduit le produit a'b' des quotients de a et b par leur pgcd :

...

3. On regarde toutes les possibilités d'entiers pour a' et b' et on en déduit toutes les possibilités pour a et b :

...

(15)

...

Propriété n°8 (Petit théorème de Fermat) ( admis )

Si p est un nombre premier et a un entier naturel non divisible par p, alors

a ^p-1 – 1 est divisible par p.

Corollaire de la propriété n°8

Si p est un nombre premier et a un entier naturel, alors a^p a (p) Démonstration

Si a=0, …...

……….

Sinon : a ^p – a = a ( …...). Donc …... divise a ^p – a.

→ Si a n'est pas un multiple de p : on applique le petit théorème de Fermat :

…...……….

Par transitivité, p divise …... et donc a^p …. (p).

→ Si a est un multiple de p : p divise …. et a divise …...

Par transitivité, p divise …... et donc a^p …. (p).

Exemple n°13

Montrer que n¹³ – n est divisible par 39. /.

/.

(16)

/.

C6.d_Niv1 : Savoir utiliser le petit théorème de Fermat.

Exercice n°21 Ex.47 p.63 Exercice n°22

Ex.50 et Ex.51 p.63 Exercice n°23

Ex.112 p.68

Dans les exercices suivants, à chaque lettre de l'alphabet, on associe son ordre dans l'alphabet, en commençant par 0 : A → 0, B → 1, etc.

Exercice n°25*** : Cryptographie n°1 : le chiffrement affine On associe au n° d'ordre x un nombre y tel que y  ax + b (26).

Partie A

On choisit a = 2 et b=7.

1. Montrer que le chiffrement de MATH donne FHTV.

2. Chiffrer le mot BOLIDE.

3. On veut trouver une méthode pour déchiffrer. Montrer qu'il y a un problème.

Partie B

1. Montrer que, avoir un chiffrement affine fonctionnel ou non revient à étudier la divisibilité du produit a(x – x') par 26, x et x' étant les n° d'ordre de deux lettres distinctes.

2. Quelle condition faut-il sur a pour que x – x' soit divisible par 26 ? Justifier.

3. Proposer un chiffrement efficace et un exemple de déchiffrement.

Exercice n°26*** : Cryptographie n°2 : le chiffrement à clé publique.

Problème n°6 p.51

(17)

(18)

Indices et résultats

Ex.n°1 (Ex.23 et 24 p.62) : ex23 : a. Non, b. Non, c. Oui, d. Non – ex24 : a. Non, b.

Non, c. Oui, d. Oui.

Ex.n°2 (Ex.11 p.62) : 246 ; 6617 2839

Ex.n°3 (Ex.32 p.63) : a. (3;24),(6;21),(9;18),(12;15),(15;12),(18;9),(21;6) et (24;3) b.

(5;10),(10,5) c. (16;12)

Ex.n°4 (Ex.97 p.67) : (6;120), (24;30), (30;24) et (120;6)

Ex.n°5 (Ex.33 et 34 p.63) : Par tâtonnement...

Ex.n°6 : -2×...+7×...

Ex.n°7 : -2×.... +1×...

Ex.n°8* : Prouver que 2n+1 est premier avec n, puis que 2n+1 est premier avec ….

Ex.n°9 : (3 ;-1)

Ex.n°10 : 11a=15b et th. de Gausss.

Ex.n°11 (Ex.36 p.63) : (5 ;-8), et (5+13k,-8-21k)

Ex.n°12 (Ex.37 p.63) : (9 ;-3), et (9+5k,-3-2k)

Ex.n°13* (Ex.93 p.66) : 1. n doit être un multiple de 5 2. x=1+4k et y=8-k

Ex.n°14* (Ex.89 p.66) : 1.(1;2) et (5;9) ; (1;0) et (4;6) 2. (1+4k;2+7k) 3. (4+k';6+2k') 4.

(2;5) 5. (9;16)

Ex.n°15** (Sujet A p.73) : P.A.1.11×(-7)-26×(-3)=1 2. (19;8) P.B.1. W devient Q

2.a.x=19 2.b. y=11x+8(26) et 19y=x+22(26) … W devient G.

Ex.n°16** (Sujet C p.73) : P.B. 1.a. (-2;1) 1.b. x = -2 + 47k et y = 1 – 23k avec k

entier. 1.c. 23x = 1 – 47y, 23x ≡ 1 [47], 1 ≤ x ≤ 46 , 1 ≤-2 + 47k ≤ 46, donc k=1 et x=45. 3.b. p=1 et p=46.

Ex.n°17 (Ex.47 p.63) : PGCD(x;y)=5 ; (5;130),(10;65),(130,5) et (65;10)

Ex.n°18 (Ex.50 et Ex.51 p.63) : Ex50 : 2. n ne doit pas être divisible par 307. Ex51 : 1.

n non divisible par 11. 2. non divisible par 7 3. non divisible par 11 et non divisible par

7.

Ex.n°19 (Ex.107 p.68) : Utiliser le corollaire de la propriété n°8

Ex.n°20 (Ex.112 p.68) : Z (Soit A=x⁵ – x. 2 est premier, donc x²≡x[2] … x⁵≡x[2], donc

A est... De même, prouver que A est divisible par 3 et 5 et en déduire que A est divisible par...)

Ex.n°21*** : 2. JJDXNP Partie B.2.a doit être premier avec 26.

Ex.n°22*** : 3.a. clef publique : (369;58) – clef privé : 70. 3.d.116-0-111-116 et 3.e.

OK.

(19)

(20)

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations :

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :

Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__

Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__

Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__

Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__