1/17 - Entiers premiers entre eux.
Chapitre n°7 : Entiers premiers entre eux.
Problématique :
Les mathématiciens, dés l'antiquité grecque, se sont intéressés aux solutions entières des équations du type ax+by=c, où toutes les lettres
sont des nombres entiers. On appelle ces équations des équationsdiophantiennes, du nom du premier mathématicien (Diophante
d'Alexandrie – III
emesiècle avant notre aire) dont on a encore trace des recherches concernant ces équations.
Objectifs :
Niveau a eca n
C7.a 1 Savoir calculer le PGCD et le PPCM de deux nombres,
savoir si deux nombres sont premiers entre eux.
C7.b 1 Savoir déterminer, pour deux entier x et y premiers entre
eux, u et v tels que ux + vy = 1. Savoir déterminer si deux polynômes sont premiers entre eux.
C7.c 1 Savoir résoudre des équations diophantienne du type
ux + vy = c.
C7.d 1 Savoir utiliser le petit théorème de Fermat.
Activité d'approche n°1
Un panneau publicitaire a la forme d’un rectangle de dimensions 4,50 mètres et 1,80 m. On veut le recouvrir d’encarts publicitaires carrés de même côté de façon optimale, c’est-à-dire que la régie publicitaire ne veut perdre aucun espace sur ce panneau. Quelle doit être la taille maximale des encarts publicitaires que la régie peut vendre à ses clients ?
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...…
1/17
2/17 - Entiers premiers entre eux.
Cours n°1
Chapitre n°7 : Entiers premiers entre eux.
I) PGCD de deux entiers.
On rappelle l'
Axiome n°1 :
Toute partie non vide de N possède un plus petit élément.
Définition n°1 : PGCD
Soient a
et b deux nombres entiers relatifs non nuls. On nomme D(a) et D(b) lesensembles de diviseurs respectifs de a et b. On appelle Plus Grand Commun Diviseur l'élément le plus grand de …...
On le note PGCD(a,b).
Remarque :
Dans la suite, on considérera essentiellement les nombres entiers naturels. En effet, le plus grand diviseur commun à deux nombres négatifs est un nombre positif (exemple : le pgcd de -8 et -4 est 4).
Propriété n°1
1. Si a=0 et b≠0, PGCD(a,b)=...
2.
Si a=1
et b≠0, PGCD(a,b)=...3. Si b divise a, alors PGCD(a,b)=...
4. PGCD(ka,kb) = k PGCD(...)
Démonstration 1. b divise 0, donc
…...
2. 1 n'est divisible que par
…...
3. ...
...
...
...…
4. Soit d=PGCD(a,b) et d'=PGCD(ka,kb).
kd divise d' :
...
...
Donc il existe k' tel que d'=...
d' divise aussi …..., donc k'... divise …..., donc k'd divise
… et … , donc k'd divise aussi … Donc k'=...
Donc d'=...
Exemple n°1
Calculer le PGCD de 68 et 51.
2/17
3/17 - Entiers premiers entre eux.
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Propriété n°2 (Algorithme d'Euclide)
Soient a
et b deux nombres entiers naturels non nuls tels que b ne divise pas a.Alors :
1) La suite des divisions euclidiennes de a par b, puis de b par le reste de la division précédente noté r0, puis de r0 par le reste de la division précédente noté r1, etc. finit par …...
2) Le dernier reste non nul est le …...
Démonstration a = bq0 + r0 avec b>...≥....
b=r0 q1 + r1 avec …...
La suite r0, r1,...est constituée d'..., et strictement
…...
………...
donc ...
Soit n0 le rang pour lequel
…...………..
On a rn
0+1=... et donc rn0 divise …...
D = PGCD(a,b) et d = PGCD(b,r0)
→ D ≤ d :
D divise …. et …. . Or r0 =...donc D …...
Donc D divise le …...
Donc …...
→ d ≤ D :
d divise …. et …. . Or a = …... donc d
…...
Donc d divise le …...
Donc …...
Donc d … ....
De proche en proche, on a donc : PGCD (…...) =PGCD (…...) Or rn0 divise rn0-1, donc PGCD(rn0-1,rn0 )=...
Donc ...
...
Exemple n°2
Calculer le PGCD de -1368 et 1351.
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4/17 - Entiers premiers entre eux.
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Définition n°2 : premiers entre eux
Deux entiers sont dits premiers entre eux si …...
Exemple n°3
1368 et 1351 sont-ils premiers entre eux ?
...
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Définition n°3 : PPCM
Soit a et b deux entiers naturels non nuls.
L'ensemble des multiples strictement positifs communs à a et à b admet un plus petit élément m, appelé plus petit commun multiple. On le note
m=PPCM(a,b).
Exemple n°4
Calculer PPCM(18;12).
...
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...
...
Calculer PPCM(24;40)
...
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...
Propriété n°3
Soit a et b deux entiers naturels non nuls.
4/17
5/17 - Entiers premiers entre eux.
Si b divise a, alors PPCM(a,b)=....
Démonstration
Si b divise a, a est un …...
Et a est le plus petit multiple de ...
Donc PPCM(a,b)=...
Interrogation n°1 Objectifs :
C7.a_Niv1 :
Savoir calculer le PGCD et le PPCM de deux nombres, savoir si deux nombres sont premiers entre eux.Exercice n°1
Ex.23 et 24 p.62
Exercice n°2Ex.11 p.62
Exercice n°3Ex.32 p.63
Exercice n°4Ex.97 p.67
Activité d'approche n°2
1. En utilisant l'algorithme d'Euclide, calculer le PGCD de a = 3456 et b = 5000, en écrivant les égalités successives.
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2. En utilisant ces égalités, démontrer qu'il existe deux nombres u et v relatifs tels que au + bv = PGCD(a,b).
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5/17
6/17 - Entiers premiers entre eux.
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3. Déduire de ce qui précède une solution relative de l'équation ax + by = 24 ...
...
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Cours n°2 II) Théorème de Bezout
Propriété n°4 (égalité de Bezout)
Soient a et b deux nombres entiers relatifs non nuls .
Alors il existe uncouple (u,v) d'entiers relatifs tel que au + bv = PGCD(a,b). Démonstration
Soit G l'ensemble formé par les entiers naturels strictement positifs de la forme ma + nb.
G est une partie de N non vide :
…...
G admet donc un plus petit élément d = au+bv. (cf axiome n°1)
→ PGCD(a,b) ≤ d :
...
...
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...
...
6/17
7/17 - Entiers premiers entre eux.
→ d ≤ PGCD(a,b) : a = dq +r avec 0 ≤ r < d.
Donc r = ... = …...= a(...)+b(...) Donc r appartient à ….
Or r < d.
Donc r = ... Donc d …... a.
De même, d …... …. (même raisonnement) Donc d ….. PGCD(a,b).
Donc
→ d ….. PGCD(a,b).
Propriété n°5 (théorème de Bezout)
Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement s'il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1.
Démonstration (ROC)
→ Si deux entiers naturels a et b sont premiers entre eux, D=PGCD(a,b)=...
D'après l'égalité de
Bezout ...
→ Si deux entiers naturels a et b sont tels qu'il existe un couple (u,v) d'entiers relatifs tel que au + bv = 1.
PGCD(a,b) divise ….. et divise ….., donc PGCD(a,b) divise …...
Donc PGCD(a,b) vaut …
Exemple n°5
Montrer que 59 et 27 sont premiers entre eux, puis déterminer un couple d'entiers relatifs (x,y) tels que 59x + 27y = 1.
...
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...
Corollaire n°1 de la propriété n°5
L'équation ax + by = k admet des solutions entières si, et seulement si, k est un
…...
Démonstration
→Si k est un multiple de PGCD(a,b) : il existe k' tel que …...
D'après la propriété n°4, il existe .…...
…...
Choisissons x=…... et y = …... : ce sont alors des solutions de
...
...
→S ik n'est pas un multiple de PGCD(a,b) :
PGCD(a,b) divise a et b, donc divise …...
7/17
8/17 - Entiers premiers entre eux.
Ce qui est contradictoire.
Exemple n°6
L'équation 4x + 7y = 2 admet-elle une solution dans Z ?
...
...
L'équation 4x + 8y = 2 admet-elle une solution dans Z ?
...
...
Corollaire n°2 de la propriété n°5
Soient a et b deux nombres entiers relatifs non nuls, et d
leur PGCD.1) Soient a' = a
d et b' = b
d . Alors a' et b' …...
2) Réciproquement, s'il existe d tel que a' = a
d et b' = b
d soient
…...…..., alors d est
…...
Démonstration :
1) Soient a et b deux nombres entiers relatifs non nuls, et d leur PGCD.
La propriété n°4 donne : il existe u et v tels que :...
En divisant chaque membre par d
:...
Donc, d'après la propriété
n°5 : ...
...
...2) Supposons que a' et b' soient premiers entre eux.
→ d ≤ PGCD (a,b) :
d …... a et …..., donc
…...
→ PGCD (a,b) ≤ d :
a' et b' soient premiers entre eux, donc il existe
…...
donc d = au+...
Mais PGCD(a,b) divise a et …..., donc
…...
...
...
→ Donc d = …...
Exemple n°7
Soit n un entier naturel. Montrer que les nombres 3n + 5 et 5n + 8 seront toujours premiers entre eux, quelque soit la valeur de n choisie.
...
...
...
...
8/17
9/17 - Entiers premiers entre eux.
Exemple n°8
Soit n un entier naturel. Montrer que la fraction 6n –3
3n –2 est irréductible.
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...
Interrogation n°2 Objectifs :
C7.b_Niv1 :
Savoir déterminer, pour deux entier x et y premiers entre eux, u et v tels que ux + vy = 1. Savoir déterminer si deux polynômes sont premiers entre eux.Exercice n°5
Ex.33 et 34 p.63
Exercice n°6Démontrer que, pour tout entier relatif k, 7k+3 et 2k+1 sont premiers entre eux.
Exercice n°7
Prouver que la fraction
n2n+1
est irréductible pour tout entier naturel n.
Exercice n°8*
Prouver que la fraction
2n+1n(n+1)
est irréductible pour tout entier naturel n.
Exercice n°9
Déterminer un couple d'entiers relatifs (x,y) tel que : 221x – 331y = 1
Cours n°3 III) Théorème de Gauss.
Propriété n°6 (Théorème de Gauss)
Soient a et b deux entiers relatifs non nuls, et c un entier relatif.
Si a divise bc et si a est premier avec b , alors …...
Démonstration (ROC)
a et b sont premiers entre eux, donc
…...
Donc, acu + …... = … a divise acu.
a divise …...., donc a divise …...
Donc a divise ….
Corollaire n°1 de la propriété n°6
Soient a et b deux entiers relatifs non nuls, et p un nombre premier.
9/17
10/17 - Entiers premiers entre eux.
Si p divise ab, alors p divise …. ou …...
Démonstration
Si p ne divise pas a, a et p sont premiers entre eux. Donc
…...
…...
...
...
...
Remarque :
Si p n'est pas premier, il y a des cas où p divise le produit tout en ne divisant pas chaque facteur : p=21, a=9 et b=49.
Corollaire n°2 de la propriété n°6
Soient a et b deux entiers relatifs non nuls premiers entre eux, et c un entier relatif.
Si c est divisible par a et b, alors c est …... ab.
Démonstration
a et b sont premiers entre eux, donc
…...
Donc, acu + …... = …
a divise c, donc il existe k tel que …...
b …...
Donc acu + …... peut s'écrire : …...
Comme ab divise …... et …..., ab divise c.
Corollaire n°3 de la propriété n°6
Soient a,b,c et d quatre entiers relatifs non nuls.
On suppose que ab=cd.
Si a et c sont premiers entre eux, alors a divise ... et c divise …..
Démonstration
Puisque ab=cd, a divise cd (le résultat donne b) Comme a est premier avec c, a divise d (théorème de Gauss)
Exemple n°9
Soit A=(n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2). Montrer que A est divisible par 10.
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10/17
11/17 - Entiers premiers entre eux.
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Exemple n°10
Résoudre l'équation 17x – 33y = 1.
1. On cherche une solution particulière (soit intuitivement, soit avec la technique abordée à l'exemple n°5) :
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2. On soustrait l'égalité de la solution particulière à l'équation, membre à membre :
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3. On en déduit une égalité du type ab=cd, et on applique le corollaire n°3 : ...
...
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4. On traduit cette divisibilité par une relation du type x=αk + β et y=α'k + β', k ∈ Z :
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12/17 - Entiers premiers entre eux.
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Exemple n°11
Résoudre l'équation 15x + 8y = 5.
1. On cherche une solution particulière à l'équation 15x + 8y = 1 (soit
intuitivement, soit avec la technique abordée à l'exemple n°5), et on multiplie cette solution pour trouver une solution particulière de départ :
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2. On soustrait l'égalité de la solution particulière à l'équation, membre à membre :
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3. On en déduit une égalité du type ab=cd, et on applique le corollaire n°3 : ...
...
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...
4. On traduit cette divisibilité par une relation du type x=αk + β et y=α'k + β', k ∈ Z :
...
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12/17
13/17 - Entiers premiers entre eux.
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Interrogation n°3 Objectifs :
C7.c_Niv1 :
Savoir résoudre des équations diophantienne du type ux + vy = c.Exercice n°10
En utilisant le théorème de Gauss, déterminer les couples d'entiers relatifs (a,b) qui vérifient : 33a –45b = 0.
Exercice n°11
Ex.36 p.63
Exercice n°12Ex.37 p.63
Exercice n°13*Ex.93 p.66
Exercice n°14*Ex.89 p.66
Exercice n°15**Sujet A p.73
Exercice n°16**Sujet C p.73
Cours n°4
IV) Conséquences du théorème de Gauss
Propriété n°7 (Relations entre PPCM et PGCD) ( admis )
Soient a et b deux entiers naturels.
1) On a : ab = …... × …...
2) Si a et b sont premiers entre eux, alors PPCM(a,b)=...
Exemple n°12
Déterminer tous les couples d'entiers naturels a et b tels que ab=6480 et PPCM(a,b)=540.
1. On calcule le pgcd de a et b :
...
...
...
...
2. On en déduit le produit a'b' des quotients de a et b par leur pgcd :
...
...
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...
3. On regarde toutes les possibilités d'entiers pour a' et b' et on en déduit toutes les possibilités pour a et b :
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13/17
14/17 - Entiers premiers entre eux.
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Propriété n°8 (Petit théorème de Fermat) ( admis )
Si p est un nombre premier et a un entier naturel non divisible par p, alors a p-1 – 1 est divisible par p.
Corollaire de la propriété n°8
Si p est un nombre premier et a un entier naturel, alors ap a (p) Démonstration
Si a=0, …...……….
Sinon : a p – a = a ( …...). Donc …... divise a p – a.
→ Si a n'est pas un multiple de p : on applique le petit théorème de Fermat :
…...……….
Par transitivité, p divise …... et donc ap …. (p).
→ Si a est un multiple de p : p divise …. et a divise …...
Par transitivité, p divise …... et donc ap …. (p).
Exemple n°13
Montrer que n13 – n est divisible par 39.
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14/17
15/17 - Entiers premiers entre eux.
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Interrogation n°4 Objectifs :
C7.d_Niv1 :
Savoir utiliser le petit théorème de Fermat.Exercice n°17 Ex.47 p.63 Exercice n°18
Ex.50 et Ex.51 p.63 Exercice n°19
Ex.107 p.68 Exercice n°20
Ex.112 p.68
Dans les exercices suivants, à chaque lettre de l'alphabet, on associe son ordre dans l'alphabet, en commençant par 0 : A → 0, B → 1, etc.
Exercice n°21*** : Cryptographie n°1 : le chiffrement affine On associe au n° d'ordre x un nombre y tel que y ax + b (26).
Partie A
On choisit a = 2 et b=7.
1. Montrer que le chiffrement de MATH donne FHTV.
2. Chiffrer le mot BOLIDE.
3. On veut trouver une méthode pour déchiffrer. Montrer qu'il y a un problème.
Partie B
1. Montrer que, avoir un chiffrement affine fonctionnel ou non revient à étudier la divisibilité du produit a(x – x') par 26, x et x' étant les n° d'ordre de deux lettres distinctes.
2. Quelle condition faut-il sur a pour que x – x' soit divisible par 26 ? Justifier.
3. Proposer un chiffrement efficace et un exemple de déchiffrement.
Exercice n°22*** : Cryptographie n°2 : le chiffrement à clé publique.
Problème n°6 p.51
15/17
16/17 - Entiers premiers entre eux.
Indices et résultats
Ex.n°1 (Ex.23 et 24 p.62) : ex23 : a. Non, b. Non, c. Oui, d. Non – ex24 : a. Non, b.
Non, c. Oui, d. Oui.
Ex.n°2 (Ex.11 p.62) : 246 ; 6617
Ex.n°3 (Ex.32 p.63) : a. (3;24),(6;21),(9;18),(12;15),(15;12),(18;9),(21;6) et (24;3) b. (5;10),(10,5) 2839 c. (16;12)
Ex.n°4 (Ex.97 p.67) : (6;120), (24;30), (30;24) et (120;6) Ex.n°5 (Ex.33 et 34 p.63) : Par tâtonnement...
Ex.n°6 : -2×...+7×...
Ex.n°7 : -2×.... +1×...
Ex.n°8* : Prouver que 2n+1 est premier avec n, puis que 2n+1 est premier avec ….
Ex.n°9 : (3 ;-1)
Ex.n°10 : 11a=15b et th. de Gausss.
Ex.n°11 (Ex.36 p.63) : (5 ;-8), et (5+13k,-8-21k) Ex.n°12 (Ex.37 p.63) : (9 ;-3), et (9+5k,-3-2k)
Ex.n°13* (Ex.93 p.66) : 1. n doit être un multiple de 5 2. x=1+4k et y=8-k
Ex.n°14* (Ex.89 p.66) : 1.(1;2) et (5;9) ; (1;0) et (4;6) 2. (1+4k;2+7k) 3. (4+k';6+2k') 4. (2;5) 5.
(9;16)
Ex.n°15** (Sujet A p.73) : P.A.1.11×(-7)-26×(-3)=1 2. (19;8) P.B.1. W devient Q 2.a.x=19 2.b. y=11x+8(26) et 19y=x+22(26) … W devient G.
Ex.n°16** (Sujet C p.73) : P.B. 1.a. (-2;1) 1.b. x = -2 + 47k et y = 1 – 23k avec k entier.
1.c. 23x = 1 – 47y, 23x ≡ 1 [47], 1 ≤ x ≤ 46 , 1 ≤ -2 + 47k ≤ 46, donc k=1 et x=45. 3.b. p=1 et p=46.
Ex.n°17 (Ex.47 p.63) : PGCD(x;y)=5 ; (5;130),(10;65),(130,5) et (65;10)
Ex.n°18 (Ex.50 et Ex.51 p.63) : Ex50 : 2. n ne doit pas être divisible par 307. Ex51 : 1.
n non divisible par 11. 2. non divisible par 7 3. non divisible par 11 et non divisible par 7.
Ex.n°19 (Ex.107 p.68) : Utiliser le corollaire de la propriété n°8
Ex.n°20 (Ex.112 p.68) : Z (Soit A=x5 – x. 2 est premier, donc x2≡x[2] … x5≡x[2], donc A est... De même, prouver que A est divisible par 3 et 5 et en déduire que A est divisible par...)
Ex.n°21*** : 2. JJDXNP Partie B.2.a doit être premier avec 26.
Ex.n°22*** : 3.a. clef publique : (369;58) – clef privé : 70. 3.d.116-0-111-116 et 3.e. OK.
16/17
17/17 - Entiers premiers entre eux.
17/17
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.
Date : …...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C...
* Je veux repasser le contrôle n°...
Travail à faire pour la prochaine fois :
Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…
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Date : …...
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Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…
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* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C...
* Je veux repasser le contrôle n°...
Travail à faire pour la prochaine fois :
Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…
