Soient a et b deux entiers tels que a est divisible par b. Alors, 1

Chapitre I

Divisibilité dans Z

Table des matières

1 Diviseurset multiples . . . 2

2 P.G.C.D de deux entiers . . . 3

3 Lesnombres premiers . . . 3

a ) Dénition . . . 3

b ) Reonnaître un nombre premier . . . 4

) Ensembledes nombres premiers . . . 5

d ) Déompositionen fateurs premiers . . . 5

4 P.P.C.M . . . 7

1 Diviseurs et multiples

L'ensemble Z des entiers relatifs est stable par addition, soustration et multipliation,

'est à dire que haune de es opérations, appliquée à deux entiers relatifs, donne un

entier relatif.Ce n'est pas le as pour la division. On trouvesans diulté des exemples

de divisionsd'entiersdonnantdesrésultatsnonentiers.Lesdivisionsrestantdansleadre

de l'ensembleZ ont de e fait un intérêt partiulier.

Définition 1 Diviseur – Multiple

Soient a et b deux nombres entiers relatifs non nuls. On dit que a est divisible par b si il existe un entier relatif c tel que a = bc. On dit alors que b est un diviseur de a et que a est un multiple de b.

Exemple : 12 est divisible par 3;3 est un diviseur de 12;12 est un multiplede 3.

Proposition 1

Soient a et b deux entiers tels que a est divisible par b. Alors, 1

^.

L’entier a est divisible par − b.

2

^.

Les nombres a et b vérifient | b | 6 | a | .

3

^.

Si d’autre part b est divisible par a, alors a = b ou a = − b.

4

^.

Si k est un entier quelconque non nul, alors bk divise ak.

5

^.

Si d est un entier qui divise b, alors d divise a. On dit que la relation de divisibilité est transitive.

Preuve. Par dénition,lefaitque

a

^{soitdivisible par}

b

^{signiequ'ilexiste unentierrelatif}

c

^tel

que

a = bc

^.

1

^{. Sahant que}

a = bc

^{,il estlair que}

a = ( − b)( − c)

^don

a

^{estdivisible par}

− b

^.

2

^{. Par dénition,}

1 6 | c |

^don

| b | 6 | bc |

^{,'està dire}

| b | 6 | a |

^.

3

^{. D'après la propriété démontrée} préédemment, si

b

^divise

a

^et

a

^divise

b

^{alors on a à la}

fois

| b | 6 | a |

^et

| a | 6 | b |

^,don

| a | = | b |

^{.Ceisignieque soit}

a = b

^,soit

a = − b

^.

4

^{. Onsait que}

a = bc

^,don

ak = (bc)k = (bk)c

^{,e quiprouve que}

bk

^divise

ak

^.

5

^{. Si}

d

^divise

b

^{,alors il existeun entier}

c ^′

^{tel que}

b = dc ^′

^{.Onen déduit que}

a = bc = dc ^′ c

^et

don que

d

^divise

a

^.

Proposition 2 Linéarité de la divisibilité

Si un entier b divise deux entiers a et a ^′ , alors b divise toute combinaison linéaire de a et a ^′ , c’est à dire tout entier de la forme au + a ^′ v, où u et v sont deux entiers quelconques.

En particulier, b divise a + a ^′ et a − a ^′ .

Exemple : 12divise24et36don, sansfairede alul,onsaitque12divise

5 ∗ 24 + 2 ∗ 36

^.

Preuve.Pardénition,si

b

^divise

a

^et

a ^′

^{,ilexistedeuxentiers}

c

^et

c ^′

^{tels que}

a = bc

^et

a ^′ = bc ^′

^.

Ainsi, quels quesoient les entiers

u

^et

v

^,

au + a ^′ v = (bc)u + (bc ^′ )v = b(cu + c ^′ v)

^{, e qui prouve}

que

b

^divise

au + a ^′ v

^.

2 P.G.C.D de deux entiers

Définition 2

Soit a un entier positif. On note D (a) l’ensemble des diviseurs positifs de a. Cet ensemble est fini car tout diviseur positif m de a vérifie m < a.

Par convention, l’ensemble D (0) est l’ensemble des entiers naturels.

Exemple :

D (12) = { 1; 2; 3; 4; 6; 12 }

^.

Définition 3 Plus grand diviseur commun

Soient a et b deux entiers naturels. L’ensemble de leurs diviseurs positifs communs est D (a, b) = D (a) ∩ D (b). Cet ensemble est fini car majoré par a et b. Il contient donc un plus grand élément unique d, le plus grand diviseur commun de a et b. On le note P.G.C.D de a et b et on le note PGCD(a, b) ou a ∧ b.

Exemple :

D (12) = { 1; 2; 3; 4; 6; 12 }

^et

D (16) = { 1; 2; 4; 8; 16 }

^{don PGCD}

(12, 16) = 4

^.

Proposition 3

Soient a et b deux entiers positifs.

1

^.

D (a, 0) = D (a), donc PGCD(a, 0) = a.

2

^.

Si b divise a alors D (a, b) = D (b) et donc PGCD(a, b) = b.

3

^.

PGCD(a, b) > 1, car 1 ∈ D (a, b).

Preuve.

1

^{. Pardénition}

D (a, 0) = D (a) ∩D (0) = D (a) ∩

^N

= D (a)

^{.IlestalorslairquePGCD}

(a, 0) = a

^.

2

^{. Si}

b

^divise

a

^{il est lair que}

D (b) ⊂ D (a)

^{et don}

D (a) ∩ D (b) = D (b)

^{. Par onséquent}

PGCD

(a, b) = b

^.

3

^{. Il est lair que}

1

^divise

a

^et

b

^{, don}

1 ∈ D (a)

^et

1 ∈ D (b)

^{, e qui prouve que}

1 ∈ D (a) ∩ D (b) = D (a, b)

^{.Par onséquent, PGCD}

(a, b) > 1

^.

Définition 4

Soient a et b deux entiers relatifs. Leur P.G.C.D est P GCD(a; b) = P GCD( | a | ; | b | ).

3 Les nombres premiers

a ) Dénition

Définition 5 Nombre premier

Un entier naturel n est premier s’il admet exactement deux diviseurs positifs distincts, 1 et lui-même.

Exemples :

•

^{L'entier 1 n'est pas premierar iln'a qu'un diviseur positif.}

•

^{Le plus petit nombre premierest 2,qui est divisiblepar 1et 2.}

•

^{3 est aussi premier.}

•

^{4 n'est pas premierar ilest divisiblepar 1,2 et4.}

•

^Plus généralement, un nombre pair supérieur à4 n'est pas premier, ar il est divisible par 1, 2et lui-même,soitaumoins 3 diviseurs.

b ) Reonnaître un nombre premier

i ) Méthode direte

Soit

n

^{un entier. Pour savoir si}

n

^{est premier, on eetue les divisions de}

n

^{par tous les}

entiersnaturelsinférieursà

n

^{.Siauunede esdivisionsne donneun résultatentier,alors}

n

^{est un nombre premier.}

ii ) Méthode direte optimisée

Elle est basée sur la propriété suivante:

Proposition 4

Si tous les nombres premiers inférieurs à √

N ne sont pas des diviseurs de N, alors N est un nombre premier.

Exemple : 53 est -ilun nombre premier?

√ 53

^{environ 7,28. Les nombres premiers inférieurs à 7,28 sont 2, 3, 5, 7. Comme auun}

d'eux ne divisent53, alors 53est un nombre premier.

iii ) Crible d'Erathostène

A proprement parler, le rible d'Erathostène ne détermine pas si un entier est premier.

C'estune méthodepourdresserlalistede touslesnombrespremiersinférieursàunentier

naturel

n

^{.Prenonsl'exemple}

n = 50

^{.Plaçonstous lesentiers naturelsinférieursà50dans}

un tableau.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Commençons par barrer le nombre 1, qui n'est pas premier par dénition. Le nombre 2

est premier.On peut alors barrertous lesmultiples de 2,puisqu'ils ne sontpas premiers.

Lenombrenonbarrésuivantestdonpremier,ils'agitde3.On barremaintenanttousles

multiplesde 3,quine peuventpas êtrepremiersetonpasseaunombre nonbarrésuivant.

Une fois tout le tableau parouru, les seuls entiers non barrés sont tous les nombres

premiers inférieursà 50.

) Ensemble des nombres premiers

On a longtemps herhé une logique dans la répartition des nombres premiers. En vain.

On estaujourd'huipersuadé queetterépartitionest anarhique. Seulsquelquesrésultats

onernantl'ensembledes nombres premierssont onnusà e jour.

Théorème 1 Théorème d’Euclide (Livre IX, proposition 20) L’ensemble des nombres premiers est infini.

Preuve. Démontrons e résultat par l'absurde, 'est à dire en supposant que l'ensemble des

nombres premiers estni.

Notons alors

P

^{leproduit detousles nombrespremiers. Ilestlairque}

P + 1

^{n'estdivisible par}

auundesnombrespremiers(ar

P

^{estdivisibleparhaundesnombrespremiers mais}

1

^nel'est

pas).Il estdon premier,equiestimpossiblearilnefaitpaspartiedel'ensembledesnombres

premiers. Cei ontredit notre hypothèse. Par onséquent, l'ensemble des nombres premiers est

inni.

Remarque: Lademonstrations'appuiesur lefaitquesi

a

^et

b

^{sontpremiersalors}

a × b + 1

l'est aussi.

La répartition des nombres premiers est donnée par la fontion

π

^{, où}

π ( x )

^{est le nom-}

bre d'entiers premiers inférieurs à

x

^{. Le} mathématiien Thebyhef a démontré en 1896 que

π(x)

^est équivalent, au voisinage de l'inni, à

x

ln x

^{. Cela signie} globalement que la proportionde nombres premiersest déroissante

d ) Déomposition en fateurs premiers

Proposition 5

Soit a un entier naturel (a > 1). Alors :

• a admet un diviseur premier.

• Si a n’est pas premier, il admet un diviseur premier p tel que 2 6 p 6 √ a.

Preuve.

•

^Si

a

^{est premier,omme}

a

^divise

a

^{,la propriétéestbien vériée.}

•

^Si

a

^{n'estpaspremieralorsiladmet aumoinsundiviseurstritement supérieurà}

1

^.Notons

p

lepluspetitd'entreesdiviseurs.

p

^{estforement premier arsinon,il admettraitundiviseur}

d

^ave

1 < d < p

^{,qui serait alors un diviseurde}

a

^{stritement inférieur au plus petit d'entre}

eux :

p

^;'est impossible.Don

p

^{est pemier.}

De plus,

a

^s'érit

a = pq

^ave

p 6 q

^{;on en tire :}

p ² 6 pq = a

^,don

p 6 √

a.

Finalement, on a bien

2 6 p 6 √ a.

Théorème 2 Décomposition en facteurs premiers Soit n un entier supérieur ou égale à deux. Alors :

• n se décompose en un produit de facteur premier.

• Cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs près.

On note alors n = p ^α ₁ ¹ . . . p ^α _k ^k où p ₁ , p ₂ , · · · p r sont des nombres premiers distincts et

α ₁ , α ₂ , · · · α _r sont des entiers naturels non nuls.

Preuve. Onne démontrera quel'existene deladéomposition. L'uniité est admise.

Démontrons ette propriétépar réurrene.

•

Initialisation :Pour

n = 2

^{,elleest vraiepuisque 2estlui-même premier.}

•

^{Hérédité: Supposonslapropriétévériéepourtoutentier}

n 6 k

^{etétudionsleas}

n = k +1

^.

•

^Si

k + 1

^{estpremier,lapropriété estbien vériée.}

•

^Sinon,

k + 1

^{admetun diviseurpremier}

p

^etilexiste

k ^′

^telque

k + 1 = pk ^′

^ave

k ^′ < k + 1

^.

Par réurrene,

k ^′

^{estunproduit denombres premiers, etdon}

k + 1

^aussi.

Preuve. Voii uneautre preuve moinsformelle :

D'après la proposition 5,

n

^{admet un diviseur premier}

p ₁

^{, alors}

n = p ₁ n ₁

^ave

1 6 n ₁ < n

^,

puisque

p ₁ > 2

^.

Si

n ₁ = 1

^{,'estterminé.}

Si

n ₁ > 2

^{on répète e} raisonnement ave

n ₁

^:

n ₁

^{admet un diviseur premier}

p ₂

^et

n ₁ = p ₂ n ₂

^,

ave

1 6 n ₂ < n ₁ < n

^.

Onitèree raisonnement tant quele quotient

n _i

^{n'est paségal à}

1

^.

La suite de es quotients étant stritement déroissante (

· · · < n i < · · · < n ₂ < n ₁ < n

^{), le}

proessuss'arrête àune ertaineétape

k

^.Alors

n = p ₁ p ₂ · · · p _k

^{eten regroupant lesfateursnon}

distints, on obtient :

n = p ^α ₁ ¹ · · · p ^α _k ^k

Méthode de déomposition

Pour déomposer un entier naturel en fateurs premiers, on peut utiliser une méthode

systématique qui onsiste à tester un par un par les fateurs possibles, 'est à dire les

nombres premiers inférieurs à

n

^{. L'exemple suivant,}

n = 2184

^{expose le proédé et sa}

présentation graphique onventionnelle :

2184 est divisible par 2 et lequotientest 1092 2184 2

1092 est divisible par 2 et lequotientest 546 1092 2

546 est divisible par 2et lequotient est 273 546 2

273 est divisible par 3et lequotient est 91 273 3

91est divisible par 7 etlequotient est 13 91 7

13est un nombre premier 13 13

La déompositionest terminée 1

La déompositionen fateurs premiersde 2184est don

2184 = 2 ³ × 3 × 7 × 13

^.

Théorème 3

Soit n = p ^α ₁ ¹ · · · p ^α _k ^k la décomposition en nombres premiers d’un entier naturel n. Les diviseurs de n sont les entiers dont les décompositions sont de la forme p ^β ₁ ¹ · · · p ^β _k ^k , où pour tout i ∈ { 1, · · · , k } , β _i 6 α _i .

Preuve. Il est lairqu'un entier de la forme donnéedans le théorème divise bien

n

^{.Il reste à}

démontrerque toutdiviseurde

n

^{estde ette forme.}

Soient

d

^undiviseurde

n

^,

p

^{unfateurpremierde}

d

^et

β

^telque

d = p ^β d ^′

^,où

d ^′

^{n'estpasdivisible}

par

p

^.Alors

p ^β

^divise

n

^etdon

p

^{doitêtrel'un desfateurspremiers de}

n

^,disons

p _i

^{.Il estalors}

lair que

β

^{doitêtre inférieur à}

α i

^{.Comme ei est vrai pour tousses diviseurs premiers,}

d

^est

biende laforme donnéedanslethéorème.

Proposition 6

Soit n un entier supérieur ou égal à 2, admettant la décomposition en facteur premier : n = p ^α ₁ ¹ · · · p ^α _k ^k .

Le nombre de diviseurs de n est :

(α ₁ + 1)(α ₂ + 1) · · · (α _k + 1) .

Preuve. Si

n = p ^α ₁ ¹ · · · p ^α _k ^k

^{,alors d'aprèsla} proposition préédente, tout diviseur

d

^de

n

^s'érit

d = p ^β ₁ ¹ · · · p ^β _k ^k

^{,où pourtout}

i ∈ { 1, · · · , k }

^,

β _i 6 α _i

^.

Ona

α ₁ + 1

^{hoix pour lavaleurde}

β ₁

^,

α ₂ + 1

^{hoix pour lavaleur de}

β ₂

^,...

4 P.P.C.M

Définition 6

Soient a et b deux entiers positifs. L’ensemble des multiples positifs non nuls communs à a et b n’est pas vide car il contient ab, et il est minoré par a et b. Il contient donc un plus petit élément. Cet élément est appelé P.P.C.M de a et b et noté PPCM(a, b) ou a ∨ b.

Proposition 7

Tout multiple commun à a et b est un multiple de leur P.P.C.M m.

Preuve. Soit

n

^{un multiple ommun à}

a

^et

b

^et

m

^{leur P.P.C.M. Par dénition de}

m

^{, on a}

m 6 n

^{.La divisionde}

n

^par

m

^{donnent deuxnombres}

q

^et

r

^{tel que}

n = mq + r

^ave

r < m

^.

On a alors

r = n − mq

^{qui est un multiple ommun à}

a

^et

b

^(ar

n

^et

m

^{le sont) et qui est}

inéfrieur à

m

^{.Par dénition de}

m

^{,ona don}

r = 0

^.Ainsi

n

^{estun multiple de}

m

^.

Théorème 4

Soient a et b deux entiers. Si d et m sont respectivement le P.G.C.D et le P.P.C.M de a et b, alors md = ab.

Preuve.

•

^{Ononsidère l'entier}

^ab _d

^.

d

^{étant lepgd,ilexiste}

a ^′

^et

b ^′

^{entierstelsque}

^ab _d = a ^′ b = ab ^′

^equi

signieque

ab

d

^{est unmultiple ommun à}

a

^et

b

^.

C'est don,d'aprèslapropriétépréédente, unmultiplede

m

^{.Celasigniequ'ilexiste}

k

^dans

Z tel

ab

d = km

^,etdon

ab = kmd

^.

• m

^{étant un multiple ommun à}

a

^et

b

^{,il existe}

h

^et

h ^′

^{dans Z tels que}

m = ah

^et

m = bh ^′

^.

En remplaçant

m

^{par lapremière de es}expressions, onobtient

ab = kahd

^{, etdon}

b = kdh

^.

L'entier

b

^{estdondivisible par}

kd

^{.Demanièreanalogue}

kd

^{divise aussi}

a

^{.Parmaximalitéde}

d

^{,ondoit don avoir}

kd 6 d

^{.Laseule valeur possible pour}

k

^{est1,e qui implique}

ab = md

^.

Théorème 5

Soient a et b deux entiers. Notons { p ₁ , . . . , p _k } l’union des ensembles de leurs facteurs premiers. On peut noter a = p ^α ₁ ¹ · · · p ^α _k ^k et b = p ^β ₁ ¹ . . . p ^β _k ^k où certains exposants α i et β i

sont éventuellement nuls. Notons d et m respectivement le P.G.C.D et le P.P.C.M de a et b. Alors

d = p Min (α 1 ,β ₁ )

1 · · · p Min (α k ,β k )

k et m = p Max (α 1 ,β ₁ )

1 · · · p Max (α k ,β k )

k .

Preuve. Soit

d ^′

^{un diviseur ommun de}

a

^et

b

^{. D'après le théorème 3.3,}

d ^′

^{est de la forme}

p ^γ ₁ ¹ . . . p ^γ _k ^k

^{, où pour tout}

i ∈ { 1, . . . , k }

^,

γ _i 6 α _i

^et

γ _i 6 β _i

^{, 'est à dire}

γ _i 6

^Min

(α _i , β _i )

^{. Par}

onséquent tout diviseur ommun à

a

^et

b d ^′

^vérie

d ^′ 6 p

^Min

₁ ^{(α 1 ,β 1 )} . . . p _k

^Min

^{(α k ,β k )}

^{, et omme}

e produit estbien undiviseurde

a

^et

b

^{,'est leurP.G.C.D. D'autreparton sait que}

ab = md

^,

'està dire

m = ^ab _d

^{,et don}

m = p ^α ₁ ¹ · · · p ^α _k ^k × p ^β ₁ ¹ · · · p ^β _k ^k p

^Min

₁ ^{(α 1 ,β 1 )} · · · p

^Min

_k ^{(α k ,β k )}

m = p ^α ₁ ^{1 +β 1} · · · p ^α _k ^{k +β k} p

^Min

₁ ^{(α 1 ,β 1 )} · · · p

^Min

_k ^{(α k ,β k )} m = p

^Max

₁ ^{(α 1 ,β 1 )} · · · p

^Max

_k ^{(α k ,β k )}

Exemple : Prenons

a = 2184

^et

b = 1617

^.Leurs déompositionsen fateurs premierssont

a = 2 ³ × 3 × 7 × 13

^et

b = 3 × 7 ² × 11

^{. Don}

P GCD ( a, b ) = 3 × 7 = 21

P P CM(a, b) = 2 ³ × 3 × 7 ² × 11 × 13

= 168168.