Soient a et b deux réels quelconques tels que a < b, f une fonction continue et positive sur [a; b] et

(1)

Intégrale d’une fonction continue et positive Primitives et intégrale Intégrale d’une fonction continue Calcul d’aires Intégrales et inégalités

Cours de terminale S Calcul intégral

V. B. J. D. S. B.

Lycée des EK

17 janvier 2020

(2)

Définition Remarque Théorème Démonstration

Définition

Soient a et b deux réels quelconques tels que a < b, f une fonction continue et positive sur [a; b] et

C

sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O; I, J ).

L’unité d’aire est l’aire du rectangle de côtés [OI ] et [OJ].

On appelle

intégrale de

f

sur

[a; b], . . . .

. . . .

(3)

Définition

Soient a et b deux réels quelconques tels que a < b, f une fonction continue et positive sur [a; b] et

C

sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O; I, J ).

L’unité d’aire est l’aire du rectangle de côtés [OI ] et [OJ].

On appelle

intégrale de

f

sur

[a; b], l’aire, exprimée en unités

d’aire, de la surface limitée par l’axe des abscisses, la courbe

C, et les droites d’équationsx =a

et

x =b.

(4)

L’intégrale de f sur [a; b] se note

Z b

a

f (x )dx . On dit aussi que

Z b a

f (x )dx représente

l’aire sous la courbe

entre a et b.

(5)

L’intégrale de f sur [a; b] se note

Z b

a

f (x )dx .

On dit aussi que

Z b

a

f (x )dx représente

entre a et b.

(6)

L’intégrale de f sur [a; b] se note

Z b

a

f (x )dx . On dit aussi que

Z b a

f (x )dx représente

entre a et b.

(7)

Dans l’écriture

Z b

a

f (x )dx, x est une lettre " muette ". On peut la remplacer par n’importe qu’elle autre lettre, exceptées a et b :

Z b

a

f (x)dx =

Z b

a

f (t)dt =

Z b

a

f (u)du =

Z b

a

f (z )dz =

Z b

a

f (α)dα = . . .

Z b a

f (x)dx se lit aussi " somme de a à b de f (x)dx ".

(8)

Dans l’écriture

Z b

a

f (x )dx, x est une lettre " muette ". On peut la remplacer par n’importe qu’elle autre lettre, exceptées a et b :

Z b

a

f (x)dx =

Z b

a

f (t)dt =

Z b

a

f (u)du =

Z b

a

f (z )dz =

Z b

a

f (α)dα = . . .

Z b a

f (x)dx se lit aussi " somme de a à b de f (x)dx ".

(9)

Théorème

Soit f une fonction continue et positive sur [a; b] ; la fonction F définie sur [a; b] par F (x ) =

Z x a

f (t)dt . . . . . . . .

. . . .

(10)

Théorème

Soit f une fonction continue et positive sur [a; b] ; la fonction F définie sur [a; b] par F (x ) =

Z x a

f (t)dt est dérivable sur

[a;b]

et

F⁰(x) =f(x)

pour tout

x

de

[a;b].

De plus

F(a) =

0.

(11)

Théorème

Soit f une fonction continue et positive sur [a; b] ; la fonction F définie sur [a; b] par F (x ) =

Z x a

f (t)dt est dérivable sur [a; b]

et F

⁰

(x ) = f (x ) pour tout x de [a; b].

De plus F (a) = 0.

(12)

Démonstration dans le cas où

f

est croissante Pour tout x

∈

[a; b] et h > 0, . . . . . . . .

Ainsi F (x + h)

−

F (x ) est . . . .

. . . .

(13)

Démonstration dans le cas où

f

est croissante Pour tout x

∈

[a; b] et h > 0,

F(x) =

Z x a

f(t)dt

et

F(x+h) =

Z x+h a

f(t)dt.

Ainsi

F(x+h)−F(x)

est . . . .

. . . .

(14)

Démonstration dans le cas où

f

est croissante Pour tout x

∈

[a; b] et h > 0, F (x ) =

Z x a

f (t)dt et F (x + h) =

Z x+h a

f (t)dt.

Ainsi F (x + h)

−

F (x ) est . . . .

. . . .

(15)

Démonstration dans le cas où

f

est croissante Pour tout x

∈

[a; b] et h > 0, F (x ) =

Z x a

f (t)dt et F (x + h) =

Z x+h a

f (t)dt.

Ainsi F (x + h)

−

F (x ) est l’aire de la surface limitée par la

courbe

C, l’axe des abscisses et les droites verticales passant

par les points d’abscisses

x

et

x+h.

(16)

Démonstration dans le cas où

f

est croissante Pour tout x

∈

[a; b] et h > 0, F (x ) =

Z x a

f (t)dt et F (x + h) =

Z x+h a

f (t)dt.

Ainsi F (x + h)

−

F (x ) est l’aire de la surface limitée par la

courbe

C, l’axe des abscisses et les droites verticales passant

par les points d’abscisses x et x + h.

(17)

(18)

On a donc . . . . . . . . . . . .

Puisque la fonction f est continue, lim

h→0

f (x + h) = . . . donc, d’après le théorème des gendarmes,

. . . .

(19)

On a donc

hf(x)≤F(x+h)−F(x)≤hf(x+h), ce qui, dans le

cas où

f

est croissante, entraîne que

f(x)≤ F(x+h)−F(x)

h ≤f(x+h).

Puisque la fonction

f

est continue,

lim

h→0f(x +h) =

. . . donc, d’après le théorème des gendarmes,

. . . .

(20)

On a donc hf (x )

≤

F (x + h)

−

F (x )

≤

hf (x + h), ce qui, dans le cas où f est croissante, entraîne que

f(x)

≤

F (x + h)

−

F (x)

h

≤

f(x + h).

Puisque la fonction f est continue, lim

h→0

f (x + h) = . . .

donc, d’après le théorème des gendarmes,

. . . .

(21)

On a donc hf (x )

≤

F (x + h)

−

F (x )

≤

hf (x + h), ce qui, dans le cas où f est croissante, entraîne que

f(x)

≤

F (x + h)

−

F (x)

h

≤

f(x + h).

Puisque la fonction f est continue, lim

h→0

f (x + h) =f

(x)

donc, d’après le théorème des gendarmes,

. . . .

(22)

On a donc hf (x )

≤

F (x + h)

−

F (x )

≤

hf (x + h), ce qui, dans le cas où f est croissante, entraîne que

f(x)

≤

F (x + h)

−

F (x)

h

≤

f(x + h).

Puisque la fonction f est continue, lim

h→0

f (x + h) =f (x ) donc, d’après le théorème des gendarmes,

. . . .

(23)

On a donc hf (x )

≤

F (x + h)

−

F (x )

≤

hf (x + h), ce qui, dans le cas où f est croissante, entraîne que

f(x)

≤

F (x + h)

−

F (x)

h

≤

f(x + h).

Puisque la fonction f est continue, lim

h→0

f (x + h) =f (x ) donc, d’après le théorème des gendarmes,

h→0lim

F(x+h)−F(x)

h =f(x)

ce qui signifie que

F

est dérivable

en

x

et

F⁰(x) =f(x)

pour tout

x ∈[a;b].

(24)

On a donc hf (x )

≤

F (x + h)

−

F (x )

≤

hf (x + h), ce qui, dans le cas où f est croissante, entraîne que

f(x)

≤

F (x + h)

−

F (x)

h

≤

f(x + h).

Puisque la fonction f est continue, lim

h→0

f (x + h) =f (x ) donc, d’après le théorème des gendarmes,

h→0

lim

F (x + h)

−

F (x)

h = f (x ) ce qui signifie que F est dérivable

en x et F

⁰

(x ) = f (x ) pour tout x

∈

[a; b].

(25)

Définition Théorème Théorème Théorème

Détermination des primitives d’une fonction Primitives des fonctions usuelles

Définition

Soit f une fonction continue sur un intervalle I.

On dit qu’une fonction F est une primitive de la fonction f sur I si . . . .

" F est une primitive de f sur I " a le même sens que . . . .

. . . .

(26)

Définition

Soit f une fonction continue sur un intervalle I.

On dit qu’une fonction F est une primitive de la fonction f sur I si la fonction

F

est dérivable sur

I

et a pour dérivée la fonction

f

.

" F est une primitive de f sur I " a le même sens que . . . .

. . . .

(27)

Définition

Soit f une fonction continue sur un intervalle I.

On dit qu’une fonction F est une primitive de la fonction f sur I si la fonction F est dérivable sur I et a pour dérivée la fonction f .

" F est une primitive de f sur I " a le même sens que . . . .

. . . .

(28)

Définition

Soit f une fonction continue sur un intervalle I.

On dit qu’une fonction F est une primitive de la fonction f sur I si la fonction F est dérivable sur I et a pour dérivée la fonction f .

" F est une primitive de f sur I " a le même sens que "

f

est la

fonction dérivée de

F

sur

I

".

(29)

Définition

Soit f une fonction continue sur un intervalle I.

On dit qu’une fonction F est une primitive de la fonction f sur I si la fonction F est dérivable sur I et a pour dérivée la fonction f .

" F est une primitive de f sur I " a le même sens que " f est la

fonction dérivée de F sur I ".

(30)

Théorème

Toute fonction continue . . . . . . . .

Démonstration dans le cas où

I = [a; b].

Si f est positive, . . . . . . . . Sinon, on admet que f a un mininum m sur [a; b] et on défini une fonction g sur [a; b], par g(x) = f(x)

−

m ;

g est . . . .

. . . .

(31)

Théorème

Toute fonction continue sur un intervalle

I

admet des primitives sur cet intervalle.

I = [a; b].

Si f est positive, . . . . . . . . Sinon, on admet que f a un mininum m sur [a; b] et on défini une fonction g sur [a; b], par g(x) = f(x)

−

m ;

g est . . . .

. . . .

(32)

Théorème

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur cet intervalle.

I = [a; b].

Si f est positive, . . . . . . . .

Sinon, on admet que f a un mininum m sur [a; b] et on défini une fonction g sur [a; b], par g(x) = f(x)

−

m ;

g est . . . .

. . . .

(33)

Théorème

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur cet intervalle.

I = [a; b].

Si f est positive, on a vu que la fonction

F

définie par

F(x) =

Z x a

f(t)dt

est une primitive de

f

puisque

F⁰(x) =f(x).

Sinon, on admet que

f

a un mininum

m

sur

[a;b]

et on défini une fonction

g

sur

[a;b], parg(x) =f(x)−m

;

g

est . . . .

. . . .

(34)

Théorème

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur cet intervalle.

I = [a; b].

Si f est positive, on a vu que la fonction F définie par F (x ) =

Z x a

f (t)dt est une primitive de f puisque F

⁰

(x ) = f (x ).

Sinon, on admet que f a un mininum m sur [a; b] et on défini une fonction g sur [a; b], par g(x) = f(x)

−

m ;

g est . . . .

. . . .

(35)

Théorème

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur cet intervalle.

I = [a; b].

Si f est positive, on a vu que la fonction F définie par F (x ) =

Z x a

f (t)dt est une primitive de f puisque F

⁰

(x ) = f (x ).

Sinon, on admet que f a un mininum m sur [a; b] et on défini une fonction g sur [a; b], par g(x) = f(x)

−

m ;

g est . . . .

. . . .

(36)

Théorème

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur cet intervalle.

I = [a; b].

Si f est positive, on a vu que la fonction F définie par F (x ) =

Z x a

f (t)dt est une primitive de f puisque F

⁰

(x ) = f (x ).

Sinon, on admet que f a un mininum m sur [a; b] et on défini une fonction g sur [a; b], par g(x) = f(x)

−

m ;

g est continue et positive sur

[a;b], donc admet une primitiveG

définie par

G(x) =

Z x a

g(t)dt. Alors la fonctionF

définie par

F(x) =G(x) +mx

est une primitive de

f

sur

[a;b].

(37)

Théorème

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur cet intervalle.

I = [a; b].

Si f est positive, on a vu que la fonction F définie par F (x ) =

Z x a

f (t)dt est une primitive de f puisque F

⁰

(x ) = f (x ).

Sinon, on admet que f a un mininum m sur [a; b] et on défini une fonction g sur [a; b], par g(x) = f(x)

−

m ;

g est continue et positive sur [a; b], donc admet une primitive G définie par G(x ) =

Z x a

g(t)dt. Alors la fonction F définie par

F (x ) = G(x ) + mx est une primitive de f sur [a; b].

(38)

Théorème

Si la fonction F est une primitive de la fonction f sur I, . . . . . . . . . . . .

Toutes les primitives de f sur I sont les fonctions G définies sur

I par G(x ) = F (x) + c où c est un nombre réel quelconque.

(39)

Théorème

Si la fonction F est une primitive de la fonction f sur I, alors la fonction

G

définie sur

I

par

G(x) =F(x) +c

où

c

est un nombre réel quelconque, est aussi une primitive de

f

sur

I.

Toutes les primitives de f sur I sont les fonctions G définies sur

I par G(x ) = F (x) + c où c est un nombre réel quelconque.

(40)

Théorème

Si la fonction F est une primitive de la fonction f sur I, alors la fonction G définie sur I par G(x ) = F (x) + c où c est un nombre réel quelconque, est aussi une primitive de f sur I.

Toutes les primitives de f sur I sont les fonctions G définies sur

I par G(x ) = F (x) + c où c est un nombre réel quelconque.

(41)

Théorème

Soit f une fonction continue sur un intervalle I, x

₀

un réel appartenant à I et y

₀

un réel donné quelconque ; . . . . . . . .

Démonstration

Si G est une primitive quelconque, alors toutes les primitives de f sont les fonctions F définies sur I par . . . . . . . . En particulier, si I = [a; b] et si F est la fonction définie sur [a; b] par F (x ) =

Z x a

f (t)dt alors . . . .

. . . .

(42)

Théorème

Soit f une fonction continue sur un intervalle I, x

₀

un réel appartenant à I et y

₀

un réel donné quelconque ; alors il existe une fonction

F

unique, primitive de

f

sur

I, telle queF(x₀) =y₀

.

Démonstration

Si G est une primitive quelconque, alors toutes les primitives de f sont les fonctions F définies sur I par . . . . . . . . En particulier, si I = [a; b] et si F est la fonction définie sur [a; b] par F (x ) =

Z x a

f (t)dt alors . . . .

. . . .

(43)

Théorème

Soit f une fonction continue sur un intervalle I, x

₀

un réel appartenant à I et y

₀

un réel donné quelconque ; alors il existe une fonction F unique, primitive de f sur I, telle que F (x

₀

) = y

₀

.

Démonstration

Si G est une primitive quelconque, alors toutes les primitives de f sont les fonctions F définies sur I par . . . . . . . .

En particulier, si I = [a; b] et si F est la fonction définie sur [a; b] par F (x ) =

Z x a

f (t)dt alors . . . .

. . . .

(44)

Théorème

Soit f une fonction continue sur un intervalle I, x

₀

un réel appartenant à I et y

₀

un réel donné quelconque ; alors il existe une fonction F unique, primitive de f sur I, telle que F (x

₀

) = y

₀

.

Démonstration

Si G est une primitive quelconque, alors toutes les primitives de f sont les fonctions F définies sur I par

F(x) =G(x) +c

; la condition

F(x₀) =y₀

implique

c =y₀−G(x₀)

et

c

est unique.

En particulier, si

I= [a;b]

et si

F

est la fonction définie sur

[a;b]

par

F(x) =

Z x a

f(t)dt

alors . . . .

. . . .

(45)

Théorème

Soit f une fonction continue sur un intervalle I, x

₀

un réel appartenant à I et y

₀

un réel donné quelconque ; alors il existe une fonction F unique, primitive de f sur I, telle que F (x

₀

) = y

₀

.

Démonstration

Si G est une primitive quelconque, alors toutes les primitives de f sont les fonctions F définies sur I par F (x ) = G(x ) + c ; la condition F (x

₀

) = y

₀

implique c = y

₀−

G(x

₀

) et c est unique.

En particulier, si I = [a; b] et si F est la fonction définie sur [a; b]

par F (x ) =

Z x

a

f (t)dt alors . . . .

. . . .

(46)

Théorème

Soit f une fonction continue sur un intervalle I, x

₀

un réel appartenant à I et y

₀

un réel donné quelconque ; alors il existe une fonction F unique, primitive de f sur I, telle que F (x

₀

) = y

₀

.

Démonstration

Si G est une primitive quelconque, alors toutes les primitives de f sont les fonctions F définies sur I par F (x ) = G(x ) + c ; la condition F (x

₀

) = y

₀

implique c = y

₀−

G(x

₀

) et c est unique.

En particulier, si I = [a; b] et si F est la fonction définie sur [a; b]

par F (x ) =

Z x

a

f (t)dt alors

F

est l’unique primitive de

f

qui

s’annule en

a.

(47)

Théorème

Soit f une fonction continue sur un intervalle I, x

₀

un réel appartenant à I et y

₀

un réel donné quelconque ; alors il existe une fonction F unique, primitive de f sur I, telle que F (x

₀

) = y

₀

.

Démonstration

Si G est une primitive quelconque, alors toutes les primitives de f sont les fonctions F définies sur I par F (x ) = G(x ) + c ; la condition F (x

₀

) = y

₀

implique c = y

₀−

G(x

₀

) et c est unique.

En particulier, si I = [a; b] et si F est la fonction définie sur [a; b]

par F (x ) =

Z x

a

f (t)dt alors F est l’unique primitive de f qui

s’annule en a.

(48)

Détermination des primitives d’une fonction

On cherche dans le tableau des dérivées usuelles en le lisant de droite à gauche et on utilise les résultats suivants :

•

si F est une primitive de f sur I et si G est une primitive de g sur I alors F + G est une primitive de f + g sur I.

•

si F est une primitive de f sur I et si k est un nombre réel

quelconque alors kF est une primitive de kf sur I.

(49)

Détermination des primitives d’une fonction

On cherche dans le tableau des dérivées usuelles en le lisant de droite à gauche et on utilise les résultats suivants :

•

si F est une primitive de f sur I et si G est une primitive de g sur I alors F + G est une primitive de f + g sur I.

•

si F est une primitive de f sur I et si k est un nombre réel

quelconque alors kF est une primitive de kf sur I.

(50)

Détermination des primitives d’une fonction

On cherche dans le tableau des dérivées usuelles en le lisant de droite à gauche et on utilise les résultats suivants :

•

si F est une primitive de f sur I et si G est une primitive de g sur I alors F + G est une primitive de f + g sur I.

•

si F est une primitive de f sur I et si k est un nombre réel

quelconque alors kF est une primitive de kf sur I.

(51)

Pour chacune des fonctions f suivantes, la fonction F est une primitive de f sur l’intervalle I donné :

Fonction f Intervalle I Primitive F

f(x) = a , a

∈_R

I =

_R

F (x ) = ax f (x ) = x

ⁿ

, n

∈_N^∗

I =

_R

F (x ) =

_n+1¹

x

ⁿ⁺¹

f (x ) =

_x¹₂

]

− ∞;

0[ ou ]0 : +∞[ F (x ) =

−¹_x

f (x) =

^√¹_x

I =]0 : +∞[ F (x ) = 2

√

x

(52)

Pour chacune des fonctions f suivantes, la fonction F est une primitive de f sur l’intervalle I donné :

Fonction f Intervalle I Primitive F

f(x) = a , a

∈_R

I =

_R

F (x) = ax

f (x ) = x

ⁿ

, n

∈_N^∗

I =

_R

F (x ) =

_n+1¹

x

ⁿ⁺¹

f (x ) =

_x¹₂

]

− ∞;

0[ ou ]0 : +∞[ F (x ) =

−¹_x

f (x) =

^√¹_x

I =]0 : +∞[ F (x ) = 2

√

x

(53)

Pour chacune des fonctions f suivantes, la fonction F est une primitive de f sur l’intervalle I donné :

Fonction f Intervalle I Primitive F

f(x) = a , a

∈_R

I =

_R

F (x) = ax

f (x ) = x

ⁿ

, n

∈_N^∗

I =

_R

F (x) =

_n+1¹

x

ⁿ⁺¹

f (x ) =

_x¹₂

]

− ∞;

0[ ou ]0 : +∞[

F (x ) =

−¹_x

f (x) =

^√¹_x

I =]0 : +∞[ F (x ) = 2

√

x

(54)

Pour chacune des fonctions f suivantes, la fonction F est une primitive de f sur l’intervalle I donné :

Fonction f Intervalle I Primitive F

f(x) = a , a

∈_R

I =

_R

F (x) = ax

f (x ) = x

ⁿ

, n

∈_N^∗

I =

_R

F (x) =

_n+1¹

x

ⁿ⁺¹

f (x ) =

_x¹₂

]

− ∞;

0[ ou ]0 : +∞[ F (x ) =

−¹_x

f (x) =

^√¹_x

I =]0 : +∞[

F (x ) = 2

√

x

(55)

Pour chacune des fonctions f suivantes, la fonction F est une primitive de f sur l’intervalle I donné :

Fonction f Intervalle I Primitive F

f(x) = a , a

∈_R

I =

_R

F (x) = ax

f (x ) = x

ⁿ

, n

∈_N^∗

I =

_R

F (x) =

_n+1¹

x

ⁿ⁺¹

f (x ) =

_x¹₂

]

− ∞;

0[ ou ]0 : +∞[ F (x ) =

−¹_x

f (x) =

^√¹_x

I =]0 : +∞[ F (x ) = 2

√

x

(56)

f (x ) = e

^x

I =

_R

F (x) = e

^x

f (x ) = 1

x I =]0 : +∞[ F (x) = ln x

f(x) = cos x I =

R

F (x) = sin x

f (x ) = sin x I =

R

F (x ) =

−

cos x

(57)

f (x ) = e

^x

I =

_R

F (x) = e

^x

f (x ) = 1

x I =]0 : +∞[

F (x) = ln x

f(x) = cos x I =

R

F (x) = sin x

f (x ) = sin x I =

R

F (x ) =

−

cos x

(58)

f (x ) = e

^x

I =

_R

F (x) = e

^x

f (x ) = 1

x I =]0 : +∞[ F (x) = ln x f(x) = cos x I =

R

F (x) = sin x

f (x ) = sin x I =

R

F (x ) =

−

cos x

(59)

f (x ) = e

^x

I =

_R

F (x) = e

^x

f (x ) = 1

x I =]0 : +∞[ F (x) = ln x f(x) = cos x I =

R

F (x ) = sin x f (x ) = sin x I =

R

F (x ) =

−

cos x

(60)

f (x ) = e

^x

I =

_R

F (x) = e

^x

f (x ) = 1

x I =]0 : +∞[ F (x) = ln x

f(x) = cos x I =

R

F (x ) = sin x

f (x ) = sin x I =

R

F (x ) =

−

cos x

(61)

Fonctions composées :

on suppose que u est une fonction dérivable sur un intervalle J , dérivable et strictement positive sur un intervalle K .

Fonction f Intervalle I Primitive F

f (x ) = cos(ax + b) , a

6=

0 I =

R

F (x) =

¹_a

sin(ax + b) f(x) = sin(ax + b) , a

6=

0 I =

_R

F (x) =

−¹_a

cos(ax + b)

f = u

⁰×

u

ⁿ

, n

∈_N^∗

I = J F (x) =

_n+1¹

u

ⁿ⁺¹

f = u

⁰

√

u I = K F (x) = 2

√

u f = u

⁰

e

^u

I = J F (x ) = e

^u

f = u

⁰

u I = K F (x) = ln u

(62)

on suppose que u est une fonction dérivable sur un intervalle J , dérivable et strictement positive sur un intervalle K .

Fonction f Intervalle I Primitive F

f (x ) = cos(ax + b) , a

6=

0 I =

R

F (x) =

¹_a

sin(ax + b) f(x) = sin(ax + b) , a

6=

0 I =

_R

F (x) =

−¹_a

cos(ax + b) f = u

⁰×

u

ⁿ

, n

∈_N^∗

I = J F (x) =

_n+1¹

u

ⁿ⁺¹

f = u

⁰

√

u I = K F (x) = 2

√

u f = u

⁰

e

^u

I = J F (x ) = e

^u

f = u

⁰

u I = K F (x) = ln u

(63)

on suppose que u est une fonction dérivable sur un intervalle J , dérivable et strictement positive sur un intervalle K .

Fonction f Intervalle I Primitive F

f (x ) = cos(ax + b) , a

6=

0 I =

R

F (x) =

¹_a

sin(ax + b) f(x) = sin(ax + b) , a

6=

0 I =

_R

F (x) =

−¹_a

cos(ax + b)

f = u

⁰×

u

ⁿ

, n

∈_N^∗

I = J

F (x) =

_n+1¹

u

ⁿ⁺¹

f = u

⁰

√

u I = K F (x) = 2

√

u f = u

⁰

e

^u

I = J F (x ) = e

^u

f = u

⁰

u I = K F (x) = ln u

(64)

on suppose que u est une fonction dérivable sur un intervalle J , dérivable et strictement positive sur un intervalle K .

Fonction f Intervalle I Primitive F

f (x ) = cos(ax + b) , a

6=

0 I =

R

F (x) =

¹_a

sin(ax + b) f(x) = sin(ax + b) , a

6=

0 I =

_R

F (x) =

−¹_a

cos(ax + b)

f = u

⁰×

u

ⁿ

, n

∈_N^∗

I = J F (x) =

_n+1¹

u

ⁿ⁺¹

f = u

⁰

√

u I = K

F (x) = 2

√

u f = u

⁰

e

^u

I = J F (x ) = e

^u

f = u

⁰

u I = K F (x) = ln u

(65)

on suppose que u est une fonction dérivable sur un intervalle J , dérivable et strictement positive sur un intervalle K .

Fonction f Intervalle I Primitive F

f (x ) = cos(ax + b) , a

6=

0 I =

R

F (x) =

¹_a

sin(ax + b) f(x) = sin(ax + b) , a

6=

0 I =

_R

F (x) =

−¹_a

cos(ax + b)

f = u

⁰×

u

ⁿ

, n

∈_N^∗

I = J F (x) =

_n+1¹

u

ⁿ⁺¹

f = u

⁰

√

u I = K F (x) = 2

√

u

f = u

⁰

e

^u

I = J F (x ) =

e

^u

f = u

⁰

u I = K F (x) = ln u

(66)

on suppose que u est une fonction dérivable sur un intervalle J , dérivable et strictement positive sur un intervalle K .

Fonction f Intervalle I Primitive F

f (x ) = cos(ax + b) , a

6=

0 I =

R

F (x) =

¹_a

sin(ax + b) f(x) = sin(ax + b) , a

6=

0 I =

_R

F (x) =

−¹_a

cos(ax + b)

f = u

⁰×

u

ⁿ

, n

∈_N^∗

I = J F (x) =

_n+1¹

u

ⁿ⁺¹

f = u

⁰

√

u I = K F (x) = 2

√

u f = u

⁰

e

^u

I = J F (x ) = e

^u

f = u

⁰

u I = K

F (x) = ln u

(67)

on suppose que u est une fonction dérivable sur un intervalle J , dérivable et strictement positive sur un intervalle K .

Fonction f Intervalle I Primitive F

f (x ) = cos(ax + b) , a

6=

0 I =

R

F (x) =

¹_a

sin(ax + b) f(x) = sin(ax + b) , a

6=

0 I =

_R

F (x) =

−¹_a

cos(ax + b)

f = u

⁰×

u

ⁿ

, n

∈_N^∗

I = J F (x) =

_n+1¹

u

ⁿ⁺¹

f = u

⁰

√

u I = K F (x) = 2

√

u f = u

⁰

e

^u

I = J F (x ) = e

^u

f = u

⁰

u I = K F (x) = ln u

(68)

Propriété Définition Exemple Propriétés

Propriété

Soit f une fonction continue et positive sur [a; b] et F une primitive de f sur [a; b].

Alors . . . . . . . .

On note :

. . . .

(69)

Propriété

Soit f une fonction continue et positive sur [a; b] et F une primitive de f sur [a; b].

Alors l’intégrale de

a

à

b

de la fonction

f

est égale au nombre

F(b)−F(a).

On note :

. . . .

(70)

Propriété

Soit f une fonction continue et positive sur [a; b] et F une primitive de f sur [a; b].

Alors l’intégrale de a à b de la fonction f est égale au nombre F (b)

−

F (a).

On note :

. . . .

(71)

Propriété

Soit f une fonction continue et positive sur [a; b] et F une primitive de f sur [a; b].

Alors l’intégrale de a à b de la fonction f est égale au nombre F (b)

−

F (a).

On note :

Z b a

f(x)dx =F(b)−F(a)

(72)

Démonstration

. . . . . . . .

. . . .

(73)

Démonstration

On sait que

f

admet des primitives sur

[a;b], par exemple la

fonction

G

définie par

G(x) =

Z x a

f(t)dt.

. . . . . . . .

. . . .

(74)

Démonstration

On sait que f admet des primitives sur [a; b], par exemple la fonction G définie par G(x ) =