I Intégrale d’une fonction continue

Résumé de cours : techniques de calcul intégral

Dans tout le texte, I désigne un intervalle.

I Intégrale d’une fonction continue

On admet que l’on peut définir l’intégrale sur un segment [a, b] de toute fonction continue f . De plus, on a les propriétés suivantes :

1. Si f est constante égale à k, alors ^R _[a,b] f = k(b − a).

2. Linéarité : ^R _[a,b] (λf + g) = λ ^R _[a,b] f + ^R _[a,b] g

3. Relation de Chasles : si c ∈ [ a, b ], alors ^R _[a,b] f = ^R _[a,c] f + ^R _[c,b] f . 4. Positivité : si f > 0 sur [a, b], alors ^R _[a,b] f > 0

5. Croissance : si f > g sur [a, b], alors ^R _[a,b] f > ^R _[a,b] g 6. Inégalité triangulaire :

Z

[a,b]

f

6

Z

[a,b] | f | .

Remarque : lorsque f est positive, cela représente l’aire délimitée par la courbe de f, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = a et x = b.

Extension de la définition avec a et b quelconques dans I : Soit f : I → R avec a, b ∈ I (pas forcément a 6 b ). On pose :

Z _b

a f(t) dt =

( R

[a,b] f si a 6 b

− ^R [b,a] f sinon Avec cette définition, on a alors ^R _a ^b f(t) dt = − ^R b ^a f(t) dt.

II Comment calculer une intégrale ?

Nous avons vu en introduction deux méthodes pour calculer l’aire du segment de parabole

R ₁

0 t ² dt :

• utiliser des limites de suites en approximant l’aire par des rectangles de même largeur h que l’on a fait tendre vers 0.

• montrer que la fonction «aire» F : x 7→ ^R 0 ^x t ² dt est dérivable de dérivée x 7→ x ² , autrement dit F est une primitive de x 7→ x ² .

C’est cette deuxième idée «génialissime» que l’on va généraliser et qui va ramener le calcul d’intégrales aux calculs de primitives.

La première idée n’est pas pour autant à «jeter», au contraire, elle sera utilisée et amélio-

rée pour les estimations numériques d’intégrales (méthodes des rectangles, des losanges ou de

Simson), dans les cas notamment où expliciter une primitive de f n’est pas facile.

II.1 Notion de primitive

Définition 1 Soit f : I → R . On dit que F : I → R est une primitive de f si F est dérivable et F ^′ = f.

Proposition 2 (Primitives de fonctions usuelles) On a :

• Soit α 6 = 1 un réel. Une primitive sur I =]0, + ∞ [ ou I =] −∞ , 0[ de x 7→ x ^α est x 7→ ^x _α+1

.

• Une primitive de la fonction inverse sur I =]0, + ∞ [ ou I =] − ∞ , 0[ est x 7→ ln | x | . Plus généralement, Si u est une fonction dérivable ne s’annulant pas, une primitive de ^u _u

est ln | u | .

• Une primitive sur R de x 7→ _1+x ¹

est arctan, une primitive sur ] − 1, 1[ de x 7→ ^√ _x ¹

_{− 1} est arcsin, une primitive sur ] − 1, 1[ de x 7→ ^√ _x ⁻¹

_{− 1} est arccos ou − arcsin.

Proposition 3 Deux primitives d’une même fonction sur un intervalle diffèrent d’une constante.

Exercice 1 Donner une primitive des fonctions suivantes : 1. x 7→ √

x 2. x 7→ x

^x−3/2 − 3x+2 3. x 7→ (x

+5) ^x

4. cos ² 5. tan 6. tan ²

II.2 Théorème fondamental de l’analyse

Le théorème suivant sera démontré plus tard dans l’année.

Théorème 4 (Théorème fondamental de l’analyse) Si f : I → R est une fonction conti- nue et a ∈ I, la fonction F _a : x 7→ ^R a ^x f (t) dt est l’unique primitive de f s’annulant en a, en particulier F _a est dérivable et F _a ^′ = f.

On en déduit que pour calculer une intégrale, il suffit de chercher des primitives !

Corollaire 5 Si F est une primitive de f sur I , alors pour tout a, b ∈ I, on a ^R _a ^b f(t) dt = [F (t)] ^b _a = F (b) − F (a).

Corollaire 6 Toute fonction continue sur un intervalle admet une primitive.

Remarque : on pourra parfois utiliser la notation note ^R f (x) dx pour désigner «une» pri- mitive de f ( x ).

Exercice 2 Calculer les intégrales suivantes :

1. ^R ₀ ¹ x ⁴ (1 + x ² ) dx 2. ^R ₁ ^{3 x−3} _x+4 dx 3. ^R ₁ ² sh(2t) dt 4. ^R (e ^3x + 1) ² dx

Exercice 3 Calculer ^{P n} _k=0 ⁿ _{k k+1} ¹ en calculant de deux façons différentes ^R ₀ ¹ (1 + x ) ⁿ d x .

Exercice 4 On note φ la fonction définie sur ]0, + ∞ [ par φ(x) = ^R _2x ^x

sin(t ² ) dt. Démontrer que

φ est dérivable et donner sa dérivée.

III Deux outils fondamentaux

III.1 L’intégration par parties (IPP)

On sait qu’intégrer un produit n’est pas facile. La formule suivante dite «d’intégration par parties» indique que pour intégrer un produit u ^′ (t)v(t), on peut si l’on souhaite intégrer à la place le produit u(t)v ^′ (t). C’est une simple conséquence de la formule de dérivation (uv ) ^′ = u ^′ v + uv ^′ .

Définition 7 Une fonction f : I → R est dite de classe C ¹ si elle est dérivable et si sa dérivée f ^′ est continue.

Proposition 8 (Intégration par parties) Soit u : I → R et v : I → R deux fonctions de classe C ¹ . On a pour tout a et b dans I :

Z b

a u ^′ (t)v(t) dt = [u(t)v(t)] ^b _a −

Z b

a u(t)v ^′ (t) dt.

Morale de l’IPP : si le calcul de ^R u ^′ v est difficile, on peut tenter celui de ^R uv ^′ . Applications :

• calcul de primitives comme ln, arctan ou x 7→ x ² e ^x (double IPP).

• obtention de relation de récurrence pour des suites définies par des intégrales comme celles de Wallis par exemple.

Exercice 5 Calculer à l’aide d’une IPP :

1. I = ^R ₀ ¹ xe ^2x dx 2. J = ^R ₀ ^π/2 x ² cos(x) dx 3. K = ^R ₁ ^x ln(t) dt avec x > 0 un réel fixé.

Corollaire 9 Une primitive de ln est la fonction x 7→ x ln x − x.

III.2 Le changement de variables

Proposition 10 (Changement de variable) Soit f : I → R continue et u : [a, b] → I de classe C ¹ . Alors on a

Z b a

f (u(t))u ^′ (t) dt =

Z u(b)

u(a) f(x) dx.

Dans la pratique, on rédige ainsi : on pose x = u ( t ), alors ^dx _dt = u ^′ ( t ) , c’est-à-dire d x = u ^′ (t) dt. Ensuite pour les bornes, si t = a, alors x = u(a) et pour t = b, x = u(b).

Exercice 6 Calculer avec changement de variable : 1. I = ^R ₁ ^e _t(1+ln ^dt _t 2. J = ^R ₁ ³ _t+1 ^{√ t} dt 3. K = ^R ₀ ^{1 dx}

(

)

⁺¹ 4. L = ^R ₀ ^π/2 sin ³ t dt avec x = cos t.

IV Applications ou compléments

IV.1 Quelques calculs classiques

1. Primitives de fonctions trigonométriques

Puisque cos ^′ = − sin et que sin ^′ = cos, une primitive de cos est sin et une primitive de sin est − cos.

Dans le cas d’expression sous forme de produit, on linéarise : Exercice 7 (Orthogonalité de signaux) Soit p, q ∈ N . Calculer

I _p,q =

Z 2π

0 cos(pt) cos(qt) dt.

2. Calcul d’intégrales du type ^R _ax

+bx+c ¹ d x , en discutant selon le nombre de racines réelles :

• si ∆ > 0, on décompose en éléments simples, par exemple, la fraction F ( x ) =

1

(x−1)(x−2) = _x−1 ^a + _x−2 ^b , en remarquant que a est égal à (x − 1)F (x) évalué en 1 et b est égal à (x − 2)F (x) évalué en 2.

• si ∆ = 0, par exemple ^R _{(x −} ^dx ₁₎

= _x ⁻¹ _{− 1} .

• si ∆ < 0, on écrit le polynôme sous forme canonique pour se ramener à une intégrale du type ^R _1+x ^dx

= arctan x

On peut ainsi calculer toute intégrale du type ^R _ax

^P(x) +bx+c d x avec P un polynôme, quitte à effectuer la division euclidienne de P par ax ² + bx + c si deg P > 2.

Exercice 8 Calculer les intégrales suivantes (on trouve I = ^π ₈ ) : (a) I = ^R ₋₁ ¹ _x

+2x+5 ^dx (b) J = ^R ₋₁ ¹ _x

+2x+5 ^{x dx} (c) K = ^R ₋₁ ¹ _x

^x +2x+5

^dx

IV.2 Utilisation des symétries

Proposition 11 (Fonctions paires ou impaires) Soit f : [ − a, a] → R continue et paire (resp. impaire). Alors

Z a

− a f = 2

Z a

0 f (resp.

Z a

− a f = 0).

Proposition 12 (Fonction périodique) Soit f : I → R une fonction continue et T -périodique.

Alors pour tous réels a et b :

Z b a f =

Z b+T a+T f et

Z a+T

a f =

Z T 0 f.

Exercice 9 On note f : R → R la fonction 2π-périodique, paire définie par f (t) = t si t ∈ [0, π].

Calculer

I =

Z 100π

0 f(t) dt et J =

Z 2π

0 cos(pt) sin(qt) dt (p, q ∈ N ).

IV.3 Majoration ou minoration d’intégrales

Les deux propriétés «utiles» sont la croissance de l’intégrale et l’inégalité triangulaire.

Exercice 10 Déterminer la limite de la suite (I n ) définie par : I _n =

Z ₁

0

x ⁿ sin(x ² ) 3 + x ⁴ dx.

Exercice 11 Soit f : [ − 1, 1] → R continue, bornée par un réel M . Démontrer que

Z 1

− 1 (f (x ² ) + xf (x)) dx

6 3M.

IV.4 Comparaison série/intégrale

Exercice 12 (Équivalent de la série harmonique) On pose pour n ∈ N ^∗ , H _n =

n

X

k=1

1

k et I _n =

Z _n

1

d t t .

1. En exploitant la monotonie, justifier que tout entier k > 1, on a _k+1 ¹ 6 ^R _k ^{k+1 dt}

t dt 6 ¹

k . En déduire que pour tout n ∈ N ^∗ , on a

H _n − 1 6 I _n 6 H _n − 1 n . 2. En déduire un encadrement de H _n , puis un équivalent de H _n

IV.5 Étude des intégrales de Wallis

Voir devoir maison et/ou TD.

IV.6 Cas des fonctions à valeurs complexes

Définition 13 (Intégrale et primitive d’une fonction à valeurs complexes) Soit f : I → C une fonction à valeurs complexes. Pour tout t ∈ I , on pose f ( t ) = x ( t ) + iy ( t ) avec x ( t ) et y(t) des réels.

La fonction f est dite continue (resp. dérivable) sur I si les fonctions x : I → R et y : I → R sont continues (resp. dérivables).

De plus,

Si f : I → C est continue, on pose pour a, b ∈ I

Z b

a f(t) dt =

Z b

a x(t) dt + i

Z b

a y(t) dt.

Si f : I → C est dérivable, on pose pour tout t ∈ I

f ^′ ( t ) = x ^′ ( t ) + iy ^′ ( t ) .

Exercice 13 Soit q ∈ C .

1. Démontrer que l’application t 7→ exp(qt) est dérivable et a pour dérivée t 7→ q exp(qt).

2. En déduire une primitive de t 7→ e ^2it e ^t , puis de f : t 7→ cos(2 t )e ^t . Proposer une autre

méthode pour obtenir une primitive de f .