2) Intégrale sur un segment d’une fonction continue par morceaux

Les fonctions considérées sont à valeurs dans K=Rou C. I est un intervalle non trivial de R.

II - Intégrale sur un segment d’une fonction continue par morceaux

1) Fonctions en escalier, fonctions continues par morceaux

a) Définitions

On appelle subdivision d’un segment[a, b](a < b) de Rtoute familleσ = (a0, . . . , an) de réels tels que a=a0< a1 <· · ·< an=b.

Une fonction ϕest diteen escalier sur [a, b] si et seulement s’il existe une subdivisionσ= (a0, . . . , an) de [a, b] telle que la restriction de ϕ à l’intervalle ouvert ]ak−1, ak[ soit constante, pour tout k de N_n. La subdivisionσ est alors dite adaptée à ϕ.

Une fonction f est dite continue par morceaux sur [a, b] si et seulement s’il existe une subdivision σ = (a0, . . . , an)de[a, b]telle que la restriction def à l’intervalle ouvert]ak−1, ak[soit prolongeable par continuité à [ak−1, ak], pour toutk deN_n. La subdivision σ est alors dite adaptée àf.

f est dite continue par morceaux sur l’intervalle I si et seulement si elle l’est sur tout segment deI.

Propriété : une fonction continue par morceaux sur un segment est bornée sur ce segment (mais elle n’atteint pas toujours ses bornes. . . ).

Exemple : la fonction partie entière x → ⌊x⌋ est continue par morceaux surR ; elle n’est pas bornée sur R, elle est en escalier sur tout segment deR.

b) Structures

Les fonctions continue par morceaux sur [a, b](resp. sur I), à valeurs dans K, forment une K-algèbre, notée CM([a, b],K) (resp. CM(I,K)).

Les fonctions en escalier sur [a, b], à valeurs dansK, forment une sous-algèbre de CM([a, b],K).

2) Intégrale sur un segment d’une fonction continue par morceaux

a) Théorème et définition

Soit f ∈ CM([a, b],K) (où a < b) ; pour toute subdivision σ = (a0, . . . , an) de [a, b] adaptée à f, on note

S(f, σ) =

n

k=1 ak

ak−1

fk

(où, pour tout k,fk est le prolongement par continuité def_|]ak−1,ak[ à[ak−1, ak]).

S(f, σ) ne dépend pas du choix de la subdivisionσadaptée àf ; cet élément deKest appelé“intégrale de f. sur [a, b]”, ou “intégrale de aà b de f”, noté

[a,b]

f ,

b a

f ou encore ^b

a

f(t) dt.

Dém. Remarquons tout d’abord que S(f, σ) n’est pas modifié si j’ajoute un point à la subdivision σ, adaptée à f : supposons par exemple que σ = (a0, . . . , an) et que σ^′ est constituée des mêmes points, plus un pointαélément de]ai−1, ai[; commefi est continue sur le segment[ai−1, ai] = [ai−1, α]∪[α, ai], je passe de S(f, σ) à S(f, σ^′) en remplaçant le terme ^ai

ai−1

fi par :

α ai−1

fi+

ai

α

fi , qui est encore égal à ^a

i

ai−1

figrâce à la relation de Chasles.

En réitérant ce procédé, je montre par récurrence que S(f, σ) n’est pas modifié si j’ajoute un nombre fini de points à la subdivision σ.

Soient alors σ1 etσ2 deux subdivisions adaptées àf etσ^′ la subdivision obtenue en “fusionnant”σ1 et σ2 (c’est-à-dire en rangeant par ordre croissant les points de la réunion des ensembles formés des points deσ1 etσ2 respectivement). σ^′ se déduit de σ1 (ainsi que deσ2) en ajoutant un nombre fini de points, donc, grâce au résultat précédent :

S f, σ^′ =S(f, σ1) et S f, σ^′ =S(f, σ2) , d’où S(f, σ1) =S(f, σ2) : cqfd.

Définition :sif est continue par morceaux sur un intervalleI et sicetdsont deux éléments deI tels que d < c, on pose ^d

c

f =−

c d

f =−

[d,c]

f. Enfin on pose ^a

a

f = 0.

b) Premières propriétés

Propriété : relation de Chasles (additivité par rapport à l’intervalle)

Sia, b, c sont trois points d’un intervalle I deRetf ∈ CM(I,K), alors

c a

f =

b a

f+

c b

f .

Théorème :linéarité par rapport à la fonction

L’application : CM([a, b],K)→K, f →

b a

f est linéaire.

∀(f, g)∈(CM([a, b],K))² ∀λ∈K

b a

(λ .f+g) =λ

b a

f +

b a

g.

Théorème :positivité, croissance pour les fonctions à valeurs réelles Soit a≤b, et (f, g)∈(CM([a, b],R))².

1)Positivité : si f ≥0 sur[a, b], alors ^b

a

f ≥0.

2)Croissance de l’intégrale : sif ≤g sur[a, b], alors ^b

a

f ≤

b a

g.

3)Inégalité de la moyenne : ^b

a

f ≤

b

a |f| ≤(b−a) sup

[a,b]|f|.

4) Sif est à valeurs dans R⁺, non nulle en un point où elle est continue, alors ^b

a

f >0.

5) Sif est à valeurs dans R⁺, continue et d’intégrale nulle, alors f est nulle sur [a, b].

Propriété : soitf : [a, b]→C. f ∈ CM([a, b],C)⇔ Ref ∈ CM([a, b],R) et Imf ∈ CM([a, b],R) . Si c’est le cas :

b a

f =

b a

Ref +i.

b a

Imf et ^b

a

f =

b a

f . Définition :si a = b et f ∈ CM([a, b],K), 1

b−a

b a

f est la valeur moyenne de f sur [a, b] (c’est la valeur de l’application constante ayant même intégrale que f sur[a, b]).

Propriété : extensions de l’inégalité de la moyenne

Sif ∈ CM([a, b],K), alors (attention au signe de b−a!) :

[a,b]

f ≤

[a,b]|f| ≤ |b−a|sup

[a,b]|f|. Si(f, g)∈ CM([a, b],K)², alors :

[a,b]

f.g ≤sup

[a,b]|f|.

[a,b]|g| .

c) Généralisation

Théorème :soit(f, g)∈(CM([a, b],C))².

Sif etgcoïncident sauf en un nombre fini de points de [a, b], alors ^b

a

f =

b a

g.

En effet, f−gest nulle sauf en un nombre fini de points ai, donc d’intégrale nulle.

Définition :soit f : [a, b] → C une fonction définie sur [a, b] privé des points d’une subdivision σ = (ai)_0≤i≤n de[a, b].

Si la restriction def à chacun des intervalles ouverts]ai−1, ai[ (1≤i≤n)est prolongeable en une fonction continue sur chaque[ai−1, ai], on prolonge de façon quelconquef sur[a, b].

On obtient une fonction f continue par morceaux sur[a, b]. On pose :

b a

f =

b a

f .

Cette définition ne dépend pas du prolongement f choisi.

II

II - Convergence, convergence absolue des intégrales généralisées

1) Définitions — Notion de convergence

Soit (a, b)∈R² tel que−∞ ≤a < b≤+∞.

•Si f ∈ CM([a, b[,K), on dit que l’intégrale (généralisée, ou impropre)

b a

f(t) dt, ou

[a,b[

f(t) dt, est convergente si et seulement si la fonction x→

x a

f(t) dt admet une limite finie à gauche enb.

Si c’est le cas, on note

b a

f(t) dt=

[a,b[

f(t) dt= lim

x→b^<

x a

f(t) dt.

Sinon l’intégrale est ditedivergente.

•Si f ∈ CM(]a, b],K), on dit que l’intégrale (généralisée, ou impropre)

b a

f(t) dt, ou

]a,b]

f(t) dt, est convergente si et seulement si la fonction x →

b x

f(t) dt admet une limite finie à droite en a.

Si c’est le cas, on note

b a

f(t) dt=

]a,b]

f(t) dt= lim

x→a^>

b x

f(t) dt.

Sinon l’intégrale est ditedivergente.

•Sif ∈ CM(]a, b[,K), on dit quel’intégrale (généralisée, ouimpropre)

b a

f(t) dt, ou

]a,b[

f(t) dt, est convergente si et seulement si,αayant été fixé dans]a, b[,les deuxintégrales impropres ^α

a

f(t) dt et ^b

α

f(t) dt sont convergentes (ce qui ne dépend pas du choix deα). Si c’est le cas, on note

b a

f(t) dt=

]a,b[

f(t) dt=

α a

f(t) dt+

b α

f(t) dt.

Sinon l’intégrale est ditedivergente.

Attention ! Dans ce dernier cas, il est indispensable de traiterséparément les deux limites (cf. lim

x→+∞

x

−x

tdt= 0alors que ^+∞

−∞

tdtest divergente).

NB : lorsquef est (ou peut se prolonger en, cf. le §I-2-cin fine) une fonction continue par morceaux sur le segment [a, b], les trois intégrales sur ]a, b],[a, b[et]a, b[convergent et valent l’intégrale

“ordinaire” de f sur [a, b].

Calcul à l’aide d’une primitive — crochet généralisé

Si f est continue sur ]a, b[et admet pour primitive F sur ]a, b[, alors ^b

a

f converge si et seulement si F admet des limites finies enaet enb. Si c’est le cas, on note[F]^b_aou[F(t)]^b_ala différencelim

b F−lim

a F et l’on a encore ^b

a

f = [F]^b_a (idem sur[a, b[ou sur]a, b]).

Exemples :

1 0

√dt t = 2 ;

1 0

lntdt=−1 ;

+∞

−∞

dt

1 +t² =π; pour α∈C, tel que Reα >0,

+∞

0

e^−αtdt= 1 α.

Intégrales de Riemann : soientα∈Reta,bréels tels que a < b.

1) ^+∞

1

dt

t^α est convergente si et seulement si α >1; 2) ¹

0

dt

t^α est convergente si et seulement si α <1 ;

b a

dt

(t−a)^α est convergente ssiα <1 ; ^b

a

dt

(b−t)^α est convergente ssiα <1.

Attention ! ^+∞

0

dt

t^α n’estjamaisconvergente ! Attention ! Pour que ^+∞

a

f(t) dtconverge, il n’est ni nécessaire ni suffisant quelim

+∞f = 0.

∗ condition non suffisante : x→ 1

x a pour limite 0 en +∞mais ^+∞

1

dt

t est divergente ;

∗ condition non nécessaire : soitf continue et affine par morceaux sur[1,+∞[, nulle en dehors des segments de la forme n, n+ 1

n³ , affine sur n, n+ 1

2n³ et sur n+ 1

2n³, n+ 1

n³ et telle quef n+ 1

2n³ =n, cela pour tout nde N^∗ ;

+∞

1

f(t) dtconverge, maisf n’a pas de limite en+∞(elle n’est pas bornée !).

Toutefois, si ^+∞

a

f(t) dtest convergenteet si f admet une limiteen+∞, cette limite est nécessairement nulle.

2) Premières propriétés

1) Linéarité :

∗ si ^b

a

f(t) dtet ^b

a

g(t) dtconvergent, alors ^b

a

(f+g) (t) dtaussi et

b a

(f +g) (t) dt=

b a

f(t) dt+

b a

g(t) dt; Attention ! ^b

a

(f+g) (t) dtpeut converger tandis que ^b

a

f(t) dtet ^b

a

g(t) dt divergent.

∗ si ^b

a

f(t) dtconverge et si λ∈K, alors ^b

a

(λ.f) (t) dtaussi et

b a

(λ.f) (t) dt=λ.

b a

f(t) dt.

2) Positivité, croissance pour les fonctions à valeurs réelles :soit(f, g)∈(CM(I,R))²

∗ positivité : sif ≥0 et si

I

f converge, alors

I

f ≥0 ;

∗ croissance de l’intégrale : si f ≤g sur I et si

I

f et

I

g convergent,

I

f ≤

I

g ;

∗ si f est à valeurs dansR⁺, continue et d’intégrale nulle surI, alorsf est nulle sur I.

3) Relation de Chasles : si −∞ ≤ a < b < c ≤+∞et f continue par morceaux sur ]a, c[, ^c

a

f(t) dt converge si et seulement si ^b

a

f(t) dtet ^c

b

f(t) dtconvergent, auquel cas

c a

f(t) dt=

b a

f(t) dt+

c b

f(t) dt.

3) Convergence absolue — Fonctions intégrables

Définition :on dit que f, continue par morceaux surI, estintégrable sur I, ou encore que

I

f(t) dt est absolument convergente si et seulement si

I|f(t)|dtest convergente.

NB : l’étude de la convergence de l’intégrale d’une fonction à valeurs dans R⁺ est simplifiée par l’existence de limites pour les fonctions monotones.

Caractérisation :f, continue par morceaux surI, est intégrable surIsi et seulement s’il existeM >0 tel que, pour tout segmentJ inclus dansI :

J|f(t)|dt≤M.

En effet, lorsque a < bnous avons les équivalences suivantes :

•f est intégrable sur[a, b[si et seult si la fonction croissantex→

x

a |f(t)|dtest bornée sur [a, b[.

•f est intégrable sur]a, b]si et seult si la fonction décroissantex→

b

x |f(t)|dtest bornée sur]a, b].

Théorème :si

I

f(t) dtest absolument convergente, alors elle est convergente et l’on a

I

f(t) dt ≤

I|f(t)|dt.

Dém.Soit f ∈ CM(I,K) telle que

I|f|converge.

•Je traite d’abord le cas où f est à valeurs dans R et je pose (classiquement) f⁺ = max (f,0) et f⁻ = max (−f,0) : f⁺, f⁻ sont à valeurs dans R⁺, |f| = f⁺+f⁻ et f = f⁺−f⁻ ; d’après la caractérisation précédente, je dispose de M > 0 tel que, pour tout segment J inclus dans I,

J|f| ≤M ; or0 ≤f⁺≤ |f|et 0≤f⁻≤ |f|, il en résulte que

I

f⁺ et

I

f⁻ convergent (toujours d’après la même caractérisation !). Finalement, par linéarité,

I

f converge.

•Pour le cas oùf est à valeurs dansC, j’écris f = Ref+i.Imf et j’ai|Ref| ≤ |f|,|Imf| ≤ |f|. J’en déduis, comme ci-dessus, que

I

Ref et

I

Imf sont absolument convergentes, donc convergentes d’après le cas réel précédent. D’où, par linéarité, la convergence de

I

f.

•Pour l’inégalité de la moyenne, partir du cas connu d’un segment[a, x],[x, b]ou [x, y]et passer à la limite. . .

4) Intégrales semi-convergentes

Attention ! La réciproque du théorème précédent est fausse. . . Définition :si

I

f converge, tandis que

I|f|diverge,

I

f est dite semi-convergente (elle converge tout de même !).

Exemple : intégrale de Dirichlet

+∞

0

sint t dt f :t→ sint

t est continue par morceaux surR⁺ (on la prolonge par continuité en 0 en posantf(0) = 1).

f n’est pas intégrable sur R⁺, en effet :

∀n∈N

(n+1)π nπ

sint t dt=

π 0

sinu

nπ+udu≥ 1 (n+ 1)π

π 0

sinudu= 2 (n+ 1)π . D’où :

∀p∈N

pπ 0

sint t dt≥

p−1

n=0

2

(n+ 1)π _p→∞−→ +∞.

Par ailleurs j’intègre par parties (cf. le § III-5), le lecteur vérifiera qu’il n’y a pas de cercle vicieux) : les fonctions u :t→1−cost et v :t→1/t sont C¹ sur R^+∗ et le produit uv admet des limites finies (nulles) en 0 et en +∞, donc les intégrales ^+∞

0

u^′v et ^+∞

0

uv^′ sont de même nature.

Or uv^′:t→ cost−1

t² est intégrable surR^+∗ (car se prolonge par continuité en 0 et est un O 1/t² au voisinage de +∞).

Donc l’intégrale impropre ^+∞

0

u^′v=

+∞

0

sint

t dt converge également ; on peut montrer que :

+∞

0

sint t dt= π

2 (intégrale de Dirichlet).

III

III - Étude pratique de la nature d’une intégrale impropre

1) Utilisation des critères de comparaison pour l’intégrabilité d’une fonction

Ce paragraphe servira notamment à l’étude de laconvergence absolue d’une intégrale.

I est un intervalle non trivial de Ret−∞ ≤a < b≤+∞.

1) Soientf, g continues par morceaux sur I, telles que|f| ≤ |g|:

∗ si gest intégrable sur I, alors f est intégrable sur I ;

∗ si f n’est pas intégrable surI, alorsg n’est pas intégrable sur I.

2) Soientf, g continues par morceaux sur [a, b[, telles que f(t) =

t→b⁻ O(g(t)):

∗ si gest intégrable sur [a, b[, alorsf est intégrable sur[a, b[;

∗ si f n’est pas intégrable sur[a, b[, alors g n’est pas intégrable sur[a, b[.

De même sur]a, b], lorsquef(t) =

t→a⁺O(g(t)).

3) Soientf, g continues par morceaux sur [a, b[, telles que f(t) ∼

t→b⁻ g(t) ; f est intégrable sur[a, b[si et seulement si gest intégrable sur [a, b[.

De même sur]a, b], lorsquef(t) ∼

t→a⁺g(t).

Attention ! Pour des fonctions de signe quelconque telles que f(t) ∼ g(t), les intégrales peuvent ne pas être de même nature, mais cela uniquement si l’une des deux est semi-convergente et l’autre divergente (il ne s’agit plus d’intégrabilité) ; en effet|f(t)| ∼ |g(t)|, donc si l’une des intégrales est absolument convergente, l’autre aussi !

NB : par définition, f(t) = O(g(t)) équivaut à |f(t)| = O(|g(t)|), d’où les conclusions du point 2) ci-dessus, mais attention là encore aux intégrales semi-convergentes ! Par exemple, on a

|sinx|

x =

x→+∞O sinx

x et pourtant ^+∞

1

sinx

x dxconverge, tandis que ^+∞

1

|sinx|

x dxdiverge. . .

2) Fonctions de référence

Les résultats précédents permettent notamment d’utiliser le “catalogue” officiel. . .

•Intégrales de Riemann : soientα∈R eta,bréels tels que a < b.

∗

+∞

1

dt

t^α est convergente si et seulement siα >1 ;

∗

1 0

dt

t^α (resp. ^b

a

dt

(t−a)^α, ^b

a

dt

(b−t)^α) est convergente si et seulement si α <1.

•

+∞

0

e^−αtdt est convergente pourα∈R^+∗ ; ¹

0 |lnt|dtest convergente.

3) Comparaison d’une série et d’une intégrale (cf. chap. 3 — § II — 4)

Soient n0 ∈N^∗ etf une application continue par morceaux sur[n0,+∞[, à valeurs réelles positives et décroissante.

La série de terme général wn=

n n−1

f(t) dt−f(n) est convergente, à termes positifs ou nuls.

La série

n≥n0

f(n) converge si et seulement si l’intégrale généralisée ^+∞

n0

f(t) dtconverge.

Application (hors programme mais classique !)

En cas de divergence, on a les infiniment grands équivalents

p

n=n0

f(n)_p→∞∼

p n0

f(t) dt.

4) Changement de variable

bijectif

Soientf ∈ CM(I,K)etϕ:J →I, de classeC¹sur l’intervalleJ, bijective (i.e. strictement monotone).

Soient c et d les extrémités de J ; a = lim

c ϕ et b = lim

d ϕ sont les extrémités de I (dans un ordre dépendant du sens de variation de ϕ). f◦ϕest continue par morceaux sur J et

b a

f(t) dtconverge si et seulement si ^d

c

f ϕ(u) ϕ^′(u) duconverge, auquel cas :

b a

f(t) dt=

d c

f ϕ(u) ϕ^′(u) du (changement de variableC¹ bijectif t=ϕ(u)).

5) Intégration par parties

Théorème :soientu etv deux fonctions de classe C¹ sur un intervalle d’extrémitésa,b.

Si le produit uv admet des limites finies en aetb, alors les intégrales généralisées ^b

a

u^′v

et ^b

a

uv^′ sont de même nature et, en cas de convergence on a : ^b

a

u^′v = [uv]^b_a−

b a

uv^′. NB : le théorème ci-dessus peut s’avérer commode dans des cas simples, mais sera parfois plus facile de

rédiger une intégration par parties sur un segment suivie d’un passage à la limite (soigneuse- ment justifié !)

NB : lorsque le produit fg admet une (ou deux) limites infinies, une intégration par parties sur un segment pourra donner une relation intéressante après étude d’une (ou deux) forme(s) indéterminée(s). . .

6) Exemples (hors programme, mais classiques)

Pour comparer l’intégrale d’une fonction f à une intégrale de Riemann, penser à étudier la limite de x^αf(x) (ou de(x−a)^αf(x), ou encore de(b−x)^αf(x)) pour αbien choisi.

Par exemple, √

x ·ln²x −→

x→0⁺ 0, a fortiori ln²x =

x→0⁺ O 1

√x et x → 1

√x est intégrable sur ]0,1]

(puisque1/2<1) ; doncx→ln²x est intégrable sur ]0,1].

Attention ! Pour lescalculs d’intégrales, penser à utiliser une primitive, à effectuer un changement de variable ou une intégration par parties, sans oublier les justifications !

1) Intégrale de Gauss

R

e^−x2dx

La fonctionx→e^−x2 est continue sur R, à valeurs positives, paire ; or, par exemple, x²e^−x2 −→

x→+∞0 donc e^−x2 =

x→+∞O 1

x² Comme 2 >1, x → 1

x² est intégrable sur [1,+∞[ et j’en déduis que f est intégrable sur[1,+∞[.

Étant paire, elle est aussi intégrable sur ]−∞,−1] ; étant continue sur [−1,1], elle est finalement intégrable sur R; ne pas chercher de méthode de calcul élémentaire. . . On peut montrer que :

R

e^−x2dx=√π.

2) On peut établir comme ci-dessus que la fonctionx→xe^−x2 est intégrable surR⁺ ; et, dans ce cas, on dispose d’une primitive :

∀X∈R^+∗

X 0

xe^−x2dx= −1 2e^−x2

X 0

= 1

2 1−e^−X2 −→

X→+∞

1 2. En conclusion,

R⁺

xe^−x2dx= 1 2.

3) Fonction Γd’Euler : elle est définie par : ∀x∈R^+∗ Γ (x) =

R+∗

t^x−1e^−tdt.

Fixons x strictement positif ; pour montrer que Γ (x) est bien définie, je constate que la fonction t→t^x−1e^−test continue surR^+∗, à valeurs positives et que, d’une part,

t^x−1e^−t ∼

t→0⁺

1

t^1−x avec1−x <1 ; ainsit→t^x−1e^−t est intégrable sur]0,1]; d’autre part,

t².t^x−1e^−t −→

t→+∞0 donc t^x−1e^−t =

t→+∞O 1

t² avec2>1,

par conséquentt→t^x−1e^−t est également intégrable sur[1,+∞[, donc finalement sur R^+∗. À l’aide d’une intégration par parties, établissons la relation classique :

∀x∈R^+∗ Γ (x+ 1) =x.Γ (x).

Soit x dans R^+∗ ; les fonctionsu :t→t^x et v :t→ −e^−t sont C¹ sur R^+∗ et le produit uv admet des limites finies (nulles !) en 0 et en +∞; or ^+∞

0

u^′v converge d’après ce qui précède, d’où la convergence de ^+∞

0

uv^′ et la relation :

+∞

0

t^xe^−tdt = t^x. −e^{−t t→+∞}_t→0 −

+∞

0

xt^x−1 . −e^−t dt

= x

+∞

0

t^x−1e^−tdt C’est la relation annoncée.

CommeΓ (1) = 1, j’obtiens en particulier par récurrence :

∀n∈N

+∞

0

tⁿe^−tdt= Γ (n+ 1) =n!

Calcul de Γ (1/2): nous avons vu quet→ e^−t

√t est intégrable sur R^+∗ ; orx→x² est une bijection C¹ deR^+∗ dans R^+∗. Je peux donc effectuer le changement de variablet=x², qui me donne

Γ 1

2 =

+∞

0

e^−t

√tdt=

+∞

0

e^−x2

x 2xdx= 2

+∞

0

e^−x2dx=√ π où l’on a reconnu l’intégrale de Gauss !

4) Effectuons dansΓ (n+ 1)le changement de variablex=e^−t: la fonctionϕ:t→e^−testC¹ bijective (strictement décroissante) de]0,+∞[dans]0,1[ ;f :x→(−lnx)ⁿ est continue sur ]0,1[. Je viens de voir que f ◦ϕ·ϕ^′ : t→ −tⁿe^−t est intégrable sur ]0,+∞[, j’en déduis que f est intégrable sur ]0,1[et que

0 1

f(x) dx=

+∞

0

f ϕ(t) ϕ^′(t) dt

d’où 1

0

(−lnx)ⁿdx=

+∞

0

tⁿe^−tdt=n!

5) Intégrales de Bertrand : par une méthode similaire à celle utilisée pour les séries, on montre que a)t→ 1

t^α(lnt)^β est intégrable sur[2,+∞[si et seulement si α >1 ou

α= 1 etβ >1 ; b)t→ 1

t^α(−lnt)^β est intégrable sur 0,1

2 si et seulement si α <1 ou

α= 1 etβ >1 .

IV

IV - Espaces ^L

et ^L

1) Espace vectoriel normé

I|f|est une norme sur leK-espace vectorielL¹_c(I,K)des applications deI dansK, continues et intégrables sur I, dite norme de la convergence en moyenne.

2) Produit scalaire sur

Propriétés :1) La somme de deux fonctions de carré intégrable est de carré intégrable.

2) Le produit de deux fonctions de carré intégrable est intégrable.

Dém.Utiliser les majorations classiques : (f+g)²≤2 f²+g² et |fg| ≤ 1

2 f²+g² .

On note L²_c(I,R) le R-espace vectoriel des applications de I dans R, continues et de carré intégrable sur I.

•L’application(f, g)→(f|g) =

I

f.g est un produit scalaire surL²_c(I,R).

•La norme euclidienne associée N2:f →

I

f²

1/2

vérifie

∀(f, g)∈L²_c(I,R)² |(f|g)| ≤N1(f g)≤N2(f)N2(g). N2 est dite norme de la convergence en moyenne quadratique.

V

V - Intégration de suites et séries de fonctions

(Démonstrations hors programme.)

1) Théorème de convergence dominée

Soient (fn) une suite de fonctions deI dansK, continues par morceaux surI, telle que :

•(fn)converge simplement sur I vers une fonction f continue par morceaux surI ;

•il existe une fonction ϕ indépendante de n, continue par morceaux et intégrable sur I, à valeurs dansR⁺, vérifiant :

∀n∈N ∀t∈I |fn(t)| ≤ϕ(t) (hypothèse de domination).

Alors les fnet f sont intégrables surI et la suite numérique

I

fn(t) dt

n∈N

converge, avec :

I

f = lim

n→∞ I

fn c’est-à-dire

I

n→∞lim fn(t) dt= lim

n→∞ I

fn(t) dt .

Exemples :

1) Intégrales de Wallis : ^π/2

0

cosⁿtdt_n→∞−→ 0 (le TCD peut s’appliquer sur un segment !).

2) Intégrale de Gauss : soit, pour toutndans N^∗, fn:x→ 1 +x² n

−n

. Étudier

R

fn n∈N∗

et en déduire la valeur de l’intégrale de Gauss :

R

e^−x2dx=√π.

2) Intégration terme à terme d’une série de fonctions

Soit un une série de fonctions de I dansK, continues par morceaux surI, telle que :

• un converge simplement surI vers une fonctionS continue par morceaux surI ;

•les un sont intégrables surI et la série numérique

I|un|converge.

Alors S= ^∞

n=0

un est intégrable surI et la série numérique

I

un converge, avec :

I

∞ n=0

un =

∞

n=0 I

un . Exemples :

1) Établir : ∀x >1 Γ (x)ζ(x) =

+∞

0

t^x−1

e^t−1dt(penser à écrire 1

e^t−1 = e^−t

1−e^−t . . . ).

2) Soit (cn) une suite complexe telle que la série cn soit absolument convergente.

On considère la fonctionf :t→ ^∞

n=0

cntⁿ

n!. Montrer que f est définie et continue surR. Montrer enfin que t→e^−tf(t) est intégrable sur R⁺ et que

R⁺

e^−tf(t) dt= ^∞

n=0

cn.

NB : on remarquera que la convergence uniforme n’intervient pas dans les deux énoncés précédents (contrairement au cas de l’intégrationsur un segment). Toutefois, elle pourra être un moyen de justifier que la limite ou la fonction somme est continue (donc continue par morceaux !), notamment dans le cas où l’on n’aura pas d’expression explicite de la fonction somme d’une série de fonctions (cf. l’exemple2ci-dessus).

On remarquera aussi qu’appliquer le théorème d’intégration terme à terme à une série de fonctions n’est pasla même chose qu’appliquer le théorème de convergence dominée à la suite des sommes partielles. Cette dernière possibilité peut être envisagée, à condition de pouvoir dominer lesdites sommes partielles. . .

Voir par exemplet→ ^∞

n=0

(−1)ⁿtⁿ, à intégrer sur[0,1[.

VI

VI - Intégrales dépendant d’un paramètre

SoientAetI deux intervalles deR,K=RouC; on considèref : A×I → K (x, t) → f(x, t)

et on lui associe la fonction g:x→

I

f(x, t) dt.

1) Continuité sous le signe

Soit f :A×I →Ktelle que :

•pour toutt deI,x→f(x, t) est continue sur A ;

•pour toutx deA,t→f(x, t) est continue par morceaux sur I ;

•il existe une fonction ϕ indépendante dex, continue par morceaux et intégrable sur I, à valeurs dansR⁺, vérifiant :

∀(x, t)∈A×I |f(x, t)| ≤ϕ(t) (hypothèse de domination).

Alors pour toutx deA, la fonction t→f(x, t) est intégrable surI et g:x→

I

f(x, t) dtest définie et continue surA.

Exemple 1 : g:x→

+∞

0

xe^−xtdt.

Exemple 2 : g:θ→

π/2 0

dt

1 + cosθcost est continue sur[0, π[.

2) Dérivation sous le signe — Formule de Leibniz

Soit f :A×I →Ktelle que :

•pour toutt deI,x→f(x, t) est de classe C¹ surA ;

•pour toutx deA, la fonction t→f(x, t) est continue par morceaux et intégrable surI ;

•pour toutx deA,t→∂f

∂x(x, t) est continue par morceaux sur I ;

•il existe une fonction ψ indépendante dex, continue par morceaux et intégrable sur I, à valeurs dansR⁺,vérifiant :

∀(x, t)∈A×I ∂f

∂x(x, t) ≤ψ(t) (hypothèse de domination).

Alors g:x→

I

f(x, t) dt est définie et de classeC¹ sur A avec :

∀x∈A g^′(x) =

I

∂f

∂x(x, t) dt (formule de Leibniz).

NB : penser à réitérer pour les dérivées successives deg.

Exemple 1 : g:x→

1 0

e^−x2(1+t2)

1 +t² dtest C¹ surR ; on en déduit la valeur de l’intégrale de Gauss.

Exemple 2 : calculer ^+∞

0

sin (xt) t e^−tdt.

Exemple 3 : la fonction Γ :x→

+∞

0

t^x−1e^−tdtest C^∞ surR^+∗.

3) Extension au cas

Dans le cas où les dérivées successives ne se dominent pas facilement, on dispose du théorème suivant où il suffit de dominer la dernière dérivée.

Soient k∈N^∗ et f :A×I →Ktelle que :

•pour toutt deI,x→f(x, t) est de classe C^k sur A;

•pour tout x de A et tout j de [[0, k−1]] la fonction t → ∂^jf

∂x^j (x, t) est continue par morceaux et intégrable sur I ;

•pour toutx deA,t→∂^kf

∂x^k(x, t) est continue par morceaux surI ;

•il existe ψ_k, continue par morceaux et intégrable sur I, vérifiant :

∀(x, t)∈A×I ∂^kf

∂x^k(x, t) ≤ψ_k(t) (hypothèse de domination).

Alors g:x→

I

f(x, t) dt est définie et de classeC^k sur Aavec :

∀j∈[[1, k]] ∀x∈A g^(j)(x) =

I

∂^jf

∂x^j (x, t) dt (formule de Leibniz).

4) Remarques complémentaires (et pratiques)

a) Utilisation de sous-intervalles de A

Si l’hypothèse de domination semble difficile à satisfaire lorsquexdécritAtout entier, penser à appliquer les théorèmes sur des sous-intervalles de A (par exemple sur tout segment inclus dansA) et conclure grâce au caractère local de la continuité et de la dérivabilité : si g est continue (resp. C¹) sur tout segment de l’intervalleA, alors elle l’est surA !

b) Cas où I est un segment

Penser à dominer par une fonction constante ! Si f est continue sur une partie fermée bornée de R², elle est bornée.

c) Limites de g aux bornes de A

Le programme de PSI ne comporte aucun théorème sur la limite éventuelle de g :x →

I

f(x, t) dt en une extrémité a∈R de l’intervalleA, n’appartenant pas à A.

Pour ce genre d’étude, au moins trois idées :

•majorer “à la main” pour utiliser le théorème d’encadrement ;

•faire apparaître une composition de limites, du genreF(x) =G 1

x lorsquex→+∞;

•invoquer la caractérisation séquentielle de la limite : si, pour touttfixé dansI,f(x, t)tend vers une limite finieℓ(t) lorsquex tend versa, alors, pour toute suite(xn)_n∈N d’éléments de A, de limitea, tâcher d’appliquer le théorème de convergence dominée à la suite de fonctions t→f(xn, t) _n∈N ; si pour toute suite (xn)_n∈N d’éléments de A de limite a, g(xn) _n∈N converge vers L =

I

ℓ(t) dt, alorslim

a g=L.

5) Application (hors programme) : théorème de division

Soient A un intervalle deRcontenant 0,h:A→Kde classe C^k (k≥1), et g:x →





h(x)−h(0)

x si x∈A\ {0} h^′(0) si x= 0

. Alors g est de classeC^k−1 surA, avec : ∀j∈ {1, . . . , k−1} g^(j)(0) = 1

j+ 1·h^(j+1)(0).

En effet, on constate que : ∀x∈A g(x) =

1 0

h^′(tx) dtet l’on justifie la dérivation sous le signe . Soit S un segment de Aet f : (x, t)→h^′(xt).

Pour tout xdeS,t→f(xt) est continue par morceaux et intégrable sur[0,1](car continue sur [0,1]).

En outre pour toutt de[0,1],x→f(x, t) est de classeC^k−1 surS, avec :

∀j∈ {1, . . . , k−1} ∀(x, t)∈S×[0,1] ∂^jf

∂x^j (x, t) =t^jh^(j+1)(tx). Ainsi t → ∂^jf

∂x^j (x, t) est continue par morceaux sur [0,1], pour tout j ∈[[1, k−1]]; de plus, h^(j+1) est continue donc bornée sur S et ∂^jf

∂x^j est dominée par la fonction constante max

S h^(j+1) , qui est bien continue par morceaux et intégrable sur [0,1]!!

Ainsi,g est de classe C^k−1 surS, pour tout segmentS deA, donc sur A.

Et la formule de Leibniz (réitérée) donne :

∀j∈ {1, . . . , k−1} ∀x∈A g^(j)(x) =

1 0

t^jh^(j+1)(tx) dt d’où la valeur de g^(j)(0).

6) Théorème de Fubini (hors programme, mais classique)

Soient a, b, c, d réels tels quea < betc < d.

Pourf : [a, b]×[c, d]→K, continue sur lepavé [a, b]×[c, d], on a (formule de Fubini)

b a

d c

f(x, y) dy dx=

d c

b a

f(x, y) dx dy (on parle parfois d’intégration sous le signe ).

NB : cette valeur commune correspond aussi à l’intégrale double de f sur [a, b]×[c, d], que l’on peut définir de bien d’autres manières dans diverses théories de l’intégration. . .