Chapitre 5
Calcul intégral
5.1 Intégrale d’une fonction continue
Soitf une fonction continue sur un intervalleI; on sait quef possède des primitives sur cet intervalle.
SiF et Gsont deux primitives def surI, alors on a, pour toutxdeI : F(x) =G(x) +coù c est une constante F(x)−G(x) =c
On en déduit que, quels que soient les réelsaet bdeI, F(b)−G(b) =F(a)−G(a) =c d’où
F(b)−F(a) =G(b)−G(a), le réelF(b)−F(a)est donc indépendant du choix de la primitive def sur l’intervalle I.
Définition 1 Soitf une fonction continue sur un intervalle I, et F une primitive def sur I.
Etant donnés deux élémentsaetb de I, on pose : Z b
a
f(x)dx=F(b)−F(a)
Ce nombre est appeléintegrale de f entre a etb. On note Z b
a
f(x)dx= [F(x)]ba=F(b)−F(a)
Remarque :
Dans l’écriture Z b
a
f(x)dx,dxest une notation. Ainsi Z b
a
f(x)dx= Z b
a
f(y)dy= Z b
a
f(z)dz.
Exemples :
Z 3
1
x2dx= 1
3x3 3
1
=1
3 (3)3−(1)3
=26 3
5.2 Propriétés
f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle I, a, b et c sont trois réels de I et de F et G sont les primitives respectives def etg surI.
Propriété 1 • Z a
a
f(x)dx= 0
• Z b
a
f(x)dx=− Z a
b
f(x)dx
Propriété 2 Linéarité
• Z b
a
λf(x)dx=λ Z b
a
f(x)dx
• Z b
a
f(x) +g(x)dx= Z b
a
f(x)dx+ Z b
a
g(x)dx
• Z b
a
f(x)dx= Z c
a
f(x)dx+ Z b
c
f(x)dx
1
Propriété 3 Relation de Chasles
• Z b
a
f(x)dx= Z c
a
f(x)dx+ Z b
c
f(x)dx
Propriété 4 Positivité Sia≤b etf ≥0, alors
Z b
a
f(x)dx≥0
5.3 Interprétation de l’intégrale : Aire
Théorème 1 Calcul d’aire
Sif est une fonction continue et positive sur l’intervalle [a;b].
Dans un repère orthogonal(O;~i,~j), l’aire du domaine défini par : a≤x≤b
0≤y≤f(x) est Z b
a
f(x)dx
−
→j
−
→i a b
Dans le cas ouf est une fonction négative, on considère−f.
Théorème 2 Sif est une fonction continue et négative sur l’intervalle [a;b].
Dans un repère orthogonal(O;~i,~j), l’aire de la surface délimité par la représentation graphique def et les deux droites x=aetx=b est :A=
Z b
a
−f(x)dx
5.4 Calculs d’intégrales
5.4.1 Utilisation de primitives
Le cas le plus simple est celui oùf est la dérivée d’une fonction connue.
Il faut également savoir reconnaître les cas oùf est la dérivée d’une fonction composée.
SiF est une primitive def on a Z b
a
f(t)dt=F(b)−F(a) Rappels :
u0
u est la dérivée de ln|u|
u0eu est la dérivée de eu
u0uα est la dérivée de uα+1
α+ 1, avecα6= 1 i
Exemple :
CalculerA= Z 1
0
t t2+ 4dt
Posonsu(t) =t2+ 4alorsu0(t) = 2tet t t2+ 4 =1
2×u0(t) u(t) A=
Z 1
0
t
t2+ 4dt= 1 2
ln(t2+ 4)1
0=1 2ln
5 4
5.4.2 Integration par parties
Soientuetv deux fonctions dérivables sur un intervalleI. La dérivée du produituvest : (uv)0=u0v+uv0 d’où u0v= (uv)0−uv0
Si les fonctionsu0 et v0 sont continues alors Z b
a
u0(t)v(t)dt= Z b
a
(uv)0(t)dt− Z b
a
u(t)v0(t)dtsoit Z b
a
u0(t)v(t)dt= [u(t)v(t)]ba− Z b
a
u(t)v0(t)dt
2
Théorème 3 Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et dont les fonctions dérivées sont continues surI.
Sia etb sont deux éléments deI, alors : Z b
a
u0(t)v(t)dt= [u(t)v(t)]ba− Z b
a
u(t)v0(t)dt
Remarque : cette méthode n’a d’intérêt que si Z b
a
u(t)v0(t)dt est plus facile à calculer que Z b
a
u0(t)v(t)dt
Exemple :
B= Z b
a
xexdx Posonsu(x) =ex etv(x) =x alorsu0(x) =ex etv0(x) = 1.
On a doncB= Z 1
0
xexdx= [xex]10− Z 1
0
exdx=e−[ex]10=e−(e−1) = 1
5.5 Valeur moyenne et inégalité de la moyenne
Soitf une fonction continue et bornée sur un intervalle[a;b].
Quel que soit le réelxde[a;b], aveca < b, on a m≤f(x)≤M (avecmminorant de f etM le majorant def sur l’intervalle[a;b]) d’où :
Z b
a
mdx≤ Z b
a
f(x)dx≤ Z b
a
M dx d’où[mx]ba ≤
Z b
a
f(x)dx≤[M x]ba
etm(b−a)≤ Z b
a
f(x)dx≤M(b−a) On a donc :
m≤ 1 b−a
Z b
a
f(x)dx≤M
Définition 2 Soit f une fonction continue et bornée sur un intervalle I et aet b deux réels de I (a < b). On appelle valeur moyenne def sur[a;b] le nombre réel :
1 b−a
Z b
a
f(x)dx.
Théorème 4 Soitf une fonction continue sur un intervalle I eta etbappartenant à I (a < b).
Si sur un intervalle [a;b], m≤f ≤M, alors :
m≤ 1 b−a
Z b
a
f(x)dx≤M La valeur moyenne def sur[a;b]est comprise entremetM.
m M
y=m y=M
3
