Toute fonction continue sur un intervalle admet une primitive

Universit´e de Cergy-Pontoise, Math´ematiques L1 Calculus.

Examen session 1 2017-2018 2 heures

Les documents, t´el´ephones, tablettes et calculettes sont interdits. Le barˆeme est donn´e `a titre indicatif.

Exercice 1. : (2 pts) R´epondre seulement par vrai/faux. Une r´eponse juste : + 0,5 pt, une r´eponse fausse : - 0,5 pt, pas de r´eponse : 0 pt. La note minimale pour l’exercice est 0.

1. Toute fonction continue sur un intervalle admet une primitive.

2. Toute fonction continue sur un intervalle admet une d´eriv´ee.

3. Toute fonction qui admet une d´eriv´ee sur un intervalle admet une primitive.

4. Toute fonction qui admet une primitive sur un intervalle admet une d´eriv´ee.

Exercice 2. : (2 pts)

1. (0,5 pts) Soit f :R² →R. Donner la d´efinition du graphe de f.

2. (0,5pt) Soit f : R² → R. Donner la d´efinition de minimum de f.On ne donne aucun point si le minimum est confondu avec le point en lequel il est atteind.

3. (1pt) Donner la formule de changement de variable pour le calcul de primitives.

Le point entier n’est accord´e si toutes les hypoth`eses sont explicit´ees, notamment que la fonction de changement de variable u est d´erivable.

Exercice 3. : (3 pts) A l’aide d’une int´egration par partie, calculer, pour tout` x ∈ R, Rx

tln(1 +t²)dt.On pose g^′(t) =t, donc par exempleg(t) = ¹₂t², et on pose f(t) = ln(1 + t²), donc f^′(t) = _1+t^2t2. La formule d’IPP est Rx

f(t)g^′(t)d(t) = f(x)g(x)−Rx

f^′(t)g(t)dt (1pt), on a donc Rx

tln(1 + t²)dt = ¹₂x²ln(1 + x²)− Rx t³

1+t²dt (0,5pt) et Rx t³ 1+t²dt = Rx t(t²)

1+t²dt=Rx t(t²−1+1)

1+t² dt=Rx

t−_1+t^t2dt= ^x₂²−¹₂Rx 2t

1+t²dt= ^x₂²−¹₂ ln(1+x²)+C, C∈R. (1pt) Finalement, Rx

tln(1 +t²)dt = ¹₂(−x² + (1 +x²) ln(1 +x²)) +C, C ∈ R (0,5pt).

(Remarque 1 : on peut aussi faire une division euclidienne pour _1+t^t32. Remarque 2 : on enl`evera un demi point si il y a une confusion entrexet la variable d’int´egration. Remarque 3 : on enl`evera un point si il n’y a pas les constantes `a la fin du calcul. Remarque 4 : le calcul est un peu plus simple si, au lieu de prendre g(t) = ¹₂t² on prend g(t) = ¹₂(1 +t²)).

Exercice 4. : (3,25pt) Soit f :R² →R,f(x,y) = ¹₂x²+xy+y²+ 2y+ 4.

1. (0,5+0,5pt) Donner les d´eriv´ees partielles de f. ^∂f_∂x(x,y) = x+ y, ^∂f_∂y(x,y) = x + 2y + 2. Remarque : on enl`eve 1 point sur la copie pour toute pr´esence de f^′(x,y).

2. (0,25pt+0,25pt) Donner le gradient de f et un vecteur normal du graphe de f. gradf~ (x,y) = (x+y,x+ 2y+ 2). N(x,y) = (gradf~ (x,y),−1). On donne les points si les d´efinitions sont correctes, mˆeme si les calculs de la question pr´ec´edente sont faux.

1

3. (0,25pt+0,5) V´erifier que le point (0,0,4) appartient au graphe de f, et don- ner l’´equation du plan tangent du graphe de f en ce point (forme cart´esienne).

L’´equation est x^∂f_∂x(0,0) +y^∂f_∂y(0,0)−z+f(0,0) = 0 soit 2y−z+ 4 = 0.

4. (1pt)Donner les points critiques de f. Il faut r´esoudre ∂f

∂x(x,y)=0

∂f

∂y(x,y)=0 (0,5pt) soit x+y= 0

x+ 2y=−2 ce qui a pour unique solution (2,−2) (0,5pt). On ne donnera le point complet que si les calculs des d´eriv´ees partielles ´etaient corrects et que le r´esultat est correct.

Probl`eme. (11,5 points)

L’objectif du probl`eme est de trouver (si elles existent) toutes les solutions sur R de l’´equation

xy^′+ 2y= x

x²+x+ 1 . (1)

Rappelons que cela signifie que l’on cherche toutes les fonctions y : R → R d´erivables, telles que, pour tout x∈R,

xy^′(x) + 2y(x) = x x²+x+ 1 . 1. Une primitive de f(X) = _X2+X+1^X2 (4,5 pts).

(a) (0,5pt) D´ecomposer en ´el´ements simples _X2+X+1^X2 . Comme le degr´e de X² est

´egal au degr´e de X²+X+ 1, on doit effectuer une division euclidienne : X² = (X²+X+ 1)−(X+ 1), ainsi _X2+X+1^X2 = 1−_X2^X+1+X+1. Comme X²+X+ 1 n’a pas de racine r´eelle, la d´ecomposition est termin´ee.

(b) (0,5pt) Ecrire´ X²+X+ 1 sous la forme A(U(X)²+ 1), avec A une constante et U une fonction qui sont `a d´eterminer. X² +X + 1 = (X + ¹₂)² − ¹₄ + 1 = (X+ ¹₂)²+ ³₄ = ³₄((^√2₃X+^√1₃)²+ 1).

(c) (0,5pt) Donner une primitive de _X2+X¹ +1 sur R. On trouve ^√2₃arctan

2X+1√ 3

. C’est fait dans le cours. Le demi-point n’est accord´e que si le calcul est correct.

(d) (1pt) En ´ecrivant _X2^X+1+X+1 = ¹_2X^2X+12+X+1 + ¹_2X2+X+1¹ , d´eduire des questions pr´e- c´edentes toutes les primitives de la fonction f. On a : f(X) = _X2+X+1^X2 = 1− _X2^X+1+X+1 = 1− ¹_2X^2X2+X+1⁺¹ − ¹_2X2+X+1¹ . On remarque que _X^2X2+X+1⁺¹ est de la forme ^U_U^′, donc une primitive est ln(X²+X + 1), les primitives de f sont les fonctions X− ¹₂ln(X²+X+ 1)− ^√1₃arctan

2X√+1 3

+C, C∈R.

(e) (0,5pt) Donner la primitive F def qui s’annule en 0. La valeur en 0 de X 7→

X− ¹₂ln(X²+X+ 1)−^√1₃arctan

2X+1√ 3

est −^√1₃arctan

√1 3

, donc F(x) =

X− ¹₂ln(X²+X+ 1)−^√1₃arctan

2X+1√ 3

+^√1₃arctan

√1 3

.

2

(f) (0,25+0,25+0,5+0,5pt) Calculez F(0), F^′(0), F^′′(0) et F^′′′(0). Par d´efini- tion, F(0) = 0, et F^′(0) =f(0) = 0. On calcule F^′′(X) = f^′(X) = _(X^X2+X+1)^{2+2X 2}, donc F^′′(0) = 0. Et F^′′′(X) = f^′′(X) = ⁻_(1+X+X^2X3−6X2²)⁺²³ , et F^′′′(0) = 2.

2. R´esolution sur les x positifs (3,5 pts) On va chercher les solutions de (1) sur R^∗+={x∈R|x > 0}.

(a) (0,25+0,25 pt) Ecrire (1) sous sa forme normalis´ee, et ´ecrire l’´equation ho-´ mog`ene associ´ee.

(b) (1pt) Donner l’ensembleS₀⁺ des solutions de l’´equation homog`ene associ´ee sur R^∗+. On cherche l’ensemble des solutions de y^′+_x²y = 0 sur R^∗+. Un primitive de −²_x est ln(1/x²). On sait alors que S₀⁺ = {y : R^∗+ → R|y(x) = _x^λ2, λ ∈ R}.

Exceptionnellement, on pourra ˆetre indulgent avec les “m´ethodes” du type “^y_y^′ =

−²_x”.

(c) (1pt) On veut chercher une solution particuli`ere de (1) sur R<sup>∗</sup>+. Montrer que, en utilisant la m´ethode de variation de la constante, cela revient `a trouver une primitive de la fonction f de la question pr´ec´edente. On cherche une fonction qui v´erifie y^′ + ²_xy = _x2+x+1¹ . Par la m´ethode de variation de la constante, on va la chercher sous la forme y(x) = ^λ(x)_x2 . On a y^′(x) = ^λ′_x^(x)2 −2^λ(x)_x3 , et y^′(x) + ²_xy(x) = _x2+x+1¹ donne λ^′(x) = _x2+x+1^x2 =f(x) .

(d) (0,5pt)Donner une solution particuli`ere de (1) sur R^∗+, en fonction de la fonc- tion F. y(x) = ^F_x^(x)2 .

(e) (0,5pt) Donner l’ensemble S⁺ des solutions de (1) sur R^∗+ (on pourra l’´ecrire en fonction de F).S⁺={y:R^∗+ →R|y(x) = ^F(x)+λ_x2 , λ∈R}. .

3. R´esolution sur les x non nuls (1 pts)

(a) (0,5pt) Donner rapidement l’ensemble des solutions de (1) sur R^∗₋ = {x ∈ R|x <0}, en fonction deF.Sur R^∗₋, l’´equation normalis´ee et l’´equation homo- g`ene associ´ee ont la mˆeme forme que sur R^∗+. De plus, le fait que les x soient n´egatifs n’intervient pas dans le calcul. Ainsi, S⁻ = {y : R^∗₋ → R|y(x) =

F(x)+λ

x² , λ∈R}. .

(b) (0,5pt)Donner l’ensembleS des solutions de (1) surR^∗ =R\ {0}, en fonction de F.S ={y:R^∗ →R|y(x) =

( _F

(x)+λ1

x² si x >0

F(x)+λ2

x² si x <0 ,(λ1,λ2)∈R²} . 4. R´esolution sur R (2,5 pts)

(a) (0,5pt) Donner une condition n´ecessaire surλ pourqu’une fonction sur R^∗+ de la forme ^F(x)+λ_x2 se prolonge par continuit´e en 0. Par d´efinition, la fonction F vaut 0 en 0. Donc siλ 6= 0, la fonction x7→ ^F(x)+λ_x2 n’a pas de limite finie en0.

Donc, forc´ement, λ= 0.

(b) (0,5pt) Donner le d´eveloppement limit´e en 0 de F `a l’ordre 3. On a F(x) = F(0) +F<sup>′</sup>(0)x+<sup>F′′</sup><sub>2</sub><sup>(0)</sup>x<sup>2</sup>+<sup>F′′′</sup><sub>6</sub><sup>(0)</sup>x<sup>3</sup>+o(x<sup>3</sup>), c’est-`a-direF(x) =f^′(0)x+^f′₂⁽⁰⁾x²+

f^′′(0)

6 x³+o(x³), et par les calculs de la premi`ere partie, F(x) = ²₆x³+o(x³) =

1

3x³+o(x³).

3

(c) (0,25+0,25+0,5pt) Soit ˜F la fonction de R dans R qui vaut ^F_x^(x)2 si x 6= 0 et 0 en 0. Montrer que ˜F est continue et d´erivable en 0 (on donnera la valeur de la d´eriv´ee en 0). Continuit´e : Par le d´eveloppement limit´e de la question pr´ec´edente, pour x proche de 0, ^F_x^(x)2 = ¹₃x+ ^o(x_x2³⁾, donc ^F_x^(x)2 tend bien vers 0 quandxtend vers0. D´erivabilit´e : il faut calculer la limite en0de

F(x) x2 −0

x−0 = ^F_x^(x)3 . Par le d´eveloppement limit´e de la question pr´ec´edente, pour x proche de 0,

F(x)

x³ = ¹₃ + ^o(x_x3³⁾, donc F˜^′(0) = ¹₃.

(d) (0,5pt) Donner l’ensemble des solutions de (1) sur R. Le seul candidat est la fonction F˜ (0,25pt). En dehors de 0, F˜ = F, et on sait que F satisfait (1) sur R^∗. On a 0× ¹₃ + 2×0 = ₀₊₀₊₁⁰ , donc F˜ satisfait (1) en 0 (0,25pt). C’est l’unique solution de l’´equation sur R.

Fin de l’´epreuve.

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