On rappelle que si f est une fonction dénie dans un intervalle de R et à valeurs réelles, l'équation de la tangente en un point (x

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Fig. 1: Des tangentes aux graphes de solutions

On rappelle que si f est une fonction dénie dans un intervalle de R et à valeurs réelles, l'équation de la tangente en un point (x

, f (x

)) à la courbe représentative de f s'écrit :

x − x

1

y − f (x

) f

(x

) = 0 On considère l'équation dierentielle

dans I =]0, +∞[

(1 + x

)y

(x) + 2xy(x) = 1

x (1)

1. Soit f une solution de (1), on pose λ = f (1) .

1d'après un problème de Serge Dupont (http ://moduloserge.free.fr/)

a. Former l'équation de la tangente en (1, λ) à la courbe de f .

b. Montrer que lorsque λ varie, ces tangentes sont toutes concourantes en un point à déterminer.

2. Résoudre l'équation (1) sur I . Déterminer l'unique solution f

telle que f

(1) = λ . 3. Soit I un intervalle de R et a , b , c trois fonctions continues dénies dans I . On suppose

que a ne prend jamais la valeur 0. On considère l'équation

ay

+ by = c (2)

Soit x

∈ I xé, pour tout λ réel, on note f

la solution de (??) qui prend en x

la valeur λ . On note D

la tangente en (x

, λ) à la courbe de f

. Montrer que les droites D

sont concourantes ou parallèles. Préciser dans quel cas elles sont parallèles.

Lorsqu'elles sont concourantes préciser leur point commun.

4. Soient J un intervalle de R et F une fonction de J × R dan sR. Notons (E) l'équation diérentielle

y

= F (x, y) (E) On suppose que F est telle que :

pour tout (x

, y

) ∈ J × R, il existe une solution de (E) satisfaisant la condition de Cauchy y(x

) = y

;

les tangentes au point d'abscisse x

aux solutions de (E) sont soit toutes parallèles, soit toutes concourantes.

a. Pour x

∈ J et (y

, y

) ∈ R

avec y

6= y

, montrer que F (x

, y

) − F (x

, y

)

y

− y

est une quantité qui ne dépend pas du couple (y

, y

) . On la notera α(x

) dans la suite .

b. En déduire que F (x

, y

) − α(x

)y

ne dépend pas de y

.

c. Conclure que (E) est linéaire c'est-à-dire que F est de la forme F (x, y) = α(x) · y + β(x) , pour (x, y) ∈ J × R avec α et β deux fonctions.

Corrigé

1. a. L'équation de la tangente T

en (1, λ) à la courbe de f est y − λ = f

(1)(x − 1)

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Comme f est solution de l'équation dierentielle f

(1) = 1 − 2λ

2 l'équation s'écrit

(1 − 2λ)x − 2y − 1 + 4λ = 0 b. Réordonnons suivant λ l'équation précédente :

(2(1 − x) + 2)λ + x − 1 − 2y = 0

Lorsque les coordonnées d'un point annulent les deux coecients, ce point est sur toutes les droites. C'est le cas ici pour le point de coordonnées

(2, 1 2 ) 2. Résolution de

(1 + x

)y

(x) + 2xy(x) = 1 x

Une primitive de

est − ln(1 + x

) . Une solution de l'équation sans second membre est donc

1 1 + x

On cherche une solution particulière de l'équation complète par la méthode de variation de la constante sous la forme

λ(x) 1 + x

Cela donne

(1 + x

) λ

(x) 1 + x

= 1

x

d'où λ(x) = ln x . On en déduit que l'ensemble des solutions est

x → λ + ln x 1 + x

, λ ∈ R

En particulier

f − λ(x) = 2λ + ln x 1 + x

3. Comme en 1., l'équation de D

est

y − λ = f

(x

)(x − x

) avec

f

(x

) = c(x

) − λb(x

) a(x

) elle s'écrit encore

a(x

)(y − λ)(c(x

) − λb(x

))(x − x

) On réordonne suivant λ :

(b(x

)(x − x

) − a(x

))λ + a(x

)y − c(x

)(x − x

) = 0 On considère le système de deux équations

b(x

)(x − x

) − a(x

) = 0 c(x

)(x − x

) = 0

Si b(x

) 6= 0 : toutes les droites D

passent par le point de coordonnées (x

+ a(x

)

b(x

) ) Si b(x

) = 0 : l'équation de D

s'écrit

c(x

)x − a(x

)y + λa(x

) − c(x

)x

= 0 toutes les droites D

sont paralleles.

4. a. On considère deux solutions f

et f

de l'équation (E) avec f

(x

) = y

et f

(x

) = y

. Les équations des tangentes sont :

x − x

1 y − y

F(x

, y

)

= 0

x − x

1 y − y

F (x

, y

)

= 0

Ces tangentes sont paralleles si et seulement si les vecteurs directeurs sont coli- néaires c'est à dire ici lorsque F (x

, y

) = F (x

, y

) . Dans ce cas :

F (x

, y

) = F (x

, y

) y

− y

= 0

Si les tangentes sont toutes concourantes, il existe un point I de coordonnées (x

, y

) qui appartient à toutes les tangentes. On peut remarquer que x

6= x

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car chaque tangente passe par un point d'abscisse x

et d'ordonnée diérente.

Écrivons que I appartient aux tangentes en (x

, y

) et en (x

, y

) .

x

− x

1 y

− y

F (x

, y

)

= 0

x

− x

1 y

− y

F (x

, y

)

= 0 On en déduit :

(x

− x

)F (x

, y

) = y

− y

(x

− x

)F (x

, y

) = y

− y

)

⇒ (x

− x

)F (x

, y

) + y

= (x

− x

)F (x

, y

) + y

⇒ (x

− x

)(F (x

, y

) − F(x

, y

)) = y

− y

⇒ F (x

, y

) − F(x

, y

) y

− y

= 1

x

− x

b. À la question précédente, on a vu que l'on pouvait noter F (x

, y

) − F(x

, y

)

y

− y

= α(x

) On en déduit

F(x

, y

) − F (x

, y

) = α(x

)(y

− y

)

⇒ F (x

, y

) − α(x

)y

= F (x

, y

) − α(x

)y

Ceci montre que F (x

, y) − α(x

)y est indépendant de y . On note : β(x

) = F (x

, y) − α(x

)y

c. D'après l'expression de la fonction F trouvée au dessus, l'équation (E) est linéaire c'est à dire qu'elle est de la forme :

∀x ∈ I : y

(x) = α(x)y(x) + β(x)

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