On dira qu'une fonction f dénie dans un intervalle I est complètement monotone lorsque elle appartient à C

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MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Ce problème

¹

porte sur les fonctions et les suites complètement monotones.

On dira qu'une fonction f dénie dans un intervalle I est complètement monotone lorsque elle appartient à C

^∞

(I) et que :

∀p ∈ N , ∀x ∈ I, (−1)

^p

f

^(p)

(x) ≥ 0

On désigne par E l'ensemble des suites dénies dans N et à valeurs réelles. La notion de suite complètement monotone fait intervenir une fonction ∆ de E dans E dénie de la manière suivante.

Soit u = (u

n

)

_n∈

N

∈ E , la suite ∆u est dénie par :

terme d'indice n de ∆u = (∆u)

n

= u

n+1

− u

n

On note ∆

⁰

= Id

E

et ∆

^p

= ∆ ◦ · · · ◦ ∆ ( p fois) pour p ∈ N

^∗

. On dira qu'une suite u est complètement monotone lorsque

∀p ∈ N, ∀n ∈ N , (−1)

^p

(∆

^p

u)

n

≥ 0 1. Soit u = (u

_n

)

_n∈

N

∈ E et p ∈ N

^∗

, montrer que

∀n ∈ N , (∆

^p

u)

_n

=

p

X

k=0

(−1)

^p−k

p

k

u

_n+k

2. Soit b ∈]0, 1[ et β la suite géométrique β = (b

ⁿ

)

_n∈

N

. Calculer (∆

^p

β )

_n

et en déduire que β est complètement monotone.

3. Soit a > 0 , λ > 0 , µ > 0 , ν < 0 , b ≥ 1 , c > 0 des réels xés . Montrer que les fonctions suivantes sont complètement monotones.

x → e

^−ax

dans R

x → (λ + µx)

^ν

dans [0, +∞[

x → ln(b + c

x ) dans ]0, +∞[

4. a. Soit f complètement monotone dans I et m ∈ N. Montrer que m pair entraine f

^(m)

complètement monotone et m impair entraine −f

^(m)

complètement monotone.

1d'après Banque X-ENS 2011 Maths B

b. Soit f et g deux fonctions complètement monotones dans un intervalle I . Montrer que le produit f g des deux fonctions est complètement monotone.

5. Soit f ∈ C

^∞

([0, +∞[) et u = (u

n

)

_n∈N

dénie par u

n

= f (n) pour tout n ∈ N. Montrer que pour tout p ∈ N

^∗

et tout n ∈ N, il existe un réel x ∈]n, n + p[ tel que

(∆

^p

u)

_n

= f

^(p)

(x)

On pourra raisonner par récurrence en considérant la fonction g(x) = f(x + 1) − f (x) et la suite dont le terme d'indice n est v

_n

= g(n) .

6. Formuler et prouver un théorème liant les suites et les fonctions complètement monotones. En déduire une autre démonstration de la question 2.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai Acompmon

(2)

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Corrigé

1. La démonstration se fait par récurrence, elle est très proche de la démonstration du cours pour la formule du binôme.

2. D'après la formule de la question 1.

(∆

^p

β)

_n

=

p

X

k=0

(−1)

^p−k

p

k

b

^n+k

= b

ⁿ

p

X

k=0

p k

b

^k

(−1)

^p−k

= b

ⁿ

(b − 1)

^p

⇒ (−1)

^p

(∆

^p

β)

_n

= b

ⁿ

(1 − b)

^p

> 0 La suite géométrique β est donc complètement monotone.

3. La complète monotonie résulte de l'expression des dérivées successives. Soit p un entier quelconque

f (x) = e

^−ax

(−1)

^p

f

^(p)

(x) = a

^p

e

^−ax

> 0

g(x) = (λ + µx)

^ν

g

^(p)

(x) = (−1)

^p

ν(ν − 1) · · · (ν − p + 1)(λ + µx)

^ν−p

> 0 Chacun des p facteurs est négatif et il est compensé par la puissance de −1 . Pour h(x) = ln(b +

_x^c

) , il est commode de transformer le produit en somme avant de dériver

h(x) = ln(b + c

x ) = ln(bx + c) − ln(x)

⇒ −h

⁰

(x) = − b

bx + c − 1 x

> 0 car égal à c (bx + c)x

⇒ · · ·

⇒ (−1)

^p

h

^(p)

(x) = (−1)

^p

b

^p

(−1)

^p−1

(p − 1)!

(bx + c)

^p

− (−1)

^p−1

(p − 1)!

x

^p

= (p − 1)!

(bx + c)

^p

x

^p

((bx + c)

^p

− (bx)

^p

) > 0 4. a. Ces résultats sont évidents par dénition.

(−1)

^p

(f

^(m)

)

^(p)

= (−1)

^p

f

^(m+p)

=

( (−1)

^m+p

f

^(m+p)

si m pair

−(−1)

^m+p

f

^(m+p)

si m impair

b. On utilise la formule de Leibniz

(f g)

^(p)

(x) =

p

X

k=0

p k

f

^(k)

g

^(p−k)

(−1)

^p

= (−1)

^k

(−1)

^p−k



 

 

⇒

(−1)

^p

(f g)

^(p)

(x) =

p

X

k=0

p k

(−1)

^k

f

^(k)

| {z }

>0

(−1)

^p−k

g

^(p−k)

| {z }

>0

> 0

5. On raisonne par récurrence sur p . La proposition à l'ordre p est que pour toute fonction f et tout entier n , il existe un x ∈]n, n + p[ tel que (∆

^p

u)

n

= f

^(p)

(x) .

Pour p = 1 , on peut appliquer directememnt le théorème des accroissements nis à la fonction f entre n et n + 1 . Il existe x ∈]n, n + 1[ tel que

(∆

^p

u)

n

= u

n+1

− u

n

= f (n + 1) − f (n) = f

⁰

(x)

Montrons maintenant que la proposition à l'ordre p entraine celle à l'ordre p + 1 . Comme l'énoncé nous y invite, on considère la fonction g dénie par

g(x) = f (x + 1) − f (x)

et v = ∆u . On remarque alors que v

n

= g(n) et que, d'après l'hypothèse de récurrence,

∃x ∈ ]n, n + p[ tq (∆

^p+1

u)

n

= (∆

^p

v)

n

= g

^(p)

(x)

Or g

^(p)

(x) = f

^(p)

(x + 1) − f

^(p)

(x) . On peut donc appliquer le théorème des accroissements nis à la fonction f

^(p)

entre x et x + 1 . Il existe z ∈]x, x + 1[⊂]n, n + p + 1[ tel que

(∆

^p+1

u)

n

= f

^(p)

(x + 1) − f

^(p)

(x) = f

^(p+1)

(x)

6. Soit f une fonction complètement monotone dénie dans [0, +∞[ et (u

n

)

_n∈

N

une suite dénie par u

n

= f (n) pour tous les n ∈ N. La question 5. montre que (u

n

)

_n∈

N

est complètement monotone.

La suite géométrique β de la question 2. est de cette forme pour la fonction f dénie par f (x) = e

^x^ln^β

. Comme ln β est strictement négatif cette fonction est complètement monotone (premier exemple de la question 3).

On retrouve donc le résultat de la question 2 : pour b ∈]0, 1[ , la suite géométrique de raison b est complètement monotone.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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