Soient et tels que et une fonction de dans , declasse sur . est dite absolument monotone (en abrégé AM) si, , . est dite complètement monotone (en abrégé CM) si, , .

MATHÉMATIQUES I Filière MP

Concours Centrale-Supélec 1998

Soient et tels que et une fonction de dans , de classe sur .

est dite absolument monotone (en abrégé AM) si

, , .

est dite complètement monotone (en abrégé CM) si

, , .

Partie I -

I.A - Soient et deux fonctions AM définies sur . Montrer que et sont AM. Qu’en est-il pour les fonctions CM ?

I.B - Si est une fonction AM sur , montrer par récurrence que l’est aussi.

I.C - Soient : et : définie par : . Mon-

trer que est AM sur si, et seulement si, est CM sur . I.D -

I.D.1) Vérifier que la fonction –ln est CM sur . I.D.2) Montrer que : définie par

est AM sur .

I.D.3) Montrer que la fonction arcsin est AM sur . I.D.4) Montrer que la fonction tan est AM sur . I.E -

I.E.1) On suppose dans cette question que et est AM sur . Mon- trer qu’il existe tel que

.

On prolonge en posant . Montrer que est dérivable à droite en , et que est continue à droite en .

I.E.2) Plus généralement, montrer que est indéfiniment dérivable à droite en avec des dérivées positives ou nulles. Le même phénomène se produit-il en

?

I.F - On suppose dans cette question .

On note l’espace vectoriel des fonctions continues de dans .

a b – ∞ ≤ a < b ≤ +∞ f ]a b , [ IR

C ^∞ ]a b , [ f

n ∈ IN

∀ ∀ x ∈ ]a b[ , f ^{( ) n} ( ) x ≥ 0 f

n ∈ IN

∀ ∀ x ∈ ]a b[ , ( ) – 1 ⁿ f ^{( ) n} ( ) x ≥ 0

f g ]a b , [ f + g

fg

f ]a b , [ e ^f

f ]a b , [ → IR g ] – b , – a [ → IR g x ( ) = f ( ) – x

f ]a b , [ g ] – b , – [ a

]0 1[ , f ]0 1 , [ → IR

f x ( ) 1 1 – x ² ---

= ]0 1[ ,

]0 1[ , ]0 π

2 ---[

,

a ∈ IR f ]a b[ ,

λ ∈ IR

λ f

a

lim

=

f f a ( ) = λ f a

f ' a

f a

b

0 ≤ a < < b +∞

C _{a b ,} [ , ] a b IR

MATHÉMATIQUES I Filière MP

Concours Centrale-Supélec 1998

On rappelle qu’une fonction de est dite positive si, pour tout , .

Une application : est appelée forme linéaire positive si elle est linéaire et si, de plus, on a :

, .

Soit une forme linéaire positive et la fonction définie par si

. On pose .

I.F.1) Soit , montrer que .

I.F.2) Montrer que : , où et

.

I.F.3) Montrer que est positive, décroissante et continue sur . I.F.4) On note la fonction définie par : si . Mon-

trer que : définie par est dérivable sur ,

décroissante et que : .

On pourra justifier et utiliser le résultat suivant, vrai pour tout : .

I.F.5) Montrer que est indéfiniment dérivable sur et que : . En déduire que est CM.

I.F.6) Proposer deux exemples de formes linéaires non nulles positives , ; calculer et .

Partie II -

On suppose dans cette partie que : . On utilisera librement la formule de Taylor avec reste intégrale.

II.A - Soit une fonction AM sur et .

II.A.1) Prouver que, pour fixé, la fonction est croissante sur et possède une limite nulle quand tend vers .

II.A.2) Montrer que la série

converge pour . Soit sa somme, montrer que .

f C _{a b ,} x ∈ [ , ] a b

f x ( ) ≥ 0

µ C _{a b ,} → IR f ∈ C _{a b ,}

∀ f ≥ 0 ⇒ µ ( ) f ≥ 0

µ e _x e _x ( ) t = e ^{– xt}

t ∈ [ a b , ] µ ˜ x ( ) = µ ( ) e _x

f ∈ C a b , µ ( ) µ f ≤ ( ) f f ∈ C _{a b ,}

∀ µ ( ) f ≤ µ ( ) f ₀ f _∞ f ₀ ( ) x = 1

f _∞ sup

x ∈ [ , ] a b

f x ( )

=

µ ˜ [a b] ,

e _{n x ,} e _{n x ,} ( ) t = t ⁿ e ^{– xt} t ∈ [ a b , ] ϕ [ , ] a b → IR ϕ ( ) x = µ ( e _{n x ,} ) [a b , ]

ϕ' ( ) x = – µ ( e _{n + 1 , x} )

u ∈ IR 0 ≤ e ^{– u} – 1 + u ≤ e ^u u ² ⁄ 2

µ ˜ [ a b , ]

µ ˜ ^{( ) n} ( ) x = ( ) – 1 ⁿ µ ( e _{n x ,} ) µ ˜

µ 1

µ 2 µ ˜ ₁ µ ˜ ₂

∞ < < < a 0 b ≤ + ∞ –

f ]a b , [

R _n ( f x , ) f x ( ) – f ( ) 0 f ^{( ) k} ( ) 0 ---x k! ^k

k = 1

∑ n

–

=

n x R _n ( f x , ) ⁄ x ⁿ

]0 , b [ x 0

f ^{( ) n} ( ) 0 ---x n! ⁿ

∑

x ∈ [0 , b[ g x ( ) g ≤ f

MATHÉMATIQUES I Filière MP

Concours Centrale-Supélec 1998 II.A.3) Déduire de II.A.1 et II.A.2 que : sur . On pourra prendre et montrer que

.

II.A.4) Montrer que est développable en série entière au voisinage de .

On pourra poser , si et .

II.B - En suivant les indications de la question I.E, on prolonge en . Montrer que pour tout

.

II.C - Montrer que si s’annule en , alors est nulle. Donner l’ensem- ble des fonctions AM sur telles que, pour un fixé, possède un zéro dans .

Partie III - On suppose dans cette partie que .

Étant donné , on définit sur l’ensemble des fonctions réelles d’une varia- ble réelle les applications , et par :

, et

.

Plus généralement, on peut définir les opérateurs aux différences finies

successifs : .

III.A - On suppose définie sur . Quel est l’ensemble de définition de ?

III.B - Montrer que, pour tout ,

où .

III.C - On suppose définie et AM sur . Montrer que, pour tout , .

On pourra poser et exprimer en fonction de

.

g = f [0 , b [ 0 < < < x y b

0 R _n ( f x , ) x y ---

    ⁿ f y ( )

≤

≤

f 0

ε ∈ { – 1 1 , } h _ε ( ) x = f x ( ) εf + ( ) – x x < r r = min ( b , – a )

f a

x ∈ [a b , [

f x ( ) f ^{( ) n} ( ) a ( x – a ) ⁿ --- n!

n = 0

∑ ∞

=

f x ₀ ∈ ]a b , [ f

f ]a b[ , p ∈ IN f ^{( ) p}

]a b , [

∞ < < < a b +∞

– h ∈ IR ^+*

T _h ∆ _h I

T _h ( ) f ( ) x = f x ( + h ) ∆ h ( ) f ( ) x = f x ( + h ) – f x ( ) I f ( ) ( ) x ∆ h

0 ( ) f ( ) x f x ( )

= =

∆ h n + 1

∆ h ∆ h

o n

=

f ]a b , [

∆ h n ( ) f

n ∈ IN

∆ h

n ( ) f ( ) x ( ) – 1 ^{n – k}

k = 0

∑ n ^{C n k f x ( + kh )}

= C _n ^k n!

k! ( n – k )!

---

=

f ]a b[ , n ∈ IN

∆ _h ⁿ ( ) f ≥ 0

X h ( ) ∆ h n + 1

( ) f ( ) x

= X ' h ( )

∆ h

n ( ) f ' ( x + h )

MATHÉMATIQUES I Filière MP

Concours Centrale-Supélec 1998

III.D - On considère les fonctions totalement monotones (TM) c’est-à-dire, définies sur , de classe telles que :

, , , .

III.D.1) Montrer qu’une fonction TM est positive et croissante.

III.D.2) On pose

pour et . Déduire du calcul des dérivées successives de en que vaut si et que vaut .

III.D.3) Montrer que toute fonction TM est AM.

••• FIN •••

f

]a b , [ C ^∞

n ∈ IN

∀ ∀ h ∈ ]0 , ( b – a ) ⁄ n [ ∀ x ∈ [a b , – nh[ ∆ _h ⁿ ( ) f ( ) x ≥ 0

S _j ( ) – 1 ^{n – k} C _n ^k k ^j j ! ---

k = 0

∑ n

=

j ∈ IN ψ ( ) t = ( e ^t – 1 ) ⁿ ψ

0 S _j 0 j < n S _n 1