Soit α ∈ [−1, 1] , une partie A de E est dite α -isogonale si et seulement si elle vérie les conditions suivantes :

Énoncé

On désigne par E un espace euclidien dans lequel le produit scalaire de deux vecteurs x et y est noté (x/y) et la norme d'un vecteur x est notée ||x|| = p

(x/x) .

Soit α ∈ [−1, 1] , une partie A de E est dite α -isogonale si et seulement si elle vérie les conditions suivantes :

∀x ∈ A : kxk = 1

∀(x, y) ∈ A ² : x 6= y ⇒ (x/y) = α

Une partie est dite isogonale si et seulement si elle est α -isogonale pour un certain α . L'objet de ce problème ¹ est l'étude des parties isogonales.

Partie I. Dans un plan orienté.

Dans cette partie, E est un espace euclidien orienté de dimension 2. Pour tout réel θ , on désigne par r θ la rotation d'angle θ dans E .

1. Soit α ∈ [−1, 1] , θ = arccos α et x , y deux vecteurs unitaires de E . Montrer que (x/y) = α ⇔ (x = r _θ (y) ou y = r _θ (x))

2. Soit α = − ¹ ₂ , θ = ^2π ₃ et x unitaire. Montrer que

x, r _θ (x), r _θ ² (x) est α -isogonale.

3. L'objet de cette question est de montrer que les parties isogonales dénies dans la ques- tion précédente sont les seules parties isogonales contenant au moins trois éléments.

a. Soit α ∈ [−1, 1] , θ = arccos α , A une partie α -isogonale à trois éléments et x ∈ A . Montrer que θ = ² ₃ π et que A = {x, r θ (x), r ² _θ (x)} .

b. Soit A une partie α -isogonale à trois éléments et B une partie α -isogonale conte- nant A . Montrer que B = A . Conclure.

Partie II. En dimension 3.

Dans cette partie, E est euclidien de dimension 3 .

1. Soit β ∈ [−1, +1] et A = {u 1 , · · · , u k } une partie β -isogonale à k éléments avec k ≥ 4 . On veut montrer que k = 4 et β = − ¹ ₃ .

Pour i ∈ {1, · · · , k − 1} , on note v i le projeté orthogonal de u i sur le plan orthogonal à u k (noté H ) et w i = _kv ¹

i

k v i .

1

premières parties de l'épreuve Math2 ENSI de physique 1988

Fig. 1: Parties isogonales.

a. Montrer que β ∈] − 1, 1[ .

b. Donner une expression de v _i et calculer les (v _i /v _j ) . c. Montrer que k = 4 et β = − ¹ ₃ .

2. Dans cette question, on veut construire une partie isogonale à 4 éléments.

Soit G un sous-espace de dimension 2 de E et t un vecteur unitaire orthogonal à G . Soit {u, v, w} une partie − ¹ ₂ -isogonale de G . Pour tout couple (µ, ν) de réels, on pose

A µ,ν = {t, µu + νt, µv + νt, µw + νt}

Déterminer les couples (µ, ν) de réels tels que A µ,ν soit − ¹ ₃ -isogonale.

Partie III. En dimension quelconque

Dans cette partie E est euclidien de dimension n ≥ 3 .

Pour tout entier k ≥ 2 et pour tous réels a et b , on désigne par P _k (a, b) la matrice à k lignes et k colonnes dont tous les termes diagonaux sont égaux à a et tous les termes non diagonaux sont égaux à b .

Dans la première question, il peut être utile de considérer les colonnes









 1 1 ...

1









 ,









 1 0 ...

0









 ,









 0 1 ...

0









 , · · · ,









 0 0 ...

1











1. Calculer le déterminant de P k (a, b) .

2. Soit k ≥ 3 et {u 1 , · · · , u k } un ensemble c -isogonal. Montrer que

∀(λ 1 , · · · , λ k ) ∈ R ^k : λ 1 u 1 + · · · + λ k u k = 0 E ⇒ P k (1, c)





 λ 1

...

λ k





 =





 0 ...

0







En déduire que si c est dierent de 1 et de − _k−1 ¹ , les vecteurs u ₁ , · · · , u _k constituent une partie libre de E .

3. Montrer que toute partie isogonale contient au plus dim E + 1 éléments.

Partie IV. Tétraèdre isogonal et transformations

Fig. 2: Tétraèdre isogonal

Dans cette partie, B = {u 1 , u 2 , u 3 , u 4 } est un ensemble − ¹ ₃ -isogonal dans un espace E euclidien de dimension 3 .

1. Montrer que trois vecteurs de B deux à deux distincts forment une base de E . Quelles sont les composantes du vecteur u 4 dans la base {u 1 , u 2 , u 3 } ?

2. Montrer que pour tout x de E , il existe un unique quadruplet (m 1 , m 2 , m 3 , m 4 ) ∈ R ⁴ tel que

4

X

i=1

m i = 1 et x =

4

X

i=1

m i u i

On dira que m 1 , m 2 , m 3 , m 4 sont les coordonnées barycentriques de x dans B . 3. On désigne par T l'ensemble des vecteurs dont les coordonnées barycentriques dans B

sont positives ou nulles. Soit f un automorphisme orthogonal de E . On se propose de démontrer

f (B) = B ⇔ f (T ) = T a. Montrer que f (B) = B ⇒ f(T ) = T .

b. On suppose f (T) = T , soit u ∈ B et v = f (u) . Pourquoi v est-il élément de T ?

On note (m 1 , m 2 , m 3 , m 4 ) la famille des coordonnées barycentriques de v . Montrer que

||v|| ² =

4

X

i=1

m ² _i − 2 3

X

1≤i<j≤4

m i m j

Calculer

4

X

i=1

m i

! ²

− ||v|| ² et montrer que

X

1≤i<j≤4

m i m j = 0

En déduire qu'il existe un entier i entre 1 et 4 tel que m i = 1 et que les autres m j soient nuls. Conclure.

4. On désigne par G le groupe des bijections de B sur B . Soit σ un élément de G . a. Montrer qu'il existe un unique endomorphisme σ du R-espace vectoriel E tel que

σ(u i ) = σ(u i ) pour i = 1, 2, 3 .

b. Montrer que σ est un automorphisme orthogonal de E . c. Montrer que σ(u ₄ ) = σ(u ₄ ) .

d. Montrer que l'ensemble G des automorphismes orthogonaux g de E tels que g(T ) = T est un sous-groupe du groupe orthogonal de E .

Montrer que l'application qui à g ∈ G associe la restriction de g à B est un isomorphisme de groupe de G vers G . Quel est le cardinal de G ?

e. Pour tout couple (i, j) d'entiers distincts entre 1 et 4, on désigne par H _i,j le

plan vectoriel orthogonal à u _i − u _j et par τ _i,j la réexion par rapport à H _i,j .

Utiliser l'isomorphisme entre G et G pour montrer que tout élément de G est une

composition d'un nombre ni de τ _i,j .

Corrigé

Partie I.

1. D'après le cours sur les automorphismes orthogonaux, (z/r θ (z)) = cos θ pour tout vecteur unitaire z . On en déduit :

x = r θ (y) ⇒ (x/y) = (y/r θ (y)) = cos θ y = r _θ (x) ⇒ (x/y) = (x/r _θ (x)) = cos θ

Ce qui qui prouve la première implication. Réciproquement, supposons (x/y) = cos θ . Considérons z tel que (x, z) soit une base orthonormée directe. Le vecteur unitaire y se décompose dans cette base. La coordonnée selon x est (x/y) = cos θ donc la deuxième coordonnée est ± sin θ . On en déduit y = r _θ (x) ou y = r _−θ (x) c'est à dire y = r _θ (x) . 2. Comme une rotation est orthogonale, les trois vecteurs sont unitaires et

− 1

2 = cos θ = (x/r _θ (x)) = (r _θ (x)/r ² _θ (x)) = (x/r _θ ² (x)) La partie {x, r θ (x), r ² _θ (x)} est donc − ¹ ₂ -isogonale.

3. a. D'après la première question, chaque fois que l'écart angulaire entre deux vecteurs est θ , l'un est image de l'autre par r _θ . Pour trois vecteurs dont les écarts angulaires deux à deux sont égaux à θ on a donc huit possibilités qui sont présentées dans le diagramme suivant où la èche gure r _θ .

(1) x → y, y → z, z → x (2) x → y, y → z, x → z (3) x → y, z → y, z → x (4) x → y, z → y, x → z (5) y → x, y → z, z → x (6) y → x, y → z, x → z (7) y → x, z → y, z → x (8) y → x, z → y, x → z

Les cas (2) , (3) , (4) , (5) , (6) , (7) sont impossibles car la même lettre gure deux fois à gauche en contradiction avec la notion de fonction. Seuls les cas (1) et (8) sont possibles. Les trois vecteurs sont alors xés par r ³ _θ ce qui entraine que θ ≡ ^2π ₃ mod ^2π ₃ donc θ = ^2π ₃ car c'est un arccos . Il est impossible que θ = 0 car les vecteurs sont distincts.

b. Soit A une partie isogonale à 3 éléments. D'après la question précédente, elle est de la forme {x, r θ (x), r _θ ² (x)} . Si B est isogonale, alors toute partie de B est encore

isogonale. En particulier {x, r θ (x), b} pour un éventuel b ∈ B et n'appartenant pas à A . Mais alors, toujours d'après 1.,

{x, r θ (x), r _θ ² (x)} = {x, r θ (x), b} ⇒ b = r _θ ² (x) ∈ A

On peut en conclure que toute partie isogonale à trois éléments est − ¹ ₂ -isogonale et de la forme précédente. De plus il n'existe pas de partie isogonale de quatre éléments ou plus. En revanche, toute paire de vecteurs unitaires est isogonale.

Partie II.

1. a. Le point important ici est le résultat relatif au cas d'égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz. L'égalité ne se produit que si les vecteurs sont colinéaires. Une famille de vecteurs unitaires colinéaires entre eux ne peut être qu'une famille de deux vecteurs opposés. Si A est une partie β -isogonale de trois vecteurs au moins, on a obligatoirement |β| < 1 .

b. D'après l'expression de cours du projeté d'un vecteur sur la droite engendrée par un vecteur unitaire, on

v i = u i − (v i /u k )u k = u i − βu k et (v i /v j ) =

( 1 − 2β ² + β ² = 1 − β ² si i = j β − 2β ² + β ² = β − β ² si i 6= j c. D'après la question précédente, {w ₁ , · · · , w _k−1 } est une partie α -isogonale du plan

H = Vect(u _k ) ^⊥ avec

α = β − β ² 1 − β ² = β

1 + β

D'après I, une partie isogonale d'un plan ne peut contenir plus de trois éléments et elle doit être − ¹ ₂ -isogonale. On en déduit k = 4 et

β

1 + β = − 1

2 ⇒ 2β = −1 − β ⇒ β = − 1 3 2. Pour écrire que A _µ,ν est − ¹ ₃ -isogonale, on doit former 4 + ⁴ ₂

= 10 relations traduisant que les vecteurs sont unitaires et qu'ils ont deux à deux le même écart angulaire.

Comme t est unitaire, orthogonal aux autres et {u, v, w} isogonale ces relations se ramènent à trois : 

 

 



 

 



µ ² + ν ² = 1

ν = − 1 3

− 1

2 µ ² + ν ² = − 1 3

⇔



 

 

ν = − 1 3 µ ² = 8

9

Il existe donc exactement deux couples (µ, ν) tels que A µ,ν soit − ¹ ₃ -isogonale :

(− 2 √ 2 3 , − 1

3 ) ( 2 √

2 3 , − 1

3 )

Partie III.

1. Notons C puis X 1 , · · · , X k les colonnes que l'énoncé nous invite à considérer. Chaque colonne de P (a,b) est une combinaison de C et d'une X i . Par exemple la i -ème est bC + (a − b)X i . Par multilinéarité par rapport aux colonnes, on peut développer le déterminant. On obtient une somme de 2 ^k termes, chacun étant le déterminant d'une matrice dont chaque colonne est à un coecient près C ou un X _i . À cause du caractère alterné, ces termes sont nuls dès que C gure deux fois. Il ne reste donc plus que k + 1 déterminants : celui dans lequel C ne gure pas et ceux (il y en a k ) dans lesquels elle gure une fois aux diérentes places.

Lorsque C ne gure pas, la matrice est (a − b)I _k de déterminant (a − b) ^k . Lorsque C gure une fois en position i , on doit remplacer la i ème colonne de (a − b)I _k par une colonne de b . On rend facilement triangulaire une telle matrice en soustrayant la ligne i à celles du dessous. Cela ne change pas le déterminant qui est donc (a − b) ^k−1 b . On en tire nalement :

det P _(a,b) = (a − b) ^k +

k

X

i=1

(a − b) ^k−1 b = (a − b) ^k−1 (a + (k − 1)b)

2. La partie {u 1 , · · · , u _k } est c -isogonale. Si λ ₁ u ₁ + · · · + λ _k u _k = 0 _E son produit scalaire avec tout u _i est nul également. On en déduit

cλ 1 + · · · + cλ i−1 + λ 1 + cλ i+1 + · · · + cλ k = 0

Il s'agit de la i -ème ligne du produit de P (1, c) par la colonne des λ i . Autrement dit :

∀(λ 1 , · · · , λ k ) ∈ R ^k : λ 1 u 1 + · · · + λ k u k = 0 E ⇒ P k (1, c)





 λ 1

...

λ k





 =





 0 ...

0







Si c est diérent de 1 et de − _k−1 ¹ , le déterminant de la matrice est non nul d'après le calcul de la question précédente.La matrice est inversible et la colonne des λ i doit alors être nulle ce qui assure que (u ₁ , · · · , u _k ) est libre.

3. Considérons une partie c -isogonale à k éléments avec k ≥ dim E + 1 . Elle est forcément liée donc c = 1 ou − _k−1 ¹ d'après la question précédente. Le cas c = 1 est à exclure car on a vu qu'il ne peut se produire que pour k = 2 . On doit donc avoir c = − _k−1 ¹ . Considérons maintenant une partie c -isogonale avec k ≥ dim E +2 . On peut en extraire une partie à k−1 éléments qui sera toujours c -isogonale et pour laquelle le raisonnement précédent s'applique. On devra alors avoir c = − _k−1 ¹ et c = − _k ¹ ce qui est impossible.

Partie IV.

1. Considéront trois vecteurs de B . Ils constituent alors une partie − ¹ ₃ -isogonale. Ils ne peuvent être coplanaires car les seules parties isogonales d'un plan sont des parties

− ¹ ₂ -isogonales. Ils constituent donc une famille libre.

Pour calculer les coecients de la décomposition

u 4 = λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + λ 3 u 3 + λ 4 u 4

on forme les quatre produits scalaires contre les u _i :



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ ₁ − 1 3 λ ₂ − 1

3 λ ₃ = − 1 3

− 1

3 λ ₁ + λ ₂ − 1

3 λ ₃ = − 1 3

− 1 3 λ ₁ − 1

3 λ ₂ + λ ₃ = − 1 3

− 1 3 λ ₁ − 1

3 λ ₂ − 1 3 λ ₃ = 1

⇒



 

 

 

 

3λ ₁ − λ ₂ − λ ₃ = −1 (1)

−λ 1 + 3λ 2 − λ 3 = −1 (2)

−λ ₁ − λ ₂ + 3λ ₃ = −1 (3) λ 1 + λ 2 + λ 3 = −3 (4)

⇒



 

 

λ 1 + λ 2 + λ 3 = −3 (4) 4λ ₂ = −4 (2) + (4) 4λ 3 = −4 (3) + (4)

⇒ λ ₁ = λ ₂ = λ ₃ = −1 ⇒ u ₄ = −(u 1 + u ₂ + u ₃ )

2. Unicité.

Soit x = m ₁ u ₁ + m ₂ u ₂ + m ₃ u ₃ + m ₄ u ₄ avec m ₁ + m ₂ + m ₃ + m ₄ = 1 . De u ₄ =

−(u ₁ + u ₂ + u ₃ ) , on tire la décomposition de x dans la base (u ₁ , u ₂ , u ₃ ) . En notant (x 1 , x 2 , x 3 ) les coordonnées de x , on obtient



 

 

 

 

m ₂ − m ₄ = x ₁ m 2 − m 4 = x 2

m ₃ − m ₄ = x ₃ m 1 + m 2 + m 3 + m 4 = 1

⇒



 

 

 

 

−2m 4 = 1 − x ₁ − x ₂ − x ₃ m 1 = x 1 + m 4

m ₂ = x ₂ + m ₄

m 3 = x 3 + m 4

On en déduit qu'il existe au plus un quadruplet (m 1 , m 2 , m 3 , m 4 ) et qu'il est donné par les dernières relations.

Existence

Dénissons (m ₁ , m ₂ , m ₃ , m ₄ ) par les relations



 

 

 

 

−2m 4 = 1 − x ₁ − x ₂ − x ₃ m 1 = x 1 + m 4

m ₂ = x ₂ + m ₄ m 3 = x 3 + m 4

où (x 1 , x 2 , x 3 ) sont les coordonnées de x dans (u 1 , u 2 , u 3 ) . On vérie facilement que x = m 1 u 1 + m 2 u 2 + m 3 u 3 + m 4 u 4 avec m 1 + m 2 + m 3 + m 4 = 1 .

3. a. On doit montrer ici que f (B) = B entraine F (T ) = T . Pour tout x ∈ T , x = P

i m _i u _i avec les m _i ≥ 0 donc f (x) = P

i m _i f (u _i ) . Comme f est une bijection qui conserve B , il existe une permutation σ de {1, 2, 3, 4} telle que f (u _i ) = u _σ(i) . On a alors

f (x) = X

i

m i u _σ(i) = X

j

m _σ

−1

(j) u j ⇒ f (x) ∈ T

car les m _σ

−1

(j) sont positifs. Ceci montre que f (T ) ⊂ T . Pour prouver la deuxième inclusion, on applique le même raisonnement à l'automorphisme réciproque f ⁻¹ . b. On suppose maintenant f (T ) = T . On veut prouver que f (B ) = B .

Soit u ∈ B . Alors u ∈ T car B ⊂ T donc v = f(u) ∈ T . Calculons la norme de v . kvk ² = X

i

m ² _i + 2 X

i<j

m i m j (u i /u j ) = X

i

m ² _i − 2 3

X

i<j

m i m j

En introduisant cette relation :

X

i

m _i

! 2

= X

1

m ² _i + 2 X

i<j

m _i mj

⇒ X

i

m i

! ²

− kvk ² = 2(1 + 1 3 ) X

i<j

m i mj = 8 3

X

i<j

m i mj

On peut alors conclure X

i

m i = 1

kvk = 1







⇒ X

i<j

m _i mj = 0

Tous les m i sont positifs ou nuls. Il en est donc de même pour les m i m j mais ceux là doivent être tous nuls puisque leur somme est nulle. Ce ne serait pas le cas si deux des m _i étaient non nuls. Ainsi un seul des m _i est non nul. Il doit être égal à 1 ce qui signie que f (v) est un élément de B . Ceci prouve que f (B) ⊂ B . On a l'égalité car B est nie et f injective.

4. a. Par le théorème du prolongement linéaire, σ est entièrement déterminée par l'image de la base (u ₁ , u ₂ , u ₃ )

b. Comme σ conserve globalement la partie isogonale B , il conserve le produit sca- laire entre deux vecteurs de B . Par linéarité, il conserve le produit scalaire entre deux vecteurs quelconques. C'est donc un automorphisme orthogonal.

c. Il sut d'appliquer la linéarité à u ₁ + u ₂ + u ₃ + u ₄ = 0 _E et le fait que σ permute les u _i ..

d. Si g et h conservent T , il est immédiat que g ◦ h et g ⁻¹ le conservent également.

L' ensemble G est donc un sous-groupe de O(E) . D'après les dénitions, σ ◦ σ ⁰ = σ ◦ σ ⁰ . L'application

G → G σ 7→ σ

est donc un morphisme de groupe. Ce morphisme est bijectif d'après 3.b. Il est injectif car si σ est l'identité, σ xe trois vecteurs d'une base extraite de B donc obligatoirement le quatrième vecteur de B car c'est une permutation.

On en déduit que G et G ont le même nombre d'éléments à savoir 4! .

e. Notons (i, j) la transposition de i et j . C'est un élément de G . On vérie facilement

que l'élément (i, j) de G qui lui est associé est la réexion τ _i,j . La décomposition

des permutations en transpositions se traduit alors par une décomposition de tout

élément de G en réexions.