Une variable aléatoire X à valeurs réelles est dite de Rademacher si et seulement si elle vérie :

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Dans tout le texte, n désigne un entier supérieur ou égal à 2 .

Un espace probabilisé (Ω, P ) est xé. Toutes les variables aléatoires considérées sont dénies sur cet espace. Elles peuvent être à valeurs réelles ou matricielles.

Une variable aléatoire X à valeurs réelles est dite de Rademacher si et seulement si elle vérie :

X(Ω) = {−1, +1} , P (X = −1) = P (X = +1) = 1 2 .

Pour abréger les énoncés, on désignera par R-variable une variable de Rademacher.

Pour q et n entiers naturels non nul, on désigne par Ω q,n la partie de M q,n formée par les matrices constituées uniquement de −1 et de +1 .

Partie I. Variables de Rademacher.

1. a. Calculer l'espérance et la variance d'une R-variable.

b. Soit X et Y deux R-variables indépendantes. Montrer que XY est de Rademacher.

2. On considère 4 R-variables m ₁₁ , m ₁₂ , m ₂₁ , m ₂₂ mutuellement indépendantes et la variable aléatoire

δ =

m ₁₁ m ₁₂ m ₂₁ m ₂₂

= m ₁₁ m ₂₂ − m ₂₁ m ₁₂ . a. Calculer l'espérance et la variance de δ .

b. Calculer P (δ = 0) .

3. On considère des R-variables c 1 , · · · , c n et c ⁰ ₁ , · · · , c ⁰ _n mutuellement indépendantes.

a. Soit (ε 1 , · · · , ε n ) ∈ {−1, +1} ⁿ . Calculer P ((c 1 = ε 1 ) ∩ · · · ∩ (c n = ε n )) . b. On note

C =





 c 1

...

c n





 , C ⁰ =





 c ⁰ ₁

...

c ⁰ _n





 .

Pour tout ω ∈ Ω , montrer que (C(ω), C ⁰ (ω)) liée si et seulement si C ⁰ (ω) =

±C(ω) . En déduire P ((C, C ⁰ ) liée )) .

Partie II. Outils matriciels.

1. Soit (X ₁ , · · · , x _n ) la base canonique de M n,1 ( R ) et V = X ₁ + · · · + X _n . Pour i ∈ J 1, n K, exprimer X _i en fonction de V et de V − 2X _i . En déduire

Vect(Ω _n,1 ) = M _n1 ( R ).

2. Soit C 1 , · · · , C n des matrices colonnes de M n,1 ( R ) . Aucune de ces colonnes n'est nulle.

Montrer que si (C 1 , · · · , C n ) est liée, il existe un unique j ∈ J 1, n − 1 K tel que (C 1 , · · · , C j ) libre et C j+1 ∈ Vect(C 1 , · · · , C j ).

3. Soit (C ₁ , · · · , C _d ) une famille libre dans M _n,1 ( R ) et H = Vect(C ₁ , · · · , C _d ) . Montrer qu'il existe des entiers i 1 , · · · , i d tels que

1 ≤ i ₁ < i ₂ < · · · < i _d ≤ n et



 

 

 

 

H → M _d,1 ( R )





 x ₁

...

x n





 7→





 x _i

₁

...

x i

_d







bijective.

(on pourra penser aux matrices extraites)

4. Soit H un sous-espace de M n,1 ( R ) de dimension d . Montrer que Card(H ∩ Ω n,1 ) ≤ 2 ^d .

5. Soit d < n et (C ₁ , · · · , C _d ) une famille libre dans M n,1 ( R ) de colonnes à coecients dans Z. Soit H = Vect(C ₁ , · · · , C _d ) . Montrer qu'il existe une matrice ligne à coecients entiers L ∈ M _1,n ( Z ) non nulle telle que

∀X ∈ M n,1 ( R ), X ∈ H ⇒ L X = 0.

Partie III. Matrices de Rademacher.

On considère n ² variables de Rademacher mutuellement indépendantes m i,j avec (i, j) ∈ J 1, n K

2 et des variables aléatoires matricielles M =







m ₁₁ · · · m _1n

... ...

m _n1 · · · m _nn





 , C 1 =





 m ₁₁

...

m _n1





 , · · · , C n =





 m _1n

...

m _nn





 .

Pour tout événement élémentaire ω ∈ Ω , les matrices M (ω) et C i (ω) sont donc constituées uniquement de −1 et de +1 .

Pour tout j ∈ J 1, n − 1 K, on note R _j l'événement

(C 1 , · · · , C j ) libre et C j+1 ∈ Vect(C 1 , · · · , C j ) On note aussi R _n l'événement M est inversible .

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1. Montrer que R 1 , · · · , R n est un système complet d'événements.

2. a. Montrer que

P ( M non inversible ) ≤

n−1

X

j=1

P (C _j+1 ∈ Vect(C ₁ , · · · , C _j )).

b. Fixons un événement élémentaire ω ∈ Ω . Pour j ∈ J 1, n − 1 K, on note H _j (ω) = Vect(C ₁ (ω), · · · , C _j (ω)) . Montrer que

P (C j+1 ∈ H j (ω)) ≤ 2 ^j−n . En déduire P (C j+1 ∈ Vect(C 1 , · · · , C j )) ≤ 2 ^j−n . c. Montrer que P ( M non inversible ) ≤ 1 − ₂

n−1

¹ .

Partie IV. Anti-chaînes.

Soit A une partie de P ( J 1, n K ) (les éléments de A sont donc des parties de J 1, n K). On dit que A est une anti-chaîne si et seulement si

∀(A, B) ∈ A ² , A 6= B ⇒ (A 6⊂ B et B 6⊂ A) .

Dans toute cette partie, A désigne une anti-chaîne. Soit A ∈ A de cardinal |A| . On note S A l'ensemble des permutations σ de J 1, n K telles que la restriction de σ à J 1, |A| K dénisse une bijection de J 1, |A| K dans A .

1. Exemple. Soit k ∈ J 1, n K. Montrer que l'ensemble des parties de J 1, n K à k éléments est une anti-chaîne.

2. Pour un élément A de A , quel est le cardinal de S A ?

3. a. Soit A et B deux éléments distincts de A . Montrer que S A ∩ S B = ∅ .

b. Pour k ≤ n , on désigne par a k le nombre d'éléments de A de cardinal k . Montrer

que n

X

k=0

a k n k

≤ 1.

c. En utilisant sans démonstration

∀k ∈ J 0, n K , n

k

≤ n

bn/2c

,

montrer que

Card(A) ≤ n

bn/2c

.

4. Soit L = l ₁ · · · l _n

une matrice ligne telle que l i ≥ 1 pour tous les i . Pour toute partie A de J 1, n K, on pose

C A =





 c 1

...

c n





 avec ∀i ∈ J 1, n K , c i =

( 1 si i ∈ A

−1 si i / ∈ A . On note aussi s A = LC A .

a. Montrer que si A ⊂ B ⊂ J 1, n K avec A 6= B alors s B − s A ≥ 2 .

b. Soit J un intervalle ouvert de R de longueur 2 . On dénit un ensemble V J de matrices colonnes par :

∀C ∈ M n,1 ( R ), C ∈ V J ⇔ LC ∈ J.

En considérant une certaine anti-chaîne, montrer que Card (Ω n,1 ∩ V J ) ≤

n bn/2c

.

Montrer que cette propriété reste vraie si on suppose seulement |l i | ≥ 1 pour tous les i .

5. Soient c ₁ , ..., c _n des variables de Rademacher mutuellement indépendantes. Notons C =





 c ₁

...

c _n





 . Montrer que si n est susamment grand : P (C ∈ V J ) ≤ 1

√ n .

On pourra utiliser sans démonstration le résultat suivant : il existe n 0 ∈ N ^∗ tel que pour tout n ≥ n 0 , n

bn/2c

≤ 2 ⁿ

√ n .

Partie V. Universalité.

Dans cette partie, k désigne un entier inférieur ou égal à n . Une partie V ⊂ Ω n,1 est dite k -universelle si pour tout k -uplet (j 1 , ..., j k ) avec 1 ≤ j 1 < ... < j k ≤ n et tout W =





 w 1

...

w n





 ∈ Ω n,1 , il existe V =





 v 1

...

v n





 ∈ V tel que w j

_l

= v j

_l

pour tout l ∈ J 1, k K.

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Rémy Nicolai Benoît SaleurS1710E

MPSI A - B Année 2017-2018. DS Commun 2 le 25/05/18 26 mai 2018 Soient n ² variables de Rademacher mutuellement indépendantes m i,j avec (i, j) ∈ J 1, n K

2 . On conserve les notations introduites au début de la partie III. Soit d ∈ J 1, n K.

1. Notons A l'événement {{C ₁ , ..., C _d } n'est pas k -universelle } . En remarquant que :

A ⊂ [

1≤j

1

<...<j

k

≤n

[

W∈Ω

n,1

d

\

i=1 k

[

m=1

{m j

_m

,i 6= w j

_m

}

montrer que P (A) ≤ n

k

2 ^k (1 − 2 ^−k ) ^d .

2. Soit V ⊂ Ω n,1 une partie universelle. D'après la question II 5, il existe une ligne L à coecients entiers telle que

∀C ∈ Vect(V), LC = 0.

Montrer que L possède au-moins k + 1 coordonnées non nulles.

3. En déduire à l'aide de la question IV 4 (c) que si k est susamment grand : P (C ₁ ∈ Vect(V )) ≤ P (LC ₁ = 0) ≤ 1

√ k .

Partie VI. Théorème de Komlos.

On considère encore n ² variables de Rademacher m i,j avec (i, j) ∈ J 1, n K

2 . On conserve les notations introduites au début de la partie III.

1. Notons t _n = b √

nc et k _n = bln(n)c pour tout n ∈ N ^∗ . On admettra que pour n susamment grand et pour j ≥ n − t _n + 1 :

n k _n

2 ^k

ⁿ

(1 − 2 ^−k

ⁿ

) ^j ≤ 1 n .

a. Montrer que si n est susamment grand, pour tout j ∈ J n − t n + 1, n − 1 K : P (C j+1 ∈ Vect(C 1 , ..., C j )) ≤ 1

p ln(n) + 1

n ≤ 2

p ln(n) . On distinguera les cas selon que (C ₁ , ..., C _j ) soit k _n -universel ou non.

b. En déduire que :

n−1

X

j=n−t

_n

+1

P (C _j+1 ∈ Vect(C ₁ , ..., C _j )) ≤ 2t _n ln(n) .

2. Pour tout n ∈ N ^∗ , notons p n = P ( M non inversible ) . Montrer que la suite (p n ) tend vers 0 . Il s'agit du théorème de Komlos.

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