MPSI B 29 juin 2019

(1)

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

1. On considère

¹

cinq nombres réels deux à deux distincts x

1

, x

2

, x

3

, x

4

, x

5

.

Après avoir justié l'intégrabilité de la fonction sur R, montrer qu'il existe des réels α

1

, α

2

, α

3

, α

4

, α

5

tels que pour tout polynôme réel P de degré inférieur ou égal à 4 :

Z

+∞

−∞

e

⁻^x

2

P(x) dx =

5

X

k=1

α

k

P (x

k

)

2. Soit S le polynôme à coecients réels déni par

∀x ∈ R : S(x) = e

^x

2 2

d

⁵

dx

⁵

(e

^−x

2 2

)

Montrer que pour tout polynôme P de degré inférieur ou égal à 4 on a Z

+∞

−∞

e

^−x

2

S (x)P(x) dx = 0

Donner les racines de P .

3. On se propose maintenant de choisir les nombres x

1

, x

2

, x

3

, x

4

, x

5

.

a. Montrer qu'il existe x

1

, x

2

, x

3

, x

4

, x

5

, α

1

, α

2

, α

3

, α

4

, α

5

tels que pour tout poly- nôme réel de degré inférieur ou égal à 9 on ait :

Z

+∞

−∞

e

⁻^x

2

P (x) dx =

5

X

k=1

α

k

P (x

k

)

b. Trouver x

1

, x

2

, x

3

, x

4

, x

5

.

1partie de ESTP 1991

Corrigé

1. Notons E l'espace vectoriel réel des polynômes de degré au plus 4 . Sa dimension est 5.

Pour tout polynôme P , la fonction t → e

⁻^t²²

P (t) est intégrable sur R . En eet, son module est, au voisinage de +∞ dominée par e

^−t

et, au voisinage de −∞ , dominée par e

^t

. De plus, la fonction

t →

e

^t

si t < 0 e

^−t

si t ≥ 0 est intégrable sur R .

L'application de E dans R qui à P → R

+∞

−∞

e

⁻^t

2

P(t)dt est une forme linéaire. Les applications P → P(x

i

) sont aussi des formes linéaires ; pour prouver l'existence des α

i

, il sut de prouver que les applications P → P(x

i

) engendrent l'espace dual E

^∗

de toutes les formes linéaires.

Notons ξ

_i

l'application P → P (x

_i

) et considérons une combinaison nulle λ

1

ξ

1

+ · · · + λ

5

ξ

5

= 0

E^∗

Appliquons cette identité fonctionnelle en Q

5

i=2

(X − x

_i

) , on obtient λ

1

5

Y

i=2

(x

1

− x

i

) = 0

ce qui entraîne λ

1

= 0 car les x

j

sont deux à deux distincts. La nullité des autres coecients est obtenue de manière analogue. Ceci montre que (ξ

₁

, · · · , ξ

₅

) est libre, c'est donc une base de l'espace E

^∗

qui est de dimension 5 .

2. Pour faciliter l'écriture notons f (t) = e

⁻^t²²

. Chaque dérivée de f est le produit de f par un polynôme. Le produit de f par un polynôme quelconque converge toujours vers 0 en +∞ et −∞ .

Transformons par intégrations par parties ; les limites sont nulles, les fonctions sont intégrables :

Z

+∞

−∞

e

⁻^t

2

S(t)P (t)dt = Z

+∞

−∞

f

⁽⁵⁾

(t)P(t)dt = − Z

+∞

−∞

f

⁽⁴⁾

(t)P

⁰

(t)dt = · · ·

= −

Z

+∞

−∞

f

⁽⁰⁾

(t)P

⁽⁵⁾

(t)dt = 0 car P de degré ≤ 4 .

Par le calcul des dérivées, on obtient :

S(t) = −t(t

⁴

− 10t

²

+ 15)

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai Aestp91

(2)

MPSI B 29 juin 2019 dont les racines sont 0, p

5 + √ 10, − p

5 + √ 10, p

5 − √ 10, − p

5 − √ 10

3. Soit P un polynôme de degré ≤ 9, écrivons sa division euclidienne par le polynôme S de la question précédente.

P = QS + R

avec deg(R) ≤ 4, deg(P ) = deg(Q) + 5 donc deg(Q) ≤ 4 . alors : Z

+∞

−∞

e

⁻^t

2

P (t)dt = Z

+∞

−∞

e

⁻^t

2

S(t)Q(t)dt + Z

+∞

−∞

e

⁻^t

2

R(t)dt = Z

+∞

−∞

e

⁻^t

2 2

R(t)dt

Choisissons alors pour x

_i

les racines de S avec les α

_i

comme en 1.

Z

+∞

−∞

e

⁻^t

2

P (t)dt =

5

X

i=1

α

i

R(x

i

)

mais R(x

_i

) = P (x

_i

) car Q(x

_i

) = 0 . On obtient bien la formule demandée, les x

_i

sont les racines de S .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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Rémy Nicolai Aestp91