On désigne par E un R espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 . Le produit scalaire est noté (./.) , une base orthonormée B

(1)

MPSI B 20010-2011 DM 16 29 juin 2019

L'objet de ce problème est la démonstration du théorème de l'hexagramme de Pascal (g 3). Les parties I, II, IV, V sont indépendantes entre elles.

Notations communes à tout le problème.

On désigne par E un R espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 . Le produit scalaire est noté (./.) , une base orthonormée B

E

= (i, j, k) est xée.

Le plan ane P dans E est déni par k + Vect(i, j) (g. 1).

On désigne par S l'ensemble des matrices symétriques 3 × 3 . En particulier, on note :

S

₁

=





1 0 0 0 0 0 0 0 0



 S

₂

=





0 1 0 1 0 0 0 0 0



 S

₃

=





0 0 1 0 0 0 1 0 0





S

4

=





0 0 0 0 1 0 0 0 0



 S

5

=





0 0 0 0 0 1 0 1 0



 S

6

=





0 0 0 0 0 0 0 0 1





On utilisera (la démonstration n'est pas demandée) le fait que B

S

= (S

1

, S

2

, S

3

, S

4

, S

5

, S

6

) est une base de S .

On dénit une application s de la manière suivante : s :

( E → S

x 7→ (Mat

BE

x)

^t

(Mat

BE

x)

On sera amené à considérer les déterminants det

B_E

et det

BS

. On prendra bien garde aux espaces de départ :

det

BE

est déni dans E

³

. det

BS

est déni dans S

⁶

Des fonctions λ et µ , dénies dans E

⁶

, sont introduites dans les parties I et II et utilisées ensuite.

Partie I. Condition d'alignement.

1. On se donne quatre vecteurs a

1

, a

2

, b

1

, b

2

dans P (g. 1). Montrer que P ∩ Vect ((a

₁

∧ b

₂

) ∧ (a

₂

∧ b

₁

)) = (a

₁

b

₂

) ∩ (a

₂

b

₁

) où (a

₁

b

₂

) et (a

₂

b

₁

) désignent les droites dans le plan P .

a

₁

b

2

b

₁

a

₂

P

k

Fig. 1: Le plan ane P dans E

2. Soit c

₁

, c

₂

, c

₃

trois vecteurs n'appartenant pas à Vect(i, j) . Montrer que les points d'intersection de Vect(c

₁

) , Vect(c

₂

) , Vect(c

₃

) avec P sont alignés si et seulement si

det

BE

(c

₁

, c

₂

, c

₃

) = 0

3. On dénit une fonction λ de E

⁶

dans R par :

∀(a

1

, a

2

, a

3

, b

1

, b

2

, b

3

) ∈ E

⁶

: λ(a

1

, a

2

, a

3

, b

1

, b

2

, b

3

) = det

BE

((a

1

∧ b

2

) ∧ (a

2

∧ b

1

), (a

2

∧ b

3

) ∧ (a

3

∧ b

2

), (a

3

∧ b

1

) ∧ (a

1

∧ b

3

)) On se donne six vecteurs a

1

, a

2

, a

3

, b

1

, b

2

, b

3

dans P (g. 2). Lorsque les points d'intersection c

1

, c

2

, c

3

existent, montrer qu'ils sont alignés si et seulement si

λ(a

1

, a

2

, a

3

, b

1

, b

2

, b

3

) = 0

Partie II. Condition de coconicité .

Une conique est une ligne de niveau d'une fonction du second degré. En particulier, des points M

_i

(avec i entre 1 et 6 ) du plan P de coordonnées (x

_i

, y

_i

, 1) sont sur une même

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai M1016E

(2)

MPSI B 20010-2011 DM 16 29 juin 2019

a

1

a

2

a

3

b

3

b

2

b

₁

c

₃

c

2

c

1

Fig. 2: Une conguration de 6 points dans P conique si et seulement si :

∃(A, B, C, D, E, F ) ∈ R

⁶

non tous nuls et tels que ∀i ∈ {1, · · · , 6}

Ax

²_i

+ Bx

i

y

i

+ Cx

i

+ Dy

²_i

+ Ey

i

+ F = 0 On dénit une fonction µ de E

⁶

dans R par :

∀(u

₁

, u

₂

, u

₃

, u

₄

, u

₅

, u

₆

) ∈ E

⁶

:

µ(u

1

, u

2

, u

3

, u

4

, u

5

, u

6

) = det

BS

(s(u

1

), s(u

2

), s(u

3

), s(u

4

), s(u

5

), s(u

6

))

1. Soit u ∈ E de coordonnées (x, y, z) dans la base B

E

. Calculer la matrice s(u) . En déduire les coordonnées de s(u) dans B

S

.

2. Montrer que les u

i

(avec i entre 1 et 6 ) du plan P de coordonnées (x

i

, y

i

, 1) sont sur une même conique si et seulement si :

µ(u

1

, u

2

, u

3

, u

4

, u

5

, u

6

) = 0

Partie III. Démonstration par force brute .

a1

b2

b1

a2

c3

b3

a3

c1

c2

Fig. 3: Hexagramme de Pascal À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on établit :

λ = µ

Formuler et démontrer un théorème relatif à l'hexagramme de Pascal (g 3).

Dans les parties suivantes, on ramène la démonstration de cette égalité à des calculs accessibles à un humain.

Partie IV. Étude d'un endomorphisme de S .

Pour toute matrice M ∈ M

3

( R ) , on dénit une application c

M

dans S par :

∀S ∈ S : c

M

(S) = M S

^t

M 1. a. Montrer que c

_M

∈ L(S) .

b. Pour toutes matrices M et M

⁰

dans M

₃

( R ) , préciser c

_M⁰

◦ c

_M

. c. Montrer que c

_M

est bijectif si et seulement si M est inversible.

2

(3)

MPSI B 20010-2011 DM 16 29 juin 2019

2. Dans cette question

M = P

1,2

=





0 1 0 1 0 0 0 0 1





a. Soit A ∈ M

3

( R ) . Comment obtient-on A

^t

M à partir de A ? Comment obtient-on M A à partir de A ?

b. Calculer c

_M

(S) avec

S =





a b c

b d e

c e f



 c. Former la matrice de c

_M

dans B

_S

. En déduire det c

_P_1,2

.

On admet que l'on obtient un résultat analogue pour tout couple (i, j) d'entiers distincts entre 1 et 3 .

3. Dans cette question

M = A

_1,2

(λ) =





1 λ 0 0 1 0 0 0 1





a. Soit A ∈ M

3

( R ) . Comment obtient-on A

^t

M à partir de A ? Comment obtient-on M A à partir de A ?

b. Calculer c

M

(S) avec

S =





a b c

b d e

c e f





c. Former la matrice de c

M

dans B

_S

. En déduire det c

_A_1,2_(λ)

.

On admet que l'on obtient un résultat analogue pour tout couple (i, j) d'entiers distincts entre 1 et 3 .

4. Dans cette question

M = D

1

(λ) =





λ 0 0

0 1 0 0 0 1





a. Soit A ∈ M

3

( R ) . Comment obtient-on A

^t

M à partir de A ? Comment obtient-on M A à partir de A ?

b. Calculer c

_M

(S) avec

S =





a b c

b d e

c e f





c. Former la matrice de c

M

dans B

S

. En déduire det c

D₁(λ)

.

On admet que l'on obtient un résultat analogue pour tout i entier entre 1 et 3 . 5. Montrer que

∀M ∈ M

3

( R ) : det c

_M

= (det M )

⁴

Partie V. Adjoint et image d'un produit vectoriel.

1. Questions de cours.

a. Soit f ∈ L(E) et U = (u

1

, u

2

, u

3

) une base orthonormée de E . Quel est le terme i, j de la matrice de f dans U ?

b. Soit (a, b, c) ∈ E

³

, g ∈ L(E) , U une base quelconque. Donner une autre expression pour :

det

U

(g(a), g(b), g(c))

2. Soit f ∈ L(E) , on dénit l'adjoint de f (noté

^t

f ) par : Mat

BE

t

f =

^t

(Mat

BE

f )

a. Montrer que pour toute base orthonormée U : Mat

_U ^t

f =

^t

(Mat

_U

f )

b. Montrer que :

∀(x, y) ∈ E

²

: (f (x)/y) = (x/

^t

f (y))

c. Montrer que

^t

f est un automorphisme si et seulement si f est un automorphisme avec

t

f

−1

=

^t

f

⁻¹

noté

^t

f

⁻¹

3. Soit f un automorphisme de E . Montrer que :

∀(a, b) ∈ E

²

: f (a) ∧ f (b) = (det f )

^t

f

⁻¹

(a ∧ b)

4. Soit f un automorphisme de E et A sa matrice dans une base orthonormée. Quelle est la matrice de (det f )

^t

f

⁻¹

dans la même base orthonormée ?

3

(4)

MPSI B 20010-2011 DM 16 29 juin 2019

Partie VI. Démonstration classique

¹

.

1. En développant suivant la première colonne, vérier l'égalité entre déterminants réels :

w

2

u

1

u

3

u

2

u

1

v

3

v

2

w

1

u

3

v

2

v

1

v

3

w

2

w

1

w

3

u

2

v

1

w

3

=

u

1

v

1

u

2

v

2

u

3

v

3

v

1

w

1

v

2

w

2

v

3

w

3

u

1

w

1

u

2

w

2

u

3

w

3

2. Montrer que, pour tout (a

₁

, a

₂

, a

₃

, b

₁

, b

₂

, b

₃

) ∈ E

⁶

et tout f ∈ GL(E) ,

λ (f (a

1

), f (a

2

), f (a

3

), f(b

1

), f (b

2

), f (b

3

)) = (det f )

⁴

λ (a

1

, a

2

, a

3

, b

1

, b

2

, b

3

) 3. Soit f ∈ GL(E) et M la matrice de f dans B

E

.

Montrer que, pour tout (a

1

, a

2

, a

3

, b

1

, b

2

, b

3

) ∈ E

⁶

,

µ (f(a

1

), f(a

2

), f (a

3

), f (b

1

), f(b

2

), f(b

3

)) = (det M )

⁴

µ (a

1

, a

2

, a

3

, b

1

, b

2

, b

3

) 4. Pour i entre 1 et 3 , les coordonnées dans B

E

du vecteur b

i

de E sont (u

i

, v

i

, w

i

) .

a. Exprimer λ(i, j, k, b

1

, b

2

, b

3

) comme un déterminant 3 × 3 .

b. Exprimer µ(i, j, k, b

₁

, b

₂

, b

₃

) comme un déterminant 6 × 6 puis 3 × 3 . Que peut-on en déduire ?

5. Soit a

₁

, · · · , a

₆

six vecteurs de E tels que (a

₁

, a

₂

, a

₃

) soit libre. Montrer que λ(a

1

, a

2

, a

3

, a

4

, a

5

, a

6

) = µ(a

1

, a

2

, a

3

, a

4

, a

5

, a

6

)

6. Dans S × S , on dénit < ./. > par :

∀(S, S

⁰

) ∈ S

²

: < S/S

⁰

>= tr(SS

⁰

) a. Montrer que < ./. > est un produit scalaire de S . b. Montrer que :

∀(x, y) ∈ E

²

: < s(x)/s(y) >= (x/y)

²

c. Montrer que B

_S

est orthogonale. Est-elle orthonormée ? d. Montrer que, pour tous vecteurs x

1

, · · · , x

6

de E ,

8 (µ(x

₁

, x

₂

, x

₃

, x

₄

, x

₅

, x

₆

))

²

=

(x

₁

/x

₁

)

²

(x

₁

/x

₂

)

²

· · · (x

₁

/x

₆

)

²

(x

2

/x

1

)

²

(x

2

/x

2

)

²

· · · (x

2

/x

6

)

²

... ...

(x

6

/x

1

)

²

(x

6

/x

2

)

²

· · · (x

6

/x

6

)

²

1en géométrie projective, les démonstrations consistent souvent à expédier des objets à l'inni

4