MPSI B DS 1 6 octobre 2019

(1)

MPSI B DS 1 6 octobre 2019

Exercices

1. Préciser le module et un argument de 1 − cos θ e

^iθ

2. trouver des expressions simples des sommes suivantes sous forme de produits.

A =

n

X

k=1

(cos θ)

^k

cos(kθ) B =

n

X

k=0

(cos θ) ^(−k) cos(kθ)

Exercice

On considère trois nombres réels α ₁ , α ₂ , α ₃ dans ] − π, π] avec α ₁ < α ₂ . On pose z 1 = e

^−α¹

, z 2 = e

^−α²

, z 3 = e

^−α³

En discutant suivant la position de α 3 , préciser le module et un argument de z ₂ − z ₃

z 1 − z 3

En déduire un théorème connu de géométrie.

Problème

Dans tout le problème

¹

, on se place dans un plan P muni d'un repère orthonormé direct (O, − →

i , − →

j ) et on convient de désigner les points avec des capitales et les axes avec des minuscules. Par exemple, l'axe d'un point M sera le complexe m , le représentant d'un nombre complexe z sera le point Z .

Soit A et B deux points distincts.

Rappelons la dénition d'une symétrie par rapport à une droite. Les points M et M

⁰

sont dits symétriques par rapport à la droite (AB) si et seulement si :

le milieu de M et M

⁰

appartient à (AB) et −−−→

M M

⁰

est orthogonal à − − → AB .

Rappelons aussi la dénition de la médiatrice d'un segment. L'ensemble des points à égale distance de A et de B est une droite appelée médiatrice de AB .

1

d'après concours général 2005

A

M ^′ B

M

Fig. 1: Points symetriques par rapport à (AB)

Partie I. Expression complexe d'une symétrie

Soit A et B deux points distincts d'axes complexes a et b avec a 6= b .

1. a. Donner la dénition du nombre complexe j et ses premières propriétés, calculer j ² − j

j ² − j .

b. Soit u un nombre complexe non nul. Montrer que les points d'axes u , ju , j ² u forment un triangle équilatéral.

2. Soit M et M

⁰

(d'axes m et m

⁰

) deux points symétriques par rapport à (AB) . a. Montrer qu'il existe λ ∈ R tel que

m

⁰

+ m = 2a + 2(b − a)λ.

b. Montrer qu'il existe µ ∈ R tel que

m

⁰

− m = µi(b − a).

c. En déduire

m

⁰

− a b − a =

m − a b − a

.

3. Soit w 1 et w 2 complexes. On dénit la fonction s de C dans C par :

∀z ∈ C , s(z) = w ₁ z + w ₂ .

a. En utilisant les formules de Cramer, calculer w 1 et w 2 tels que s(a) = a et s(b) = b . b. Pour z ∈ C, on note z

⁰

= s(z) et Z , Z

⁰

les points d'axe z et z

⁰

. Vérier que Z

et Z

⁰

sont symétriques par rapport à (AB) .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai S0601E

(2)

MPSI B DS 1 6 octobre 2019

O

A B

C

M

1

M

2

M

3

M

4

Fig. 2: Points M , M 1 , M 2 , M 3 , M 4

Partie II

On considère les points O , A , B , C respectivement d'axes 0 , 1 , j , j ² . Soit M un point d'axe m 6= 0 . On note ρ = |m| et θ un argument de m .

Soit M 1 , M 2 , M 3 , M 4 les points symétriques de M respectivement par rapport aux droites (OA) , (OB) , (OC ) et (BC) .

O A

B

C M

M

2

M

3

M

4

Fig. 3: Alignement de M ₂ , M ₃ , M ₄

1. Calculer m ₁ , m ₂ , m ₃ , m ₄ en fonction de m . Montrer que M ₁ , M ₂ , M ₃ est équilatéral.

2. Montrer que M 2 , M 3 , M 4 sont alignés si et seulement si M est sur un certain cercle à préciser. Vérier que, dans ce cas, le point A est aussi sur la droite qui contient M 2 , M ₃ , M ₄ .

3. Si M 2 , M 3 , M 4 ne sont pas alignés, il existe un cercle (appelé cercle circonscrit) qui contient ces trois points. On note Ω (d'axe ω ) le centre de ce cercle et R son rayon.

On pourra utiliser que le point Ω est l'intersection des médiatrices des segments M ₂ M ₃ , M ₂ M ₄ , M ₃ M ₄ .

a. Montrer que O et M ₁ appartiennent à la médiatrice de M ₂ M ₃ . En déduire qu'il existe λ réel tel que ω = λe

^−iθ

.

b. En utilisant le fait que Ω appartient à la médiatrice de M ₂ M ₃ , montrer que ω = − 1 + 2ρ cos θ

ρ + 2 cos θ e

^−iθ

MPSI B DS 1 6 octobre 2019

MPSI B DS 1 6 octobre 2019

Exercices

1. Préciser le module et un argument de 1 − cos θ e

2. trouver des expressions simples des sommes suivantes sous forme de produits.

A =

X

(cos θ)

cos(kθ) B =

X

(cos θ) (−k) cos(kθ)

Exercice

On considère trois nombres réels α 1 , α 2 , α 3 dans ] − π, π] avec α 1 < α 2 . On pose z 1 = e

, z 2 = e

, z 3 = e

En discutant suivant la position de α 3 , préciser le module et un argument de z 2 − z 3

z 1 − z 3

En déduire un théorème connu de géométrie.

Problème

Dans tout le problème

, on se place dans un plan P muni d'un repère orthonormé direct (O, − →

i , − →

j ) et on convient de désigner les points avec des capitales et les axes avec des minuscules. Par exemple, l'axe d'un point M sera le complexe m , le représentant d'un nombre complexe z sera le point Z .

Soit A et B deux points distincts.

Rappelons la dénition d'une symétrie par rapport à une droite. Les points M et M

sont dits symétriques par rapport à la droite (AB) si et seulement si :

le milieu de M et M

appartient à (AB) et −−−→

M M

est orthogonal à − − → AB .

Rappelons aussi la dénition de la médiatrice d'un segment. L'ensemble des points à égale distance de A et de B est une droite appelée médiatrice de AB .

d'après concours général 2005

A

M ′ B

M

Fig. 1: Points symetriques par rapport à (AB)

Partie I. Expression complexe d'une symétrie

Soit A et B deux points distincts d'axes complexes a et b avec a 6= b .

1. a. Donner la dénition du nombre complexe j et ses premières propriétés, calculer j 2 − j

j 2 − j .

b. Soit u un nombre complexe non nul. Montrer que les points d'axes u , ju , j 2 u forment un triangle équilatéral.

2. Soit M et M

(d'axes m et m

) deux points symétriques par rapport à (AB) . a. Montrer qu'il existe λ ∈ R tel que

m

+ m = 2a + 2(b − a)λ.

b. Montrer qu'il existe µ ∈ R tel que

m

− m = µi(b − a).

c. En déduire

m

− a b − a =

m − a b − a

.

3. Soit w 1 et w 2 complexes. On dénit la fonction s de C dans C par :

∀z ∈ C , s(z) = w 1 z + w 2 .

a. En utilisant les formules de Cramer, calculer w 1 et w 2 tels que s(a) = a et s(b) = b . b. Pour z ∈ C, on note z

= s(z) et Z , Z

les points d'axe z et z

. Vérier que Z

et Z

sont symétriques par rapport à (AB) .

1

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O

A B

C

M

M

M

M

M

Fig. 2: Points M , M 1 , M 2 , M 3 , M 4

Partie II

On considère les points O , A , B , C respectivement d'axes 0 , 1 , j , j 2 . Soit M un point d'axe m 6= 0 . On note ρ = |m| et θ un argument de m .

Soit M 1 , M 2 , M 3 , M 4 les points symétriques de M respectivement par rapport aux droites (OA) , (OB) , (OC ) et (BC) .

O A

B

C M

M

(cos θ) ^(−k) cos(kθ)

On considère trois nombres réels α ₁ , α ₂ , α ₃ dans ] − π, π] avec α ₁ < α ₂ . On pose z 1 = e

En discutant suivant la position de α 3 , préciser le module et un argument de z ₂ − z ₃

M ^′ B

1. a. Donner la dénition du nombre complexe j et ses premières propriétés, calculer j ² − j

j ² − j .

b. Soit u un nombre complexe non nul. Montrer que les points d'axes u , ju , j ² u forment un triangle équilatéral.

∀z ∈ C , s(z) = w ₁ z + w ₂ .

On considère les points O , A , B , C respectivement d'axes 0 , 1 , j , j ² . Soit M un point d'axe m 6= 0 . On note ρ = |m| et θ un argument de m .

Fig. 3: Alignement de M ₂ , M ₃ , M ₄

1. Calculer m ₁ , m ₂ , m ₃ , m ₄ en fonction de m . Montrer que M ₁ , M ₂ , M ₃ est équilatéral.

2. Montrer que M 2 , M 3 , M 4 sont alignés si et seulement si M est sur un certain cercle à préciser. Vérier que, dans ce cas, le point A est aussi sur la droite qui contient M 2 , M ₃ , M ₄ .

On pourra utiliser que le point Ω est l'intersection des médiatrices des segments M ₂ M ₃ , M ₂ M ₄ , M ₃ M ₄ .

a. Montrer que O et M ₁ appartiennent à la médiatrice de M ₂ M ₃ . En déduire qu'il existe λ réel tel que ω = λe

b. En utilisant le fait que Ω appartient à la médiatrice de M ₂ M ₃ , montrer que ω = − 1 + 2ρ cos θ

R ² = ρ ² + (1 − ρ ² )(1 + 2ρ cos θ) (ρ + 2 cos θ) ² .