. Pour p ∈ C, lorsque la suite

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Énoncé

Ce problème porte sur le nombre ζ(2)

¹

. Pour p ∈ C, lorsque la suite

1 + 1 2 ^p + 1

3 ^p + · · · + + 1 n ^p

n∈

N^∗

converge, sa limite est notée ζ(p) (fonction zeta de Riemann).

L'objet de ce problème est de montrer que ζ(2) = π ²

6 et que ce nombre est irrationnel.

Partie I - Convergence de la suite

Dans cette partie, pour tous entiers naturels non nuls p et n , on pose :

S _n (p) =

n

X

k=1

1 k ^p .

1. Montrer que, pour tout entier k ≥ 1 , 1 (k + 1) ^p ≤

Z k+1 k

dx x ^p ≤ 1

k ^p . 2. Montrer que, pour tout entier n ≥ 2 ,

S _n (p) − 1 ≤ Z n

1

dx

x ^p ≤ S _n−1 (p).

3. Montrer qu'une primitive de la fonction







[1, +∞[ −→ R t 7−→ 1 t ^p est majorée si et seulement si p ≥ 2 .

4. Montrer que la suite (S n (p)) _n∈N

∗

converge si et seulement si p ≥ 2 .

1

d'après Concours commun mines Albi-Alès-Douai-Nantes, 2002, MPSI

Partie II - Calcul de la limite

Dans cette partie, on dénit une fonction h dans R et une fonction ϕ dans [0, π] par :

∀t ∈ R , h(t) = 1

2π t ² − t, ϕ(t) =



 



 



− 1 si t = 0 h(t)

2 sin t 2

si t ∈]0, π]

1. Montrer que ϕ ∈ C ¹ ([0, π]) . 2. Calculer Z π

0

h(t) cos(kt) dt pour tout k entier naturel non nul.

3. Pour t ∈ ]0, π] , donner une expression factorisée de

n

X

k=1

cos(kt) . En déduire une constante λ (à préciser) telle que :

∀t ∈ ]0, π] ,

n

X

k=1

cos(kt) = sin

n + 1

2

t

2 sin t

2

− λ.

4. Montrer à l'aide d'une intégration par parties que, pour toute fonction ψ ∈ C ¹ ([0, π]) , la suite Z π

0

ψ(t) sin

n + 1 2

t

dt

n∈

N

converge vers 0 . 5. Montrer que

ζ(2) = π ² 6 .

Partie III - Irrationalité

Dans cette partie, on veut montrer que π ² est irationnel. On va raisonner par l'absurde en supposant que π ² = a

b avec a et b naturels non nuls. On pose aussi :

∀n ∈ N

^∗

, ∀x ∈ R , f n (x) = 1

n! x ⁿ (1 − x) ⁿ . 1. Dans cette question, n ∈ N

^∗

.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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a. Montrer qu'il existe n + 1 entiers e n , e n+1 , · · · , e 2n tels que

f _n (x) = 1 n!

2n

X

i=n

e _i x ⁱ .

b. Montrer que pour tout k ∈ N, f ^(k) (0) et f ^(k) (1) sont des entiers.

(On pourra remarquer que f n (x) = f n (1 − x) ).

2. Pour tout n entier naturel non nul, on dénit une fonction F n et une fonction g n dans R par :

F _n (x) = b ⁿ

π ²ⁿ f _n (x) − π ²ⁿ⁻² f _n ⁽²⁾ (x) + π ²ⁿ⁻⁴ f _n ⁽⁴⁾ (x) − · · · + (−1) ⁿ f ⁽²ⁿ⁾ (x) , g n (x) = F _n

⁰

(x) sin(πx) − πF n (x) cos(πx).

a. Montrer que F _n (0) et F _n (1) sont entiers.

b. Montrer que g

⁰

_n (x) = π ² a ⁿ f n (x) sin(πx) et que A n est entier, où A n = π

Z 1 0

a ⁿ f n (x) sin(πx) dx.

3. a. Montrer qu'il existe un entier naturel n 0 tel que pour tout entier n ≥ n 0 , on ait a ⁿ

n! < 1 2 .

b. Montrer que 0 ≤ f _n (x) ≤ 1

n! pour tout x ∈ [0, 1] . c. Que peut-on dire de A n lorsque n ≥ n 0 ?

En déduire que π ² est irrationnel.

d. Comment peut-on en déduire que π est irrationnel ? Pour information.

On sait depuis le 18ème siècle que ζ(p) est irrationnel pour p pair ( p ≥ 2 ). On a démontré seulement en 1979 (Apéry) que ζ(3) est irrationnel. Pour les autres entiers impairs, la conjecture reste non démontrée.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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