a pour objet l'étude de la transformée de Fourier discrète et son application à un algorithme rapide de multiplication polynomiale.

(1)

MPSI B 2009-2010 Énoncé du DM 18 29 juin 2019

Problème

Ce problème

¹

a pour objet l'étude de la transformée de Fourier discrète et son application à un algorithme rapide de multiplication polynomiale.

Dans tout le problème, N désigne un entier naturel non nul et n = 2

^N

, ω

_n

= e

^2iπⁿ

. On note C

n

= (e

0

, e

1

, · · · , e

_n−1

) la base canonique de C

ⁿ

:

e

0

= (1, 0, · · · , 0), e

1

= (0, 1, 0, · · · , 0), · · · , e

n−1

= (0, 0, · · · , 0, 1).

On dénit le polynôme associé à un élément de C

ⁿ

puis la transformée de Fourier discrète (notée F

_n

).

Pour chaque a ∈ C

ⁿ

, le polynôme associé (noté A ) est déni par

a = (a

0

, a

1

, · · · , a

n−1

) ⇒ A = a

0

+ a

1

X + · · · + a

n−1

X

ⁿ⁻¹

. l'application F

_n

est dénie de C

ⁿ

dans C

ⁿ

par :

∀a ∈ C

ⁿ

, F

n

(a) = (A(1), A(ω

n

), A(ω

_n²

), · · · , A(ω

_nⁿ⁻¹

)).

1. Étude du cas particulier N = 2, n = 4 .

a. Préciser ω

₄

puis l'image d'un élément (a

₀

, a

₁

, a

₂

, a

₃

) de C

⁴

par l'application F

₄

. b. Préciser la matrice M

₄

de l'endomorphisme F

₄

dans la base C

₄

de C

⁴

.

c. On désigne par M

₄

la matrice obtenue à partir de M

₄

en conjuguant tous les éléments. Calculer

M

4

M

4

. En déduire que M

4

est inversible et préciser M

₄⁻¹

. d. Calculer M

₄²

et M

₄⁴

.

2. Étude du cas général.

a. Établir que l'application F

n

est un automorphisme.

b. Former la matrice M

n

de F

n

dans la base canonique C

n

de C

ⁿ

. Préciser en particulier, pour i et j entre 1 et n , le terme d'indice (i, j) de cette matrice.

c. Soit i et j deux entiers. En distinguant suivant que i − j est congru à 0 modulo n ou non, calculer la somme

n−1

X

k=0

ω

^(i−j)k_n

.

1d'après E.P.I.T.A. 1999

d. Calculer le produit matriciel M

n

M

n

, en déduire F

_n⁻¹

.

e. Calculer M

_n²

. Préciser l'eet de F

_n²

sur la base canonique. En déduire F

_n⁴

. 3. Image de quatre vecteurs particuliers.

On dénit deux vecteurs u et v de C

ⁿ

par :

u = (Re(1), Re(ω

_n

), · · · , Re(ω

_nⁿ⁻¹

)), v = (Im(1), Im(ω

_n

), · · · , Im(ω

ⁿ⁻¹_n

)) a. Exprimer F

n

(e

1

+ e

_n−1

) et F

n

(e

1

− e

_n−1

) en fonction de u et v . En déduire F

n

(u)

et F

n

(v) .

b. On dénit les vecteurs u

₋

, u

+

, v

₋

, v

+

par : u

₋

=

√ n

2 (e

1

+ e

_n−1

) − u, u

+

=

√ n

2 (e

1

+ e

_n−1

) + u v

₋

=

√ n

2 (e

1

− e

_n−1

) − v, v

+

=

√ n

2 (e

1

− e

_n−1

) + v Calculer F

n

(u

−

) , F

n

(u

+

) , F

n

(v

−

) , F

n

(v

+

) en fonction de u

−

, u

+

, v

−

, v

+

. 4. Étude d'un algorithme récursif de calcul de F

n

(a) .

Dans cette question, on note ω = ω

n

et ω

⁰

= ω

ⁿ

2

de sorte que ω

²

= ω

⁰

.

À tout élément a = (a

0

, a

1

, · · · , a

n−1

) de C

ⁿ

, on associe les deux éléments b et c de C

n

2

(on rappelle que n = 2

^N

) dénis par :

b = (a

0

, a

2

, · · · , a

_n−2

), c = (a

1

, a

3

, · · · , a

_n−1

) On note A , B , C les polynômes respectivement associés à a , b , c .

a. Exprimer A avec des polynômes obtenus à partir de B , C en substituant X

²

à X .

b. Montrer que, pour k entre 0 et

ⁿ₂

− 1 ,

A(ω

^k

) = B(ω

⁰^k

) + ω

^k

C(ω

⁰^k

), A(ω

ⁿ²^+k

) = B (ω

⁰^k

) − ω

^k

C(ω

⁰^k

) c. Expliquer comment, à partir des questions précédentes, on peut calculer F

_n

(a)

par un procédé récursif.

d. On suppose connus tous les ω

n

et leurs puissances. On note u

N

le nombre d'opé- rations (additions et multiplications) eectuées dans le calcul récursif de F

n

(a) déni à la question précédente. En particulier u

0

= 0 . Montrer que l'on peut organiser le calcul pour que

u

N

= 2u

N−1

+ 3 × 2

^N⁻¹

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai M0918E

(2)

MPSI B 2009-2010 Énoncé du DM 18 29 juin 2019 e. En utilisant la suite u

N

2

^−N

N∈N^∗

, exprimer u

N

en fonction de N puis de n . 5. Produit rapide de deux polynômes.

On considère ici deux polynômes P et Q à coecients réels ou complexes de degré strictement inférieur à

ⁿ₂

et le polynôme R = P Q . On note

P = p

0

+ p

1

X + · · · + p

_n−1

X

ⁿ⁻¹

Q = q

₀

+ q

₁

X + · · · + q

_n−1

X

ⁿ⁻¹

R = r

0

+ r

1

X + · · · + r

n−1

X

ⁿ⁻¹

p = (p

0

, p

1

, · · · , p

_n−1

) q = (q

₀

, q

₁

, · · · , q

_n−1

) r = p ∗ q = (r

0

, r

1

, · · · , r

_n−1

)

pq = (p

₀

q

₀

, p

₁

q

₁

, · · · , p

_n−1

q

_n−1

) (produit "terme à terme")

a. Comment s'exprime F

n

(r) avec F

n

(p) et F

n

(q) ?

b. Quel est le nombre d'opérations (additions et multiplications) nécessaires pour calculer R = P Q par les formules usuelles ?

c. On calcule successivement :

les transformées de Fourier discrètes F

n

(p) et F

n

(q) par l'algorithme récursif.

le produit (terme à terme) F

n

(p)F

n

(q) .

la transformée de Fourier discrète inverse F

_n⁻¹

(F

_n

(p)F

_n

(q)) .

Que calcule-t-on par cette méthode ? Déterminer en fonction de u

_N

puis de n le nombre d'opérations eectuées lors de ces calculs.

d. Conclure.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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