a pour objet l'étude de la transformée de Fourier discrète et son application à un algorithme rapide de multiplication polynomiale.

(1)

Énoncé

Ce problème

¹

a pour objet l'étude de la transformée de Fourier discrète et son application à un algorithme rapide de multiplication polynomiale.

Dans tout le problème, N désigne un entier naturel non nul et n = 2

^N

, ω

n

= e

^2iπⁿ

. On note C

n

= (e

0

, e

1

, · · · , e

_n−1

) la base canonique de C

ⁿ

:

e

₀

= (1, 0, · · · , 0), e

₁

= (0, 1, 0, · · · , 0), · · · , e

_n−1

= (0, 0, · · · , 0, 1).

On dénit le polynôme associé à un élément de C

ⁿ

puis la transformée de Fourier discrète (notée F

_n

).

Pour chaque a ∈ C

ⁿ

, le polynôme associé (noté A ) est déni par

a = (a

₀

, a

₁

, · · · , a

_n−1

) ⇒ A = a

₀

+ a

₁

X + · · · + a

_n−1

X

ⁿ⁻¹

. l'application F

n

est dénie de C

ⁿ

dans C

ⁿ

par :

∀a ∈ C

ⁿ

, F

n

(a) = (A(1), A(ω

n

), A(ω

_n²

), · · · , A(ω

_nⁿ⁻¹

)).

1. Étude du cas particulier N = 2, n = 4 .

a. Préciser ω

4

puis l'image d'un élément (a

0

, a

1

, a

2

, a

3

) de C

⁴

par l'application F

4

. b. Préciser la matrice M

4

de l'endomorphisme F

4

dans la base C

4

de C

⁴

.

c. On désigne par M

₄

la matrice obtenue à partir de M

₄

en conjuguant tous les éléments. Calculer

M

₄

M

₄

. En déduire que M

4

est inversible et préciser M

₄⁻¹

. d. Calculer M

₄²

et M

₄⁴

.

2. Étude du cas général.

a. Établir que l'application F

n

est un automorphisme.

b. Former la matrice M

n

de F

n

dans la base canonique C

n

de C

ⁿ

. Préciser en particulier, pour i et j entre 1 et n , le terme d'indice (i, j) de cette matrice.

c. Soit i et j deux entiers. En distinguant suivant que i − j est congru à 0 modulo n ou non, calculer la somme

n−1

X

k=0

ω

^(i−j)k_n

.

1d'après E.P.I.T.A. 1999

d. Calculer le produit matriciel M

n

M

n

, en déduire F

_n⁻¹

.

e. Calculer M

_n²

. Préciser l'eet de F

_n²

sur la base canonique. En déduire F

_n⁴

. 3. Image de quatre vecteurs particuliers.

On dénit deux vecteurs u et v de C

ⁿ

par :

u = (Re(1), Re(ω

_n

), · · · , Re(ω

_nⁿ⁻¹

)), v = (Im(1), Im(ω

_n

), · · · , Im(ω

ⁿ⁻¹_n

)) a. Exprimer F

n

(e

1

+ e

_n−1

) et F

n

(e

1

− e

_n−1

) en fonction de u et v . En déduire F

n

(u)

et F

n

(v) .

b. On dénit les vecteurs u

₋

, u

+

, v

₋

, v

+

par : u

₋

=

√ n

2 (e

1

+ e

_n−1

) − u, u

+

=

√ n

2 (e

1

+ e

_n−1

) + u v

₋

=

√ n

2 (e

1

− e

_n−1

) − v, v

+

=

√ n

2 (e

1

− e

_n−1

) + v Calculer F

n

(u

−

) , F

n

(u

+

) , F

n

(v

−

) , F

n

(v

+

) en fonction de u

−

, u

+

, v

−

, v

+

. 4. Étude d'un algorithme récursif de calcul de F

n

(a) .

Dans cette question, on note ω = ω

n

et ω

⁰

= ω

ⁿ

2

de sorte que ω

²

= ω

⁰

.

À tout élément a = (a

0

, a

1

, · · · , a

n−1

) de C

ⁿ

, on associe les deux éléments b et c de C

n

2

(on rappelle que n = 2

^N

) dénis par :

b = (a

0

, a

2

, · · · , a

_n−2

), c = (a

1

, a

3

, · · · , a

_n−1

) On note A , B , C les polynômes respectivement associés à a , b , c .

a. Exprimer A avec des polynômes obtenus à partir de B , C en substituant X

²

à X .

b. Montrer que, pour k entre 0 et

ⁿ₂

− 1 ,

A(ω

^k

) = B(ω

⁰^k

) + ω

^k

C(ω

⁰^k

), A(ω

ⁿ²^+k

) = B (ω

⁰^k

) − ω

^k

C(ω

⁰^k

) c. Expliquer comment, à partir des questions précédentes, on peut calculer F

_n

(a)

par un procédé récursif.

d. On suppose connus tous les ω

n

et leurs puissances. On note u

N

le nombre d'opé- rations (additions et multiplications) eectuées dans le calcul récursif de F

n

(a) déni à la question précédente. En particulier u

0

= 0 . Montrer que l'on peut organiser le calcul pour que

u

N

= 2u

N−1

+ 3 × 2

^N⁻¹

(2)

e. En utilisant la suite u

N

2

^−N

N∈N^∗

, exprimer u

N

en fonction de N puis de n . 5. Produit rapide de deux polynômes.

On considère ici deux polynômes P et Q à coecients réels ou complexes de degré strictement inférieur à

ⁿ₂

et le polynôme R = P Q . On note

P = p

0

+ p

1

X + · · · + p

_n−1

X

ⁿ⁻¹

Q = q

₀

+ q

₁

X + · · · + q

_n−1

X

ⁿ⁻¹

R = r

0

+ r

1

X + · · · + r

n−1

X

ⁿ⁻¹

p = (p

0

, p

1

, · · · , p

_n−1

) q = (q

₀

, q

₁

, · · · , q

_n−1

) r = p ∗ q = (r

0

, r

1

, · · · , r

_n−1

)

pq = (p

₀

q

₀

, p

₁

q

₁

, · · · , p

_n−1

q

_n−1

) (produit "terme à terme")

a. Comment s'exprime F

n

(r) avec F

n

(p) et F

n

(q) ?

b. Quel est le nombre d'opérations (additions et multiplications) nécessaires pour calculer R = P Q par les formules usuelles ?

c. On calcule successivement :

les transformées de Fourier discrètes F

n

(p) et F

n

(q) par l'algorithme récursif.

le produit (terme à terme) F

n

(p)F

n

(q) .

la transformée de Fourier discrète inverse F

_n⁻¹

(F

_n

(p)F

_n

(q)) .

Que calcule-t-on par cette méthode ? Déterminer en fonction de u

_N

puis de n le nombre d'opérations eectuées lors de ces calculs.

d. Conclure.

(3)

Corrigé

1. a. Par dénition, ω

₄

= i et, si a = (a

₀

, a

₁

, a2, a

₃

) ,

F(a) = (a

0

+ a

1

+a

2

+ a

3

, a

0

+ia

1

− a

2

−ia

3

, a

0

− a

1

+a

2

− a

3

, a

0

−ia

1

− a

2

+ia

3

) b. D'après la question précédente,

M

4

=







1 1 1 1

1 i −1 −i

1 −1 1 −1

1 −i −1 i







c. Après calculs, on trouve M

4

M

a

= 4I

4

. On en déduit que M

4

est inversible d'inverse

¹₄

M

4

puis que F

4

est bijective. La bijection réciproque F

₄⁻¹

est l'endomorphisme de C

ⁿ

dont la matrice dans la base canonique est

¹₄

M

₄

.

d. Après calculs, on trouve M

₄²

= 4







1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0







, M

₄⁴

= 16I

₄

2. Dans toute cette question, on note ω au lieu de ω

_n

.

a. Comme F

n

est un endomorphisme de C

ⁿ

, pour prouver que F

n

est bijective, il sut de montrer que F

_n

est injective.

Si F

_n

(a) = 0

_Cn

, le polynôme A associé à ce n -uplet a est nul en 1, ω

_n

, · · · , ω

ⁿ⁻¹_n

. Il admet n racines distinctes en étant de degré au plus n − 1 , il est donc nul.

b. D'après la dénition de F

n

,

M

n

=







1 1 1 · · · 1

1 ω ω

²

· · · ω

ⁿ⁻¹

1 (ω)

²

(ω

²

)

²

· · · (ω

ⁿ⁻¹

)

²

... ... ... ... ...

1 (ω)

ⁿ⁻¹

(ω

²

)

ⁿ⁻¹

· · · (ω

⁽ⁿ⁻¹⁾

)

ⁿ⁻¹







On en déduit que le terme d'indice (i, j) de cette matrice est (ω

^j−1

)

ⁱ⁻¹

= ω

^{(i−1)(j−1)}

c. Soit i et j deux entiers entre −n et n . La somme proposée est formée de termes en progression géométrique de raison ω

^j−i

. Par dénition de ω ,

ω

^j−i

( = 1 si i ≡ j mod n

∈ U

n

\ {1} si i − j 6≡ j mod n

⇒

n−1

X

k=0

ω

^(i−j)k

=

( n si i ≡ j mod n 0 si i − j 6≡ j mod n car, pour ω

^j−i

6= 1,

n−1

X

k=0

ω

^(i−j)k

= 1 − (ω

^i−j

)

ⁿ

1 − ω

^i−j

= 0.

d. Par dénition du produit matriciel, pour i et j entre 1 et n , i − j est entre −n + 1 et n − 1 , le terme (i, j) de M

_n

M

_n

est

n−1

X

k=1

ω

^{(i−1)(k−1)}

ω ¯

^{(k−1)(j−1)}

=

n−1

X

k=1

ω

(i−1−j+1)(k−1)

car ω ¯ = ω

⁻¹

=

n−1

X

k=1

ω

^{(i−j)(k−1)}

=

( n si i = j 0 si i 6= j On en déduit que M

n

M

n

= nI

n

puis que F

_n⁻¹

est l'endomorphisme de C

ⁿ

dont la matrice dans la base canonique est

_n¹

M

n

.

e. Le terme (i, j) de M

_n²

est

n−1

X

k=1

ω

^{(i−1)(k−1)}

ω

^{(k−1)(j−1)}

=

n−1

X

k=1

ω

(i−j+2)(k−1)

=

( n si i + j − 2 ≡ 0 mod n 0 sinon

Pour i et j entre 1 est n , on peut exprimer i en fonction de j pour que la congruence soit vériée. On doit avoir i = 1 si j = 1 et i = n − j + 2 pour j entre 2 et n . Un seul terme est non nul par colonne et il est égal à n :

M

_n²

= n







1 0 0 · · · 0 0 0 0 · · · 1 ... ... ... ...

0 0 1 0

0 1 0 · · · 0







(4)

Cette matrice permet de préciser les images des vecteurs de la base canonique (attention au décalage d'indice)

F

_n²

(e

0

) = ne

0

, ∀j ∈ {1, · · · , n − 1}, F

_n²

(e

j

) = ne

n−j

On en déduit que F

_n⁴

= n

²

Id

_Cn

.

3. a. Les n -uplets F

n

(e

1

+ e

_n−1

) et F

n

(e

1

− e

_n−1

) correspondent à la somme et la diérence des colonnes 2 et n de la matrice A

n

. Comme ω

ⁿ⁻¹

= ω

⁻¹

= ω , les parties réelles et imaginaires apparaissent conduisant à

F

n

(e

1

+ e

_n−1

) = 2u, F

n

(e

1

− e

_n−1

) = 2iv En composant par F

n

(qui est C-linéaire), il vient

2F

_n

(u) = n F

_n²

(e

₁

) + F

_n²

(e

_n−1

)

= n(e

_n−1

+ e

₁

) 2iF

n

(v) = n F

_n²

(e

1

) − F

_n²

(e

_n−1

)

= n(e

_n−1

− e

1

) )

⇒



 

 

F

n

(u) = n

2 (e

1

+ e

_n−1

) F

n

(v) = in

2 (e

1

− e

_n−1

) b. D'après les calculs précédents,

F

n

√ n

2 (e

1

+ e

_n−1

) + u

=

√ n

2 2u + F

n

(u) = √ nu + n

2 (e

1

+ e

_n−1

)

= √ n

√ n

2 (e

₁

+ e

_n−1

) + u

Les autres calculs sont analogues et conduisent à F

_n

(u

₊

) = √

nu

₊

, F

_n

(u

₋

) = − √

nu

₋

, F

_n

(v

₊

) = i √

nv

₊

, F

_n

(v

₋

) = −i √ nv

₋

4. a. Avec les conventions de l'énoncé,

A = a

0

+ a

1

X + a

2

X

²

+ · · · B = a

0

+ a

2

X + a

4

X

²

+ · · · C = a

1

+ a

3

X + a

5

X

²

+ · · ·



 

 

⇒ A = B(X b

²

) + X C(X b

²

)

b. La première relation demandée est obtenue simplement en remplaçant X par ω dans la relation A = B(X b

²

) + X C(X b

²

) de la question précédente. Pour les puissances au delà de

ⁿ₂

,

A(ω

ⁿ²^+k

) = a

₀

+ a

₁

ω

ⁿ²^+k

+ a

₂

ω

^n+2k

+ a

₃

ω

³⁽ⁿ²^+k)

+ a

₄

ω

^2n+4k

+ · · ·

= a

0

+ a

2

ω

^0k

+ a

4

ω

^02k

+ · · ·

+ ω

ⁿ²^+k

a

1

+ a

3

ω

^0k

+ a

5

ω

^02k

+ · · · car ω

ⁿ

= 1

= B(ω

^0k

) − ω

^k

C(ω

^0k

) car ω

ⁿ²

= −1.

c. Il faut bien faire attention ici à la relation n = 2

^N

. La récursivité est relative au passage de N à N − 1 c'est à dire de n à

ⁿ₂

. La méthode envisagée pour le calcul de F

n

(a) est la suivante

On forme à partir de a les deux

ⁿ₂

-uplets b et c en séparant les indices pairs et impairs.

On calcule F

ⁿ

2

(a) et F

ⁿ

2

(b) .

On renvoie F

n

(a) calculé à partir de F

ⁿ

2

(a) et F

ⁿ

2

(b) avec les formules de 4.b.

d. Organisation du calcul et évaluation de la complexité.

La formation de b et c se fait sans opérations (au sens de l'énoncé) Le calcul récursif de F

ⁿ

2

(a) et F

ⁿ

2

(b) se fait avec 2U

N−1

opérations.

On eectue

ⁿ₂

multiplication pour calculer les ω

^k

C(ω

^0k

) . On eectue ensuite 2 ×

ⁿ₂

opérations (ajouter-soustraire) pour calculer A(ω

^k

) et A(ω

ⁿ²^+k

) . Comme

ⁿ₂

= 2

^N−1

, on obtient donc bien en tout

u

_N

= 2u

_N₋₁

+ 3 × 2

^N⁻¹

e. Comme l'énoncé nous y invite, posons v

N

= u

N

2

^−N

. On en tire u

N

= 2

^N

v

N

avec lequel on réécrit la relation de récurrence. On peut diviser par 2

^N

et obtenir une suite arithmétique

2

^N

v

N

= 2

^N

v

N−1

+ 3 × 2

^N⁻¹

⇒ v

N

= v

N−1

+ 3

2 ⇒ v

N

= 3N 2

⇒ u

N

= 3

2 N 2

^N

= 3 2 ln 2 n ln n 5. a. D'après la dénition, F

n

(r) est le produit terme à terme de F

n

(p) et F

n

(q) . Avec

les notations précisées par l'énoncé, on peut écrire F

n

(r) = F

n

(p)F

n

(q) .

b. Nombre d'opérations pour la formule usuelle du produit de deux polynômes. Pré-

sentons ces nombres d'opérations dans un tableau pour la première moitié des

coecients. Le nombre d'opérations sera le même par symétrie pour les coe-

cients suivants.

(5)

degré ∗ +

0 1 0

1 2 1

2 3 2

... ... ...

n

4

− 1

ⁿ₄ ⁿ₄

− 1

On en déduit après calculs que le nombre total d'opérations par cette méthode est

₁₆¹

n

²

.

c. Il est clair d'après la question a. et le fait que F

_n

est bijective que l'on calcule ainsi le 2n -uplet attaché au produit des polynômes P et Q .

Évaluons le nombre d'opérations eectuées.

2u

_N

opérations pour le calcul de F

_n

(p) et F

_n

(q) . n = 2

^N

opérations pour le produit terme à terme

u

N

opérations pour le calcul de la transformée inverse qui est analogue au direct.

On obtient donc 3u

N

+ 2

^N

=

_{2 ln 2}⁹

n ln n + n opérations.

d. Pour de grands n , la méthode utilisant la transformée de Fourier discète est

beaucoup plus rapide car

_{2 ln 2}⁹

n ln n + n est beaucoup plus petit que

₁₆¹

n

²

.