muni de la base canonique C = (e

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Exercice.

Notons E le R-espace vectoriel R

muni de la base canonique C = (e

, e

, e

, e

) . Pour tout réel α , on considère l'endomorphisme f de E déni par

Mat

f = A =









1 1 0 0 2 1 1 1 0 0 0 α α α 0 0









1. a. Déterminer, en discutant sur α , le rang de f .

b. Expliciter dans les diérents cas, une base de l'image et une base du noyau de f . c. Déterminer les α pour lesquels Im(f ) et ker(f ) sont supplémentaires.

Dans la suite, on suppose que α 6= 0 et λ est un nombre réel. On pose

ε

= λe

+ αe

, ε

= e

, ε

= e

, B = (ε

, ε

, ε

), F = Im(f ) 2. Déterminer λ pour que B soit une base de F .

Dans la suite on supposera λ ainsi xé. Soit g la restriction de f à F .

3. Montrer que g est un endomorphisme de F , écrire la matrice B de g dans la base B . 4. Montrer que g est inversible et écrire la matrice de g

dans la base B .

5. Soit h l'endomorphisme de E vériant

( ∀i ∈ {1, 2, 3}, h(ε

) = g

(ε

) h et f ont le même noyau

a. Montrer que ces conditions dénissent bien h . Écrire la matrice D de h dans C . b. Déterminer le produit ADA .

Problème

Ce problème

a pour objet l'étude de la transformée de Fourier discrète et son application à un algorithme rapide de multiplication polynomiale.

1d'après E.P.I.T.A. 1999

Dans tout le problème, N désigne un entier naturel non nul et n = 2

, ω

= e

. On note C

= (e

, e

, · · · , e

) la base canonique de C

:

e

= (1, 0, · · · , 0), e

= (0, 1, 0, · · · , 0), · · · , e

= (0, 0, · · · , 0, 1).

On dénit le polynôme associé à un élément de C

puis la transformée de Fourier discrète (notée F

).

Pour chaque a ∈ C

, le polynôme associé (noté A ) est déni par

a = (a

, a

, · · · , a

) ⇒ A = a

+ a

X + · · · + a

X

. l'application F

est dénie de C

dans C

par :

∀a ∈ C

, F

(a) = (A(1), A(ω

), A(ω

), · · · , A(ω

)).

1. Étude du cas particulier N = 2, n = 4 .

a. Préciser ω

puis l'image d'un élément (a

, a

, a

, a

) de C

par l'application F

. b. Préciser la matrice M

de l'endomorphisme F

dans la base C

de C

.

c. On désigne par M

la matrice obtenue à partir de M

en conjuguant tous les éléments. Calculer

M

M

. En déduire que M

est inversible et préciser M

. d. Calculer M

et M

.

2. Étude du cas général.

a. Établir que l'application F

est un automorphisme.

b. Former la matrice M

de F

dans la base canonique C

de C

. Préciser en parti- culier, pour i et j entre 1 et n , le terme d'indice (i, j) de cette matrice.

c. Soit i et j deux entiers. En distinguant suivant que i − j est congru à 0 modulo n ou non, calculer la somme

n−1

X

k=0

ω

. d. Calculer le produit matriciel M

M

, en déduire F

.

e. Calculer M

. Préciser l'eet de F

sur la base canonique. En déduire F

. 3. Image de quatre vecteurs particuliers.

On dénit deux vecteurs u et v de C

par :

u = (Re(1), Re(ω

), · · · , Re(ω

)), v = (Im(1), Im(ω

), · · · , Im(ω

))

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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a. Exprimer F

(e

+ e

) et F

(e

− e

) en fonction de u et v . En déduire F

(u) et F

(v) .

b. On dénit les vecteurs u

, u

, v

, v

par :

u

=

√ n

2 (e

+ e

) − u, u

=

√ n

2 (e

+ e

) + u v

=

√ n

2 (e

− e

) − v, v

=

√ n

2 (e

− e

) + v Calculer F

(u

) , F

(u

) , F

(v

) , F

(v

) en fonction de u

, u

, v

, v

. 4. Étude d'un algorithme récursif de calcul de F

(a) .

Dans cette question, on note ω = ω

et ω

= ω

2

de sorte que ω

= ω

.

À tout élément a = (a

, a

, · · · , a

) de C

, on associe les deux éléments b et c de C

(on rappelle que n = 2

) dénis par :

b = (a

, a

, · · · , a

), c = (a

, a

, · · · , a

) On note A , B , C les polynômes respectivement associés à a , b , c .

a. Exprimer A avec des polynômes obtenus à partir de B , C en substituant X

à X .

b. Montrer que, pour k entre 0 et

− 1 ,

A(ω

) = B(ω

) + ω

C(ω

), A(ω

) = B(ω

) − ω

C(ω

) c. Expliquer comment, à partir des questions précédentes, on peut calculer F

(a)

par un procédé récursif.

d. On suppose connus tous les ω

et leurs puissances. On note u

le nombre d'opé- rations (additions et multiplications) eectuées dans le calcul récursif de F

(a) déni à la question précédente. En particulier u

= 0 . Montrer que l'on peut organiser le calcul pour que

u

= 2u

+ 3 × 2

e. En utilisant la suite u

2

N∈N^∗

, exprimer u

en fonction de N puis de n . 5. Produit rapide de deux polynômes.

On considère ici deux polynômes P et Q à coecients réels ou complexes de degré

strictement inférieur à

et le polynôme R = P Q . On note P = p

+ p

X + · · · + p

X

Q = q

+ q

X + · · · + q

X

R = r

+ r

X + · · · + r

X

p = (p

, p

, · · · , p

) q = (q

, q

, · · · , q

) r = p ∗ q = (r

, r

, · · · , r

)

pq = (p

q

, p

q

, · · · , p

q

) (produit "terme à terme")

a. Comment s'exprime F

(r) avec F

(p) et F

(q) ?

b. Quel est le nombre d'opérations (additions et multiplications) nécessaires pour calculer R = P Q par les formules usuelles ?

c. On calcule successivement :

les transformées de Fourier discrètes F

(p) et F

(q) par l'algorithme récursif.

le produit (terme à terme) F

(p)F

(q) .

la transformée de Fourier discrète inverse F

(F

(p)F

(q)) .

Que calcule-t-on par cette méthode ? Déterminer en fonction de u

puis de n le nombre d'opérations eectuées lors de ces calculs.

d. Conclure.

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