a pour objet l'étude de la transformée de Fourier discrète et son application à un algorithme rapide de multiplication polynomiale.

(1)

MPSI B Année 2013-2014 Énoncé DM 16 pour le 28/04/14 1

^er

septembre 2019

Problème

Ce problème

¹

a pour objet l'étude de la transformée de Fourier discrète et son application à un algorithme rapide de multiplication polynomiale.

Dans tout le problème, N désigne un entier naturel non nul et n = 2

^N

, ω

_n

= e

^2iπⁿ

. On note C

n

= (e

0

, e

1

, · · · , e

_n−1

) la base canonique de C

ⁿ

:

e

0

= (1, 0, · · · , 0), e

1

= (0, 1, 0, · · · , 0), · · · , e

n−1

= (0, 0, · · · , 0, 1).

On dénit le polynôme associé à un élément de C

ⁿ

puis la transformée de Fourier discrète (notée F

_n

).

Pour chaque a ∈ C

ⁿ

, le polynôme associé (noté A ) est déni par

a = (a

0

, a

1

, · · · , a

n−1

) ⇒ A = a

0

+ a

1

X + · · · + a

n−1

X

ⁿ⁻¹

. l'application F

_n

est dénie de C

ⁿ

dans C

ⁿ

par :

∀a ∈ C

ⁿ

, F

n

(a) = (A(1), A(ω

n

), A(ω

_n²

), · · · , A(ω

_nⁿ⁻¹

)).

1. Étude du cas particulier N = 2, n = 4 .

a. Préciser ω

₄

puis l'image d'un élément (a

₀

, a

₁

, a

₂

, a

₃

) de C

⁴

par l'application F

₄

. b. Préciser la matrice M

₄

de l'endomorphisme F

₄

dans la base C

₄

de C

⁴

.

c. On désigne par M

₄

la matrice obtenue à partir de M

₄

en conjuguant tous les éléments. Calculer

M

4

M

4

. En déduire que M

4

est inversible et préciser M

₄⁻¹

. d. Calculer M

₄²

et M

₄⁴

.

2. Étude du cas général.

a. Établir que l'application F

n

est un automorphisme.

b. Former la matrice M

n

de F

n

dans la base canonique C

n

de C

ⁿ

. Préciser en particulier, pour i et j entre 1 et n , le terme d'indice (i, j) de cette matrice.

c. Soit i et j deux entiers. En distinguant suivant que i − j est congru à 0 modulo n ou non, calculer la somme

n−1

X

k=0

ω

^(i−j)k_n

.

1d'après E.P.I.T.A. 1999

d. Calculer le produit matriciel M

n

M

n

, en déduire F

_n⁻¹

.

e. Calculer M

_n²

. Préciser l'eet de F

_n²

sur la base canonique. En déduire F

_n⁴

. 3. Image de quatre vecteurs particuliers.

On dénit deux vecteurs u et v de C

ⁿ

par :

u = (Re(1), Re(ω

_n

), · · · , Re(ω

_nⁿ⁻¹

)), v = (Im(1), Im(ω

_n

), · · · , Im(ω

ⁿ⁻¹_n

)) a. Exprimer F

n

(e

1

+ e

_n−1

) et F

n

(e

1

− e

_n−1

) en fonction de u et v . En déduire F

n

(u)

et F

n

(v) .

b. On dénit les vecteurs u

₋

, u

+

, v

₋

, v

+

par : u

₋

=

√ n

2 (e

1

+ e

_n−1

) − u, u

+

=

√ n

2 (e

1

+ e

_n−1

) + u v

₋

=

√ n

2 (e

1

− e

_n−1

) − v, v

+

=

√ n

2 (e

1

− e

_n−1

) + v Calculer F

n

(u

−

) , F

n

(u

+

) , F

n

(v

−

) , F

n

(v

+

) en fonction de u

−

, u

+

, v

−

, v

+

. 4. Étude d'un algorithme récursif de calcul de F

n

(a) .

Dans cette question, on note ω = ω

n

et ω

⁰

= ω

ⁿ

2

de sorte que ω

²

= ω

⁰

.

À tout élément a = (a

0

, a

1

, · · · , a

n−1

) de C

ⁿ

, on associe les deux éléments b et c de C

n

2

(on rappelle que n = 2

^N

) dénis par :

b = (a

0

, a

2

, · · · , a

_n−2

), c = (a

1

, a

3

, · · · , a

_n−1

) On note A , B , C les polynômes respectivement associés à a , b , c .

a. Exprimer A avec des polynômes obtenus à partir de B , C en substituant X

²

à X .

b. Montrer que, pour k entre 0 et

ⁿ₂

− 1 ,

A(ω

^k

) = B(ω

⁰^k

) + ω

^k

C(ω

⁰^k

), A(ω

ⁿ²^+k

) = B (ω

⁰^k

) − ω

^k

C(ω

⁰^k

) c. Expliquer comment, à partir des questions précédentes, on peut calculer F

_n

(a)

par un procédé récursif.

d. On suppose connus tous les ω

n

et leurs puissances. On note u

N

le nombre d'opé- rations (additions et multiplications) eectuées dans le calcul récursif de F

n

(a) déni à la question précédente. En particulier u

0

= 0 . Montrer que l'on peut organiser le calcul pour que

u

N

= 2u

N−1

+ 3 × 2

^N⁻¹

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai M1316E

(2)

MPSI B Année 2013-2014 Énoncé DM 16 pour le 28/04/14 1

^er

septembre 2019 e. En utilisant la suite u

N

2

^−N

N∈N^∗

, exprimer u

N

en fonction de N puis de n . 5. Produit rapide de deux polynômes.

On considère ici deux polynômes P et Q à coecients réels ou complexes de degré strictement inférieur à

ⁿ₂

et le polynôme R = P Q . On note

P = p

₀

+ p

₁

X + · · · + p

_n−1

X

ⁿ⁻¹

Q = q

0

+ q

1

X + · · · + q

_n−1

X

ⁿ⁻¹

R = r

0

+ r

1

X + · · · + r

_n−1

X

ⁿ⁻¹

p = (p

₀

, p

₁

, · · · , p

_n−1

) q = (q

0

, q

1

, · · · , q

_n−1

) r = p ∗ q = (r

₀

, r

₁

, · · · , r

_n−1

)

pq = (p

0

q

0

, p

1

q

1

, · · · , p

n−1

q

n−1

) (produit "terme à terme")

a. Comment s'exprime F

n

(r) avec F

n

(p) et F

n

(q) ?

b. Quel est le nombre d'opérations (additions et multiplications) nécessaires pour calculer R = P Q par les formules usuelles ?

c. On calcule successivement :

les transformées de Fourier discrètes F

_n

(p) et F

_n

(q) par l'algorithme récursif.

le produit (terme à terme) F

_n

(p)F

_n

(q) .

la transformée de Fourier discrète inverse F

_n⁻¹

(F

_n

(p)F

_n

(q)) .

Que calcule-t-on par cette méthode ? Déterminer en fonction de u

N

puis de n le nombre d'opérations eectuées lors de ces calculs.

d. Conclure.

Exercice

Une serrure de sécurité

²

possède n boutons numérotés de 1 à n ( n ≥ 1 ). Une n- combinaison consiste à pousser dans un certain ordre tous les boutons. Chaque bouton n'est poussé qu'une fois mais il est possible de pousser simultanément plusieurs boutons.

La modélisation est eectuée de la manière suivante : pour une valeur donnée de l'entier n , A

_n

= {1, 2, . . . , n}

2d'après CCMP 99 PC 1

Par dénition, une n -combinaison est une suite ordonnée (P

1

, P

2

, . . . , P

j

) de j parties P

1

, P

2

, . . . , P

j

de A

n

( 1 ≤ j ≤ n ). Ces parties P

i

, 1 ≤ i ≤ j , de A

n

sont deux à deux disjointes et diérentes de la partie vide, leur réunion est égale à A

_n

On note a

_n

le nombre de n -combinaisons.

Exemples

n = 1 : une seule combinaison ({1}) , a

₁

= 1 n = 2 : il y a trois 2-combinaisons a

₂

= 3 :

({1}, {2}), ({2}, {1}), ({1, 2})

La première consiste à appuyer d'abord sur le bouton 1 puis sur le bouton 2, la troisième consiste à appuyer simultanément sur les boutons 1 et 2.

Par convention, on pose a

0

= 1 . Dans tout le problème, n désigne un entier supérieur ou égal à 1.

1. Exemples

a. Pour une valeur de l'entier n donné, quel est le nombre de n -combinaisons telles que les boutons soient poussés l'un après l'autre ?

b. Déterminer, lorsque n = 3 le nombre a

3

en explicitant chacune des listes possibles.

2. Soit S une n -combinaison quelconque.

a. Combien y a-t-il de choix possible pour la partie P

1

lorsqu'elle est de cardinal k ? b. Combien y a-t-il de n -combinaisons S dont le premier terme P

₁

contient k élé-

ments ?

c. Exprimer a

_n

en fonction de a

₀

, a

₁

, . . . , a

_n−1

3. Soit b

_n

=

^a_n!ⁿ

.

On admet ici que pour tout x strictement positif et tout entier n non nul,

n

X

k=0

x

^k

k! ≤ e

^x

a. Exprimer b

n

en fonction de b

0

, b

1

, . . . , b

n−1

. b. Montrer que

b

n

≤ 1 (ln 2)

ⁿ

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

2

Rémy Nicolai M1316E