∑
∞−∞
=
−
⋅
=
n
nTe t
n x t
x( ) ( ) δ( )
∫
−+∞∞ ⋅ −= x t e dt
f
X( ) ( ) j2πft
Transformée de Fourier Discrète (TFD)
∑
∞−∞
=
= − n
fnTe
e j
n x f
X( ) ( ) 2π
Nous savons que la transformée de Fourier :
appliquée au signal échantillonné défini de la manière suivante :
conduit à la définition de la Transformée de Fourier du signal échantillonné :
La "Transformée de Fourier discrète" en est une version calculable :
( ) ∑
−=
= −
= 1
0
2
) ˆ (
) (
N
n
N j kn N
kfe x n e
X k
X π N
fnTe N kn
f kFe
→
=
Echantillonnage fréquentiel Horizon fini
La réduction de l'horizon temporel peut-être interprété comme la multiplication du signal par une porte de durée :
NTe
Troncature temporelle
Le spectre obtenu est alors le "vrai spectre" convolué par la TF de la porte :
∑
∑
−= +∞ −
−∞
=
− →
1
0
2
2 ( )
) (
N
n
fnTe j n
fnTe
j x n e
e n
x π π
( )
∏
− −⋅
→
NTe
N Te t
t x t
x( ) ( ) 21
( )
−
∗
→
∏
−NTe
N Te t
TF f
X f
Xˆ( ) ( ) 21
( )
fTe fTe π
π sin
∏( )
τ
t
2 τ 2
−τ
1
t
*
fFe 2Fe f
−Fe
) ( f X
Fe 2Fe f
−Fe
) ˆ f( X
) ( f G
L'échantillonnage dans le domaine fréquentiel induit une périodisation dans le temporel :
Echantillonnage fréquentiel
( ) f X ( )
kFeNX →
( ) ∑ ( )
∑
− → ∗ −⋅
k k
N
kFe x t t kNTe
f f
X( ) δ ( ) δ
0 NTe t
1 ) (t x
*
t0
NTe 2NTe
−NTe
t
NTe 2NTe
−NTe
0 1
) (t p
) (t xp
1) Fenêtrage :
Reprenons …
0 NTe t
1
) (t x
( )
∏
− −⋅
=
NTe
N Te t
t x t
x 2
) 1
( )
π(
∏( )
NTe
t
0 NTe t
( )
j f N Tef G
fNTe e NTe fNTe
f X f
X 2
2 1
) (
) sin ( )
(
− −
∗
= π
π π
π
) (t xπ
f0
f0
− f
2 Fe
2 Fe
−
) ( f Xπ
f0
f0
−
NTe
f
2 Fe
2 Fe
−
) ( f X )
( f G
0 NTe
2) Périodisation
∑
−∗
=
k
p t x t t NTe
xπ ( ) π( ) δ( )
∑
−⋅
=
k
N kFe
p f X f f
Xπ ( ) π( )
δ
( )t )
(t xπ
0 NTe
f0
f0
− f
2 Fe
2 Fe
−
) ( f Xπ
t
f0
f0
− f
2 Fe
2 Fe
−
) ( f Xπp
0 NTe
3) Echantillonnage :
∑
−⋅
=
n p
pN t x t t nTe
xπ ( ) π ( ) δ( )
∑
−∗
=
k p
pN f X f Fe f kFe
Xπ ( ) π ( ) δ( )
t )
(t xπ
0 NTe t
f0
− f
2 Fe
2 Fe
−
) ( f Xπp
f0 f
2 Fe
2 −
3Fe
−
) ( f XπpN
f0
− 2
Fe
f0
2 3Fe
−Fe Fe
