Inversion de la transformée de Fourier

DÉVELOPPEMENTS POUR L’AGRÉGATION EXTERNE

Inversion de la transformée de Fourier

Leçons :234,235,239,240,261

[Ouv2], section 12.3 Rappels :

1. Siµest une mesure bornée surR^d, on définit :µb:

R^d → _C t 7→ R

R^de^ihx,tidµ(x) ^. 2. Soity∈ _R^d, sig(y−.)_estµ-intégrable, on définit(g?µ)(y) =

Z

R^d g(y−x)_dµ(x)_. Théorème

Soitµune mesure bornée surR^det telle queµb∈L¹(λ).

Alorsµλet sa densité (au sens de Radon-Nikodym) est :h(x) = 1

2π dZ

R^dµb(t)e^−ihx,tidt.

Prérequis

– Pourσ>0,gσ:x 7→

1

√2πσ

exp

−kxk² 2σ²

est une densité de probabilité.

– On a :∀t∈_R^d,gb₁(t) =√ 2πd

g₁(t).

– Par convergence dominée :∀f ∈ C_{b R}^d,∀x∈_R^d,(f?gσ) (x)−→

σ→0 f(x). Démonstration :

Étape 1 : On va montrer que :∀y∈R^d,(gσ?µ) (y) = √1

2π dZ

R^dµb(v)g1(σv)e^−ihy,vidv.

Commeg_σetµsont bornées, on a bien :∀y∈_R^d,g_σ(y−.)∈L¹(µ). De plus,g_σ(y−x) =g_σ(x−y) =

1

√2πσ d

exp

−kx−yk² 2σ²

= 1

√2πσ d

g₁ x−y

σ

. Par un changement de variable, on obtient ensuite :

gσ(_y−x) = √1

2π dZ

R^dg1(_z)_exp

i x−y

σ ,z dz

σ^d

= √1

2π dZ

R^dg1(_σv)_exp(_ihx−y,vi)dv Donc(g_σ?µ) (y) =

Z

R^d

1

√2π dZ

R^dg1(σv)exp(ihx−y,vi)dvdµ(x). Or|g1(σv)exp(ihx−y,vi)|=

√1 2π

d

exp

−^σ

2kvk2 2

est intégrable par rapport àλ⊗µcarµest bornée etv7→exp

−^σ

2kvk² 2

∈L¹(λ). On applique Fubini :

(gσ?µ) (y) = √1

2π dZ

R^dg1(σv)e^−ihy,vi Z

R^de^ihx,vidµ(x)dv= √1

2π dZ

R^dg1(σv)e^−ihy,viµb(v)dv Étape 2 : Montrons queµλ.

Soit f ∈ C_KR^d , on a :

Z

R^d f(x)dµ(x) = Z

R^dlim

σ→0(f?gσ) (x)dµ(x). On applique le théorème de convergence dominée, car :

|(f ?g_σ) (x)|= Z

R^d f(x−y)g_σ(y)dy 6

Z

R^d|f(x−y)| |g_σ(y)|dy6kfk_∞∈L¹(µ)carµest bornée.

Florian LEMONNIER 1

Diffusion à titre gratuit uniquement. ENS Rennes – Université Rennes 1

DÉVELOPPEMENTS POUR L’AGRÉGATION EXTERNE

On a donc : Z

R^d f(x)dµ(x) =lim

σ→0 Z

R^d(f ?gσ) (x)dµ(x) =lim

σ→0 Z

R^d Z

R^d f(y)gσ(x−y)dydµ(x). On applique Fubini, car|f(y)gσ(x−y)|6|f(y)| kgσk_∞estµ⊗λ-intégrable.

Ainsi Z

R^d f(x)dµ(x) =lim

σ→0 Z

R^d Z

R^d f(y)g_σ(x−y)dµ(x)dy= lim

σ→0 Z

R^d f(y) Z

R^dg_σ(y−x)dµ(x)dy

= lim

σ→0 Z

R^d f(y) (gσ?µ) (y)dy Mais on a :

|f(y) (gσ?µ) (y)|=|f(y)|

Z

R^d

√1 2π

d

µb(v)g1(σv)e^−ihy,vidv

6 |f(y)|

(_2π)^dkµ_bk₁ qui est intégrable par rapport à la mesure de Lebesgue surR^d.

Ainsi, par convergence dominée :

∀f ∈ C_KR^d ,

Z

R^d f(x)dµ(x) = Z

R^d f(y)lim

σ→0(gσ?µ) (y)dy On a donc bienµλ.

Étape 3 : La relation précédente nous donne :h(x) =lim

σ→0(g_σ?µ) (x). Ainsi :h(x) = lim

σ→0

1 2π

dZ

R^dµb(v)g1(σv)e^−ihx,vidv.

Or

bµ(v)g₁(σv)e^−ihx,vi 6

1

√2π d

|µ_b(v)| ∈L¹ R^d

. Donch(x) =

1 2π

dZ

R^dµb(v)e^−ihx,vidv.

Références

[Ouv2] J.-Y. OUVRARD–Probabilités 2, 3^eéd., Cassini, 2009.

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