Prolongement de la transformée de Fourier à L 2

Prolongement de la transformée de Fourier à L ²

Pierre Lissy June 3, 2010

Lemme 1. La transformée de Fourier envoieL¹∩L² dansL² de manière isométrique.

Proof. C'est le point délicat. On prend dans le Rudin. On considèreg(x) =f∗f¯(−x). Commef etf¯(−x)sont des éléments de L¹,g reste un élément deL¹ qui plus est borné presque surement puisque par Cauchy-Schwarz on a|g(x)|6||f||²₂. On démontre de plus quegest continue. En eet, sif_n est continue à support compact et approximef, queg_nest une suite de fonctions continues à support compact approximantf(−x),¯ on a que|f_n∗g_n−f∗g|(x) = (f_n∗(g_n−g)−(f−f_n)∗g)6

||fn||2||gn−g||2+||g||2||f −fn||qui tend bien vers0 Posons alors H(t) = e^−|t|, et dénissons hλ(x) = R

RH(λt)e^itxdt. On démontre aisément que ceci donne hλ(x) = p

2/πλ/(λ²+x²). Notamment R

R(hλ) = 1. De plus, calculons g ∗ hλ(x) = RR

f(y)H(λt)e^it(x−y)dtdy =R

H(λt)dtR

RH(λt)bg(t)e^ixtdt. Notamment en 0 on obtient g∗hλ(0) =R

H(λt)bg(t)dt. Mais en appliquant le théorème deconvergence monotone quandλ→0 àH(λt)on voit que la limite quandλtend vers0de cette quantité est justementR

Rbg(t)dt. Mais bg=b(f)b( ¯f(−x)) =|fb(x)|², d'oùg∗h_λ(0)→ ||fb||²₂. Il reste à remarquer queg∗h_λ(0)→g(0) =||f||²₂. En eet,hλ est une approximation de l'unité etgest continue, o na donc ce qu'on veut par notre lemme qui dit quef∗hλ CVU versf.

On obtient bien quefb∈L² et de plus on a l'égalité de Parceval.

On peut alors appliquer le théorème de prolongement des applications linéaires et prolonger la transformée de Fourier àL²en une application linéaire continu de même norme. De plus elle reste trivialement une isométrie: six∈L², on approchexpar des éléments deL¹∩L² xn, qui vérient

||F(xn)||=||xn||, en faisant tendrenvers∞par continuîté deF on obtient bien||F(x)||=||x||. En fait, il est remarquable que ceci permette de conclure queF est maintenant un isomorphisme deL².

1. F est injective c'est évident.

2. L'image de F est fermée. En eet, si y ∈ Im(F¯ ). Alors il existe des x_n ∈ L² tels que T x_n → y. Notamment, la suite des T x_n est de Cauchy donc pour tout ε > 0, il existe N tels que n, m > N implique ||T xn−T xm|| 6 ε. Mais évidemment ceci implique que

||xn−xm||6εet doncxn est elle-même de Cauchy dans l'espace complet L², elle converge donc vers un certainxet par continuitéT xn →T x=y.

3. L'image de F est dense. La raison la plus simple est qu'on sait que par inversion de la transformée de Fourier on envoie Wiener SUR Wiener et que Wiener est dense dansL¹∩L². D'où le résultat.

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